1、1前 言编 者 编 写 本 书 的 初 衷 是 以 学 生 为 中 心 ， 实 用 性 优 先 ， 没 有 花 里 胡 哨 的 冗 杂结 论 。 本 书 筛 选 了 2010-2018 年 的 各 地 高 考 圆 锥 曲 线 大 题 并 适 当 归 类 讲 解 ， 删 去 了 思 维 跨 度 大 ，计 算 量 极 高 的 题 ， 总 计 一 百 余 题 。 考 虑 到 高 中 生 学 习 繁 忙 ， 编 者 尽 可 能 的 将 本 书 压 缩 到 了 一 百 余页 ， 并 结 合 丰 富 的 举 例 ， 偏 向 于 去 教 学 生 怎 么 思 考 ， 往 哪 个 方 向 思 考 ， 怎 么 去
2、 分 析 思 路 ， 并 予 以启 发 。不 建 议 基 础 知 识 不 牢 且 计 算 功 底 弱 的 学 生 看 这 本 书 ， 否 则 效 果 适 得 其 反 。 如 果 连 一 些 基 本 算 理 都搞 不 清 的 话 ， 则 是 开 卷 无 益 。本 书 前 半 部 分 的 讲 解 足 以 解 决 后 半 部 分 的 习 题 ， 所 以 后 半 部 分 则 以 题 目 为 主 ， 部 分 内 容 借 鉴 了 网上 公 开 的 免 费 视 频 与 免 费 文 档 ， 对 其 分 享 的 思 路 表 示 非 常 感 谢 ！ 另 外 ， 编 者 对 于 圆 锥 曲 线 的 第 二第 三 定
3、 义 及 其 衍 生 的 结 论 并 没 有 去 细 致 讲 解 ， 请 同 学 们 依 据 课 本 自 行 完 善 。由 于 本 书 核 心 部 分 来 自 孙 斌 老 师 。 我 做 二 次 处 理 而 成 ， 加 入 了 答 案 和 少 量 自 己 的 见 解 。 如 有 疏 漏与 错 误 ， 还 请 包 涵 与 指 正 。 QQ:21113823 湖 北 省 广 水 实 高 李 大 丹目 录第 一 章 题 目 信 息 转 化 为 坐 标 表 达 /21.1 距 离 公 式 与 弦 长 公 式 /31.2 题 目 核 心 条 件 转 化 为 坐 标 /91.3 转 化 为 坐 标 后 ，
4、 怎 么 处 理 /16第 二 章 获 得 点 的 坐 标 解 决 问 题 /252.1 通 过 表 示 点 的 坐 标 解 决 问 题 /252.2 怎 么 获 取 点 的 坐 标 /262.3 设 点 与 设 直 线 结 合 起 来 /41第 三 章 定 点 定 值 /493.1 什 么 样 的 直 线 过 定 点 /493.2 怎 么 解 决 直 线 过 定 点 /503.3 圆 过 定 点 与 定 值 举 例 /58第 四 章 优 化 计 算 /604.1 反 设 直 线 /604.2 简 化 运 算 的 技 巧 /63第 五 章 面 积 与 最 值 /665.1 三 角 形 的 面
5、积 表 达 /665.2 求 最 值 之 变 量 化 一 /775.3 求 最 值 之 均 值 不 等 式 /795.4 求 最 值 之 借 助 导 数 /83第 六 章 切 线 /86第 七 章 轨 迹 方 程 /98第 八 章 借 助 几 何 分 析 解 决 问 题 /108第 九 章 探 索 类 问 题 /136第 十 章 对 称 问 题 /143第 十 一 章 弦 中 点 与 点 差 法 /1492第 一 章 题 目 信 息 转 化 为 坐 标 表 达第 一 章 题 目 信 息 转 化 为 坐 标 表 达 /21.1 距 离 公 式 与 弦 长 公 式 /31.2 题 目 核 心 条
6、件 转 化 为 坐 标 /91.3 转 化 为 坐 标 后 ， 怎 么 处 理 /16总 思 路 ：1. 联 立 直 线 与 曲 线 并 且 判 断 0 使 用 韦 达 定 理 得 到 x1 x2 , x1x2(绝 大 部 分 学 生 能 做 到 )2. 题 目 中 核 心 信 息 坐 标 表 达 式(本 课 需 要 解 决 的 问 题 ， 也 是 学 生 感 觉 最 杂 的 问 题 。 通 过 收 集 ， 归 纳 ， 整 理 可 以 解 决 。 建 议 学 生 准 备 一 个活 页 本 ， 把 试 卷 作 业 ， 例 题 都 抄 录 下 来 ， 核 心 部 分 用 红 笔 加 注 ， 每 过
7、 一 段 时 间 回 顾 一 下 ， 并 把 同 类 题 归类 。 到 高 三 下 学 期 ， 自 成 体 系 ， 圆 锥 曲 线 大 题 可 以 满 分 。 )3. 计 算 表 达 式(后 期 学 生 最 缺 的 能 力 ， 圆 锥 曲 线 最 难 算 的 部 分 ， 学 生 最 头 痛 的 位 置 。 建 议 初 学 者 一 定 要 心 平 气 和 对 待 ，计 算 要 一 步 三 回 头 ！ ！ )例 ： 抛 物 线 y2=4x ， 与 直 线 l交 于 A,B, 且 OA OB, 求 证 AB过 定 点设 直 线 AB为 ： y=kx+m, A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 ).
8、OA OB x1x2 +y1y2 0 y124 y224 y1y2 0 y1y2 16联 立 y=kx my2=4x ky2 4y 4m 0 y1y2 4mk 16 m 4k代 入 到 直 线 方 程 y kx 4k k(x 4) 直 线 过 (4,0)首 先 说 一 说 为 什 么 有 些 题 要 使 用 韦 达 定 理 解 决 ：拿 椭 圆 来 说 y=kx mx 2a2 y 2b2 1联 立 得 (b 2 a 2 k 2 )x 2 2kma2 x a 2 (m2 b2 ) 0而 韦 达 定 理 x1 x2 2kma2b 2 a 2 k 2 ,x1x2 a 2 (m2 b2 )b 2 a
9、2 k 2可 以 观 察 到 ：第 一 ， 可 以 看 出 韦 达 定 理 右 侧 的 式 子 跟 椭 圆 与 直 线 中 的 a2 ,b2,k,m 这 些 参 数 有 关 。 而 我 们 题 目 中 往往 会 要 求 我 们 求 这 些 参 数 或 者 参 数 的 范 围 。 第 二 ， 题 目 中 核 心 条 件 往 往 可 以 转 化 为 与 x1 ,x2 ,y1 ,y2 有3关 的 坐 标 形 式 。总 之 ， 韦 达 定 理 是 一 个 桥 梁 ， 它 连 接 了 题 干 中 的 条 件 与 方 程 中 的 参 数 。 所 以 我 们 第 一 章 的 所 有 题 的 总 思路 ， 都
10、 是 先 把 题 目 信 息 坐 标 化 ， 然 后 联 立 直 线 与 曲 线 ， 最 后 使 用 韦 达 定 理 。1.1 距 离 公 式 与 弦 长 公 式一 ， 距 离 公 式假 设 A(xA ,yA ),B(xB ,yB ) ， 则 A,B 之 间 的 距 离 ：|AB| (xA xB)2 (yB yA)2 1 kAB2|xA xB| 1 1kAB2|yA yB|1.距 离 公 式 源 于 两 点 间 距 离 公 式 ， 任 何 时 候 都 能 用 ， 不 是 非 得 与 曲 线 联 立 才 能 用 ， 只 要 找 横 （ 纵 ） 坐 标和 斜 率 共 计 三 个 量 即 可 表 示
11、 距 离 。2.如 果 A与 B是 曲 线 上 的 两 个 点 ， 那 么 上 述 式 子 称 之 为 弦 长 公 式 。3.弦 长 公 式 是 万 用 的 ， 只 要 是 直 线 与 曲 线 有 两 个 交 点 A,B. 都 可 以 用 上 述 式 子 计 算 弦 长 。我 们 看 下 面 两 个 例 子 ：例 ： 椭 圆 x25 y2 1的 右 焦 点 为 F， 斜 率 为 2且 过 点 F的 直 线 l, 与 该 椭 圆 相 交 于 A,B两 点 ,求 |FA|FB|解 析 ： 第 一 步 ： 题 目 信 息 坐 标 化 ：设 A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 ),因 为 F(2,
12、0)|FA| 1 kFA2 |xA xF| 1 2 2 |x1 2|FB| 1 kFB2 |xB xF| 1 2 2 |x2 2|FA| |FB| 5|x1 2|x2 2| 5|x1 x2 2(x1 x2 ) 4|第 二 步 ： 联 立 所 得 直 线 y 2x 2与 椭 圆 x25 y2 1得21x 2 40x 15 0其 中 x1 x2 1521=75 x1 x2 4021 .第 三 步 ： 使 用 韦 达 定 理|FA| |FB| 2|x1 x2 2(x1 x2 ) 4|学 会 使 用 方 法 ， 答 案 略 。思 考 ： 解 答 使 用 的 是 关 于 x的 距 离 公 式 ， 我 们
13、 能 否 使 用 关 于 y的 距 离 公 式 ？答 ： |FA| 1 1kAB2 |yA yB| 2|yA|, |FB| 1 1kAB2 |yA yB| 2|yB|FA| |FB| 2|yAyB| 2|y1y2|4这 里 我 们 观 察 到 :由 于 F点 的 纵 坐 标 是 0, 使 用 关 于 y的距 离 公 式 的 话 ， 结 果 变 得 非 常 简 洁 .联 立 时 只 需 要 消 去 x, 保 留 y.这 给 我 们 的 经 验 就 是 ： 可 以 留 心 有 没 有纵 坐 标 为 0， 使 得 距 离 公 式 大 幅 简 化 .【 2015江 苏 】 知 椭 圆 x22 y2 1
14、,过 右 焦 点 F的 直 线 l与 椭 圆 交 于 A,B两 点 ， AB的 垂 直 平 分 线 交 x 2和 AB于 点 P,C,已 知 |PC| 2|AB|， 求 k思 路 ： 设 A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 ),A,B的 中 点 为 C( x1 x22 , y1 y22 ),设 直 线 AB为 y k(x 1),因 为 PC AB， 所 以 k PC 1k|PC| 1 kPC2 |xP xC| 1 ( 1k)2 | 2 x1 x22 | 1 ( 1k)2 |2 x1 x22 |AB| 1 k2 |xA xB| 1 k2 |x1 x2|接 下 来 的 任 务 就 是 联 立
15、x22 y2 1y k(x 1) , 使 用 韦 达 定 理 代 换 的 过 程 了答 案 ： k 1对 距 离 公 式 的 理 解 ： 不 需 要 求 解 P 点 的 纵 坐 标 来 算 距 离 ， 只 需 要 两 个 横 坐 标 以 及 斜 率 即 可 。二 . 抛 物 线 中 的 弦 长 公 式 已 知 抛 物 线 y2 2px(p 0),过 焦 点 F的 直 线 与 抛 物 线 交 于 A,B两 点设 A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 )， 那 么|AF| x1 p2 |BF| x2 p2|AB| |AF| |BF| x1 x2 p 已 知 抛 物 线 x 2 2py(p 0),
16、过 焦 点 F的 直 线 与 抛 物 线 交 于 A,B两 点设 A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 )， 那 么同 理 ： |AB| |AF| |BF| y1 y2 p注 意 ：1. 如 果 直 线 过 焦 点 F， 则 不 必 使 用 弦 长 公 式 ， 而 是 使 用 更 快 捷 的 焦 半 径 公 式 。2. 不 要 盲 目 使 用 ， 直 线 不 过 焦 点 的 话 ， 我 们 还 是 得 乖 乖 的 使 用 万 能 的 弦 长 公 式 。5例 ： 过 点 M(2， 0)作 直 线 l与 抛 物 线 y 2 4x 交 于 A,B两 点 ， 其 中 直 线 的 斜 率 为 1， 求
17、 |AB|例 ： 过 点 M(1， 0)作 直 线 l与 抛 物 线 y 2 4x 交 于 A,B两 点 ， 其 中 直 线 的 斜 率 为 1， 求 |AB|例 ： 已 知 曲 线 C： y 2 4x， 已 知 过 点 （ 1， 0） 的 直 线 与 曲 线 C交 于 A,B两 点求 证 ： 1AF 1BF =1【 2015湖 南 文 】 已 知 抛 物 线 21: 4C x y 的 焦 点 F 也 是 椭 圆 2 22 2 2: 1y xC a b ( 0)a b 的 一 个 焦 点 ， 1C 与 2C 的 公 共 弦 长 为 2 6 ， 过 点 F 的 直 线 l与 1C 相 交 于 ,
18、A B两 点 ， 与 2C 相交 于 ,C D 两 点 ， 且 AC 与 BD 同 向 。（ I） 求 2C 的 方 程 ； （ II） 若 AC BD ， 求 直 线 l的 斜 率 。【 答 案 】 （ I） 2 2 19 8y x ； (II) 64 .试 题 解 析 ：（ I） 由 21: 4C x y 知 其 焦 点 F的 坐 标 为 (0,1) ， 因 为 F也 是 椭 圆 2C 的 一 个 焦 点 ， 所 以 2 2 1a b ； 又 1C 与 2C 的 公 共 弦 长 为 2 6 ， 1C 与 2C 都 关 于 y 轴 对 称 ， 且 1C 的 方 程 为 21: 4C x y
19、， 由 此 易 知1C 与 2C 的 公 共 点 的 坐 标 为 3( 6, )2 ， 2 29 6 14a b ，联 立 得 2 29, 8a b ， 故 2C 的 方 程 为 2 2 19 8y x 。（ II） 如 图 ， 设 1 1 2 2 3 3 4 4( , ), ( , ), ( , ), ( , ),A x y B x y C x y D x y因 AC 与 BD 同 向 ， 且 AC BD ，所 以 AC BD ，从 而 3 1 4 2x x x x ， 即 3 4 1 2x x x x ，于 是 2 23 4 3 4 1 2 1 2( ) 4 ( ) 4x x x x x
20、x xx 设 直 线 l的 斜 率 为 k， 则 l的 方 程 为 1y kx ，6由 2 14y kxx y 得 2 4 4 0x kx ， 由 1 2,x x 是 这 个 方 程 的 两 根 ， 1 2 1 24 , 4x x k xx 由 2 2 118 9y kxx y 得 2 2(9 8 ) 16 64 0k x kx ， 而 3 4,x x 是 这 个 方 程 的 两 根 ，3 4 3 42 216 64,9 8 9 8kx x x xk k ， 将 、 代 入 ， 得 2 32 2 2 216 4 6416( 1) (9 8 ) 9 8kk k k 。 即 2 22 2 216
21、9( 1)16( 1) (9 8 )kk k 所 以 2 2(9 8 ) 16 9k ， 解 得 64k ， 即 直 线 l的 斜 率 为 64考 点 ： 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 关 系 ； 椭 圆 的 性 质提 示 ： 代 数 不 行 几 何 来 帮 忙 ， 即 |AC|=|BD| |AB|=|CD|(等 量 加 等 量 ， 和 相 等 )建 议 记 住 的 内 容 (你 会 发 现 节 约 大 量 运 算 时 间 的 )：设 椭 圆 x 2a2 y 2b2 1与 直 线 y=kx+m交 于 A,B 两 点则 |AB| 1 k2 |xA xB|二 次 项 系 数 指 的 是
22、直 线 与 椭 圆 联 立 后 x2的 系 数 .三 .圆 的 弦 长 公 式 : 圆 的 弦 长 可 借 助 垂 径 定 理 与 勾 股 定 理 来 求 解 ：如 图 ， 圆 O的 半 径 为 R,OE AB,其 中 AB为 圆 O的 弦 ， AB与 直 径 CD交 于 点 E.|OE|=d,则 AB=2 R2 d2计 算 d时 ， 需 要 使 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 .7(2014重 庆 )已 知 直 线 ax y 2 0与 圆 心 为 C的 圆 (x 1)2 (y a)2 4相 交 于 两 点 ， 且 ABC为 等 边 三角 形 ， 则 实 数 a 思 路 ： 结 合 图
23、 像 ： ABC等 边 ， 且 圆 的 半 径 为 2.所 以 AB=2.所 以 圆 心 到 直 线 的距 离 为 3,又 圆 心 (1,a)到 直 线 ax y 2 0的 距 离 d= 2a-2a2+1 解 得 a=4 15(2014陕 西 文 )已 知 椭 圆 2 22 2 1( 0)x y a ba b 经 过 点 (0, 3)， 离 心 率 为 12， 左 右 焦 点 分 别 为1 2( ,0), ( ,0)F c F c .（ 1） 求 椭 圆 的 方 程 ；（ 2） 若 直 线 1: 2l y x m 与 椭 圆 交 于 ,A B两 点 ， 与 以 1 2FF 为 直 径 的 圆
24、交 于 ,C D两 点 ， 且 满 足| | 5 3| | 4ABCD ， 求 直 线 l的 方 程 .62. （ 1） 由 题 意 可 得 3122 2 2bcab a c 解 得 2, 3, 1a b c 椭 圆 的 方 程 为 2 2 14 3x y （ 2） 由 题 意 可 得 以 1 2FF 为 直 径 的 圆 的 方 程 为 2 2 1x y 圆 心 到 直 线 l的 距 离 为 2| |5md 由 1d ， 即 2| | 15m ， 可 得 5| | 2m 22 24 2| | 2 1 2 1 5 45 5mCD d m 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B
25、x y 联 立 2 212 14 3y x mx y 整 理 得 2 2 3 0x mx m 由 求 根 公 式 可 得 ： 1 2x x m ， 21 2 3xx m 82 2 2 21 15| | 1 ( ) 4( 3) 42 2AB m m m | | 5 3| | 4ABCD 224 15 4mm 解 方 程 得 33m ， 且 满 足 5| | 2m 直 线 l的 方 程 为 1 32 3y x 或 1 32 3y x (2011天 津 文 )（ 本 小 题 满 分 13分 ）设 椭 圆 2 22 2 1( 0)x y a ba b 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1， F2。
26、 点 ( , )P a b 满 足 2 1 2| | | |.PF FF（ ） 求 椭 圆 的 离 心 率 e；（ ） 设 直 线 PF2与 椭 圆 相 交 于 A， B两 点 ， 若 直 线 PF2与 圆 2 2( 1) ( 3) 16x y 相 交 于 m， N两 点 ， 且 5| | | |8MN AB ， 求 椭 圆 的 方 程 。（ ） 解 ： 设 1 2( ,0), ( ,0)( 0)F c F c c ， 因 为 2 1 2| | | |PF FF ，所 以 2 2( ) 2a c b c ， 整 理 得 22 1 0, 1c c ca a a 得 （ 舍 ）或 1 1, .2
27、2c ea 所 以（ ） 解 ： 由 （ ） 知 2 , 3a c b c ， 可 得 椭 圆 方 程 为 2 2 23 4 12x y c ， 直 线 FF2的 方 程 为3( ).y x c A， B两 点 的 坐 标 满 足 方 程 组 2 2 23 4 12 ,3( ).x y cy x c 消 去 y并 整 理 ， 得 25 8 0x cx 。 解 得1 2 80, 5x x c ， 得 方 程 组 的 解 211 2 8 ,0, 53 , 3 3 .5x cxy c y c 不 妨 设 8 3 3,5 5A c c ， (0, 3 )B c ，所 以 228 3 3 16| | 3
28、 .5 5 5AB c c c c 9于 是 5| | | | 2 .8MN AB c 圆 心 1, 3 到 直 线 PF2的 距 离 | 3 3 3 | 3|2 |.2 2c cd 因 为 22 2| | 42MNd ， 所 以 2 23(2 ) 16.4 c c 整 理 得 27 12 52 0c c ， 得 267c （ 舍 ） ， 或 2.c所 以 椭 圆 方 程 为 2 2 1.16 12x y 1.2 题 目 核 心 条 件 怎 么 转 化 为 坐 标圆 锥 曲 线 题 目 中 的 条 件 往 往 与 坐 标 无 关 ， 那 么 具 体 如 何 转 化 为 坐 标 表 达 ，下 面
29、 举 出 常 见 的 案 例 （ 缺 失 部 分 自 己 请 同 学 们 自 行 查 阅 回 顾 ） ：已 知 直 线 AB与 某 曲 线 相 交 ， 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(2,0),O为 原 点 ,将 下 列 问 题 换 为关 于 x1,x2,y1,y2的 坐 标 表 达 式1.问 ： 遇 到 OA OB怎 么 办 ？答 ： OAOB=0 1.x1 x2 y1 y2 0 2.kOA kOB 1 3.OA2 OB2 AB22.问 ： 遇 到 MA MB怎 么 办 ？答 ：3.问 ： 遇 到 AM=2MB, 怎 么 办答 ：4.问 ： 遇 到 |MA| |MB|,怎 么 办
30、 ？答 ： (x1-2)2+y12 (x2-2)2+y225.问 ： A,B,M三 点 共 线 ， 怎 么 办 ？答 ： kMA=kMB y1x1 2 y2x2 26.问 ： 遇 到 AMB为 锐 角 怎 么 办 ？答 ： MAMB 07.问 ： 遇 到 OA与 MB共 线 ， 怎 么 办 ？答 ：8.问 ： M在 直 线 AB上 ， |AM|=2|BM|10答 ： y1 =2y2 长 度 比 换 坐 标 比 ， 注 意 是 x轴 ， 还 是 y轴 上 的 交 点 。 从 而 选 用 x， 还 是 y9. AMO的 面 积 等 于 BOM的 面 积 的 2倍答 ： y1=2y210. AMO=
31、 BOM答 ： kmA+kmB=0 y1x1 2+ y2x2 2=011.AB的 中 垂 线 过 点 M答 ： |AM|=|BM| (x1-2)2+y12 (x2-2)2+y22又 答 ： 取 AB的 中 点 为 M0， 则 kAB kMM0= 1,M0代 入 直 线 AB的 方 程 等 号 成 立 .12.点 M在 以 AB为 直 径 的 圆 上答 ： 夹 角 为 直 角 MAMB 013.点 M在 以 AB为 直 径 的 圆 内 , 点 M在 以 AB为 直 径 的 圆 外答 ： 夹 角 为 钝 角 MAMB 0， 夹 角 为 锐 角 MAMB 014.M是 以 OA,OB为 临 边 的
32、平 行 四 边 形 的 顶 点答 ：15.T(1,0),A(x1,y1 ),B(x2 ,y2 )三 点 共 线 ， 则 TATB答 y1y216.设 A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 ),直 线 AB的 倾 斜 角 为 ， 则 |AB|sin=|y1-y2|,|AB|cos=|x1-x2|17.若 I是 ABC的 内 心 ， 则 AIABAB = AIACAC18. 若 H为 ABC的 垂 心 ， 则答 ：19.设 A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 ),C(x3 ,y3 ),则 ABC的 重 心 坐 标 ( x1+x2+x33 , y1+y2+y33 )20.点 M,N在 x轴 上
33、 ,点 Q在 y轴 上 , OQM= ONQ 正 切 值 相 等 OMOQ =OQON21.y 2 =2px在 A(x1 ,y1 )处 的 切 线 方 程答 ： y1 y=px1+px1122.x 2=2py在 A(x1 ,y1 )处 的 切 线 方 程答 ： 求 导 数 写 切 线 方 程 或 x1 x=py1+py23.MA与 圆 C相 切 于 点 A,MA与 圆 C相 切 于 点 B,求 AMB答 ： sin AMC=半 径MC， AMC=12 AMB,也 可 尝 试 正 切 入 手24. AOM中 ， AOm AMO AM OA25. MAB中 ， 设 MA MB,则 ABsin BA
34、M=26.OAcos AOB= OAOB|OB| (数 量 积 与 投 影 )可 以 看 出 ： 上 述 案 例 转 化 后 的 落 脚 点 都 是 长 度 、 垂 直 、 平 行 、 向 量 表 示 、 三 点 共 线 、 直 线 方 程 。 这 是 因为 我 们 的 长 度 有 距 离 公 式 的 坐 标 表 达 ， 像 垂 直 、 平 行 、 向 量 都 可 转 化 为 相 应 的 坐 标 表 达 。 对 于 角 度 的 处理 ， 我 们 往 往 借 助 三 角 函 数 ， 可 以 把 角 度 转 化 为 长 度 表 达 .有 时 候 还 需 要 借 助 几 何 分 析 :如 初 中 三
35、 角 函 数定 义 ， 相 似 三 角 形 ， 圆 的 相 关 几 何 定 理 ， 平 行 四 边 形 的 性 质 等 。例 ： 已 知 直 线 l交 椭 圆 4x2+5y2=80于 M,N两 点 ， B是 椭 圆 于 y轴 正 半 轴 的 交 点 ， 若 BMN的 重 心 恰 好 为 椭 圆 的 右 焦 点 ， 则 直 线 l的 方 程 为 _2015新 课 标 1 已 知 过 点 (0,1)A 且 斜 率 为 k的 直 线 l与 圆 C： 2 2( 2) ( 3) 1x y 交 于 ,M N两 点 （ ） 求 k的 取 值 范 围 ；（ ） 若 12OM ON ， 其 中 O为 坐 标 原
36、 点 ， 求 MN 62 【 解 析 】 （ ） 由 题 设 ， 可 知 直 线 l 的 方 程 为 1y kx 因 为 l 与 C 交 于 两 点 ， 所 以 2|2 3 1| 11k k 解 得 4 7 4 73 3k 所 以 k的 取 值 范 围 是 4 7 4 7,3 3 （ ） 设 1 1 2 2( ,y ), ( ,y )M x N x 将 1y kx 代 入 方 程 2 22 3 1x y ， 整 理 得 2 2(1 ) 4( 1) 7 0k x k x ，所 以 1 2 24( 1)1kx x k ， 1 2 271xx k 21 2 1 2 1 2 1 2 24 (1 )1
37、1 81k kOM ON xx yy k xx kx x k ，12由 题 设 可 得 24 (1 ) 8=121k kk ， 解 得 =1k ， 所 以 l 的 方 程 为 1y x 故 圆 心 在 直 线 l 上 ， 所 以 | | 2MN （ 2017新 课 标 ） 已 知 抛 物 线 C： 2 2y x ， 过 点 (2,0)的 直 线 l交 C与 A， B两 点 ， 圆 M 是 以 线 段 AB为 直 径 的 圆 (1)证 明 ： 坐 标 原 点 O在 圆 M 上 ；(2)设 圆 M 过 点 (4, 2)P ， 求 直 线 l与 圆 M 的 方 程 25 【 解 析 】 （ 1） 设
38、 A x ,y1 1 ， B x ,y2 2 ， l： 2x ym 由 2 22x myy x 可 得 y my 2 2 4 0， 则 y y 1 2 4又 yx 211= 2 ， yx 222= 2 ， 故 y yxx 21 21 2= 4 =4因 此 OA的 斜 率 与 OB的 斜 率 之 积 为 y yx x1 21 2 -4= =-14 ， 所 以 OA OB 故 坐 标 原 点 O在 圆 M 上 （ 2） 由 （ 1） 可 得 y y m1 2+ =2 ， x x m y y m 21 2 1 2+ = + +4=2 4故 圆 心 M 的 坐 标 为 m m2+2， ， 圆 M 的
39、半 径 r m m 22 22由 于 圆 M 过 点 (4, 2)P ， 因 此 0AP BP ，故 1 2 1 24 4 + +2 +2 =0x x y y 即 xx x x y y y y 1 2 1 2 1 2 1 24 + 2 20 0由 （ 1） 可 得 yy1 2=-4， xx1 2=4所 以 2m m 2 1 0， 解 得 m1或 m12当 1m 时 ， 直 线 l的 方 程 为 2 0x y ， 圆 心 M 的 坐 标 为 (3,1)， 圆 M 的 半 径 为 10 ， 圆 M 的方 程 为 x y 2 23 1 10当 12m 时 ， 直 线 l的 方 程 为 2 4 0x
40、y ， 圆 心 M 的 坐 标 为 9 1( , )4 2 ， 圆 M 的 半 径 为 854 ，13圆 M 的 方 程 为 2 29 1 85( ) ( )4 2 16x y 2015 福 建 18. 已 知 椭 圆 E： 2 22 2 1(a 0)x y ba b+ = 过 点 (0, 2） ， 且 离 心 率 为 22 ( )求 椭 圆 E 的 方 程 ；( )设 直 线 1x my m R= - ， ( )交 椭 圆 E 于 A， B 两 点 ， 判 断 点 G 9( 4- ,0)与 以 线 段 AB 为 直 径 的 圆 的 位置 关 系 ， 并 说 明 理 由 ： 解 法 一 ： (
41、 )由 已 知 得 2 2 22,2,2 ,bcaa b c = = = + 解 得 222abc = = = 所 以 椭 圆 E 的 方 程 为 2 2 14 2x y+ = 故 2 2 2 22 20 1 2 2 2 2|AB| 5 25 5 3(m +1) 25 17 2|GH| my (m +1) y 04 2 16 2(m 2) m 2 16 16(m 2)m my +- = + + = - + = + + +所 以 |AB|GH| 2 ， 故 G 9( 4- ,0)在 以 AB为 直 径 的 圆 外 解 法 二 ： ( )同 解 法 一 .( )设 点 1 1 2 2( y ),B
42、( ,y ),A x x ， 则 1 1 2 29 9GA ( , ),GB ( , ).4 4x y x y= + = + 14由 2 22 2 1 (m 2)y 2 3 0,14 2x my myx y = - + - - = + = 得 所 以 1 2 1 22 22 3y +y = ,y y =m 2 m 2m+ + ，从 而 1 2 1 2 1 2 1 29 9 5 5GA GB ( )( ) (my )(my )4 4 4 4x x yy yy= + + + = + + + 2 22 1 2 1 2 2 25 25 5 3(m +1) 25(m +1) y ( y )4 16 2(
43、m 2) m 2 16my m y= + + + = - + + 2217 2 016(m 2)m += +所 以 cos GA,GB 0, GAGB狁 又 ， 不 共 线 ， 所 以 AGB 为 锐 角 .故 点 G 9( 4- ,0)在 以 AB为 直 径 的 圆 外 (2010江 西 文 )已 知 抛 物 线 1C ： 2 2x by b 经 过 椭 圆 2C ： 2 22 2 1( 0)x y a ba b 的 两 个 焦 点 .(1) 求 椭 圆 2C 的 离 心 率 ；(2) 设 (3, )Q b ， 又 ,M N为 1C 与 2C 不 在 y轴 上 的 两 个 交 点 ， 若 Q
44、MN 的 重 心 在 抛 物 线 1C 上 ， 求 1C 和2C 的 方 程 .【 解 析 】 考 查 椭 圆 和 抛 物 线 的 定 义 、 基 本 量 ， 通 过 交 点 三 角 形 来 确 认 方 程 。解 ： （ 1） 因 为 抛 物 线 1C 经 过 椭 圆 2C 的 两 个 焦 点 1 2( ,0), ( ,0)F c F c ，所 以 2 20c b b ， 即 2 2c b ， 由 2 2 2 22a b c c 得 椭 圆 2C 的 离 心 率 22e .（ 2） 由 （ 1） 可 知 2 22a b ， 椭 圆 2C 的 方 程 为 ： 2 22 2 12x yb b 联
45、立 抛 物 线 1C 的 方 程 2 2x by b 得 ： 2 22 0y by b ，解 得 ： 2by 或 y b （ 舍 去 ） ， 所 以 62x b ，即 6 6( , ), ( , )2 2 2 2b bM b N b ， 所 以 QMN 的 重 心 坐 标 为 (1,0) .因 为 重 心 在 1C 上 ， 所 以 2 21 0b b ， 得 1b .所 以 2 2a .所 以 抛 物 线 1C 的 方 程 为 ： 2 1x y ， 椭 圆 2C 的 方 程 为 ： 2 2 12x y . N xQM Oy15(2010陕 西 文 )如 图 ， 椭 圆 C： 12222 byax 的 顶 点 为 A1,A2,B1,B2,焦 点 为 F1,F2, 711 BA ,S A1B1A2B2 =2S B1F1B2F2( )求 椭 圆 C 的 方 程 ；( )设 n 是 过 原 点 的 直 线 ， l 是 与 n垂 直 相 交 于 P点 、 与 椭 圆 相 交 于 A,B两 点 的 直 线 ， 1OP ， 是 否存 在 上 述 直 线 l 使 0OO BA 成 立 ？ 若 存 在 ， 求 出 直 线 l 的 方 程 ； 若 不 存
