1、 第一讲 任意角与三角函数诱导公式1. 知识要点角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负x半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。终边相同的角的表示： 终边与 终边相同( 的终边在 终边所在射线上)。2)kZ注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.终边在 轴
2、上的角可表示为： ；x,kZ终边在 轴上的角可表示为： ；y 2终边在坐标轴上的角可表示为： . ,角度与弧度的互换关系：360=2 180= 1=0.01745 1=57.30=5718注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.与 的终边关系：2任意角的三角函数的定义:设 是任意一个角，P 是 的终边上的任意一点（异于原点），(,)xy它与原点的距离是 ，那么 ，20rsin,cosyxrr， ， ， 。tan,0yxcoty()ecx00y三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。三角函数线的特征：正弦线MP“站在 轴上(起点在 轴上)”、余弦线OxM“躺
3、在 轴上( 起点是原点)” 、正切线AT“ 站在点 处( 起点是 )”x 1,0)AA同角三角函数的基本关系式：1. 平方关系： 222222sincos1,tansec,otcs2. 倒数关系：sin csc =1,cos sec =1,tan cot =1,3. 商数关系： sincosta,tcoin注意：1.角 的任意性。 2.同角才可使用。 3.熟悉公式的变形形式。三角函数诱导公式：“ （ ）”记忆口诀: 2k“奇变偶不变，符号看象限”典型例题例1求下列三角函数值： （1）cos210 ； (2)sin 45例2求下列各式的值： （1）sin( )； 34(2)cos(60)sin(
4、210)例3化简 )180sin()180cos(co4in例4已知cos(+ )= ， a b B. a b c C. a c b D. b c a18. 若 是第四象限角，则 是 （ ）A 第一象限 B.第二象限 C. 第三象限期 D.第四象限19.若 ，则 的值为 .0cos3sinsin3co220.sin tan = _49721.若 是第二象限的角，则 2是第 象限的角。22.若 角的终边与85角的终边相同，则在 0,2上终边与 4的角终边相同的角为 ；23.终边在 x轴上的角的集合为 ，终边在 y轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 。24. 已知 xf1)(，若，2，
5、求 )cos()(csff的值。25. 已知 ，求 的值.21)sin( cos)ct()sin(26. 已知： ，求 33cossin和 44cosin的值。21cosin27. 若cos ，是第四象限角，求 的值23sin(2)sin(3)cos()coc4第二讲 三角函数的图像与性质1函数 BxAy)sin(），（ 其 中 0A函数 sinyxcosyxtanyx图象定义域 RR|,2xkZ值域 1,1,R奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数最小正周期2T； 2T； T； 对称轴 ,xkZ,xkZ无对称中心 (,0)(,0)2(,0)2kZ单调递增区间 2,kk,k,k单调递减区间 ,Z,Z无
6、最大值是 ，最小值是 ，周期是 ，频率是 ，BAAB2T2f相位是 ，初相是 ；其图象的对称轴是直线x )(Zkx，凡是该图象与直线 的交点都是该图象的对称中心。y2由ysinx的图象变换出 ysin(x )的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。3由yAsin(x )的图象求其函数式：4五点法作y=Asin（x+ ）的简图：典例解析例1（2000全国，5）函数yxcosx的部分图象是（ ）例2试述如何由y= sin（2x+ ）的图象得到 y=sinx的图象。313例3（2003上海春，15）把曲线ycos x+2y1=0先沿x轴向右平移 个2单位，再沿y轴向下平移
7、1个单位，得到的曲线方程是（ ）A（ 1y）sinx +2y 3=0 B（y1）sinx+2y 3=0C（y +1）sin x+2y+1=0 D( y+1)sinx+2y+1=0例4（2003上海春，18）已知函数f（x）=Asin（x+ ）（A 0，0 ， xR）在一个周期内的图象如图所示，求直线y= 与函数f（x）图象的所有交点3的坐标。例5（1）已知f（x）的定义域为0，1，求f （c osx）的定义域；（2）求函数y=lgsin（c osx）的定义域；例6求下列函数的单调区间：（1）y= sin（ ）；（2）y=sin（x+ ）。2434例7关于x的函数f（x ）=sin（x+ ）有以
8、下命题：对任意的 ，f（x ）都是非奇非偶函数；不存在 ，使f（x ）既是奇函数，又是偶函数；存在 ，使f（x ）是奇函数；对任意的 ，f（x ）都不是偶函数。其中一个假命题的序号是 . 例8设 的周期 ，最大值 ，)0(cossin)(xbaxf T4)12(f（1）求 、 、 的值；（2） 。的 值终 边 不 共 线 ， 求、的 两 根 ，为 方 程、若 )tan()( f例9函数y 的最大值是（ ）xcosin21A 1 B 1 C1 D12222课后练习1、 的最小正周期是 、对称轴是 3sin(2)4yx、单调递增区间是 、单调递减区间是 ；振幅是 、相位是 、初相是 。用五点法作出
9、该函数的图象。并说明该函数怎样由 变化而sinyx来。2、求 的单调递减区间。3sin(2),42yx3、比较大小 ； 6cos(),in,si87tan1,2t34、求 的最大值、最小值及对应的x的取值范3sin(2),6yx围。5、求 的最值及对应的x的取值。3sin(2),06yaxa6、若 的最大值是 ，最小值是 ，求 的2sin(),032yaxb15ab，值。7、为了得到 的图象，只须将 的图象向 3sin(2)6yx3sin(2)yx平移 个单位。8、定义在R的函数 ，对任意 都有 。（()fxxR(2)1()1fxfxf1）证明 是周期函数。（2）若 ，求 。()f )039、
10、若 ，在其一个周期内的图象上有sin()(0,)2yAxBA一个最高点 和一个最低点 ，求这个函数的解析式。,3127(,5110、求 的值域215()cosin,26fxaxb第三讲 三角函数两角和公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = tan(A-B) =tanAB-1tanAB1cot(A+B) = cot(A-B) =coco倍角公式tan2A = Sin2A=2S
11、inACosA Atan12cos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tanatan( +a)tan( -a)半角公式sin( )= cos( )= 2Acos12Acos1tan( )= cot( )= tan( )= =ss2Asinco1Asi万能公式sina= cosa= tana=2)(tan12)(tan12)(tan1例1. 求值：（1） .75cossin)2(;70sin1co2例2. 已知3sinsin （2 ）且tan1，求t
12、an（）.例3. 已知方程x 24ax 3a 1 0（a1）的两根分别为tan，tan 且，（ )，求sin 2（）sin（ ）cos （）2cos 2（ ),的值.例4. ;cos2sin 1BA化 简 .cos,tan, 的 值求为 锐 角、已 知 31542例5. （1）如果方程 的两根为tan、tan ，求102cbx的值；22 oscossinsinb（2）在非直角ABC 中，求证：tanA tanBtanCtanAtanBtanC例6. 化简 .8sin157sinco 1.50cosin211ta38s50i 2例7. 已知 ，、 都是锐角，求 tan（）的21cos,31sin
13、值课后练习1选择题 )( 37sin837cosin 的 值 为(A) (B) (C) (D)221 23 )( 75tan1 的 值 为(A) (B) (D)3 3 3 C3 )( 22的 值 是则若 x,cosxsi(A) (B) (C) (D)10 6 5 4 2填空题 ._3sin,23,5cos 4 则若 ._1tan3 5._sinsicos63解答题.60ta360tant 7 化 简 .cos,2,0,14cos,71s 8 的 值求且已 知 .cos,0csocsinsin 9 的 值求若 第四讲 三角函数复习一、知识点整理与归纳:1、角的概念的推广、角的集合的表示、角的度量
14、制与换算换算关系:： ，弧长公式: ，扇形面积公式:180()弧 度 lr2Slr2、三角函数的定义熟记三角函数在各象限的符号：sin,cos,tanyxyrr3、三角函数线及简单应用（判断正负、比较大小，解方程或不等式等）4、正弦函数 、余弦函数 、正切函数 的图像和性siyxcosyxtanyx质：5、函数 sin()yAx的图像 和性质：作图 时常用两种方 法：五点 法：图象变换法： (1)sin()sin()sin sin()2yxyxyx yAx 6、结合函数 的简图可知： BAi），（ 其 中 0A该函数的最大值是 ，最小值是 ，周期是 ，频率是2T，相位是 ，初相是 ； 2f x
15、7、几组重要公式一）同角三角函数的基本关系式：1）平方关系： ；1cosin222222 tan1coss1tan2）商式关系： ；sin=tancosta二）诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限” 。三）和角公式和差角公式：x0 223)sin(Ay0 A 0 -A 0： ()Ssin()sicosin： ()Ccoi：()scossni： ， ：()Ttantan1t()Ttanta1t四）二倍角公式： ， ，si2icos22cosi2tt1a五）合一变形公式： asinbcos sin（） cos（ ）2b2ba六）降次公式： ， 21cos1coscs,in(sincos)21sin2
16、，七）正弦定理： 及其变形公式有：RCBbAa2sinisin（1） ；（2）cRa,；BRAi2i,sin（3） 等sn:ab八）余弦定理： 及其变形： 等；2cosA22cosbcaA九）三角形面积公式： 11inisinABCShbaCB8、利用正弦定理、余弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下四类解斜三角形问题：（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角， （3）已知三边求三内角；（4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角。9、解斜三角形的应用题的解题步骤：（1）分析属于哪种类型的问题（如：测量距离、高度、
17、角度等）；（2）依题意画出示意图，并把已知量标在示意图中；（3）最后确定用哪个定理转化、哪个定理求解，并进行求解；（4）检验并作答.典型例题：例1、定义在区间 上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交20,点为P，过点 P作PP 1x轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx的图像交于点P 2,则线段P 1P2的长为_ 。例2、已知 ， ， ， ，求sin434053)cos(135)4sin( + )的值。例3、已知电流I与时间t的关系式为 。sin()IAt（）右图是 （0， ）在一sin()IAt|2个周期内的图象，根据图中数据求 的i()It解析式；（）如果t在任意一段 秒
18、的时间内，电流150都能取得最大值和最小值，那么的最小正整数值是多sin()IAt少？例5、已知函数 =2 。()fx23sincos1()xxR(1)求函数 的最小正周期及在区间 上的最大值和最小值：0,30-301180-190oIt(2)若 ， ，求 的值。06()5fx0,420cosx课后作业1、设是第二象限角，P(x ，)为其终边上一点，且cos x，则sin的值 .2、已知 是锐角，且 与 的终边相同，则角 的大小为 103、满足sin 0，|2)的图象向左平移个单位长度，则得到偶函数图象，求满足题意的的所有可能的值15、已知函数 .3coss3in)(2xxxf（1）将f(x)写成 的形式，（2 ）求其图象对称中心；s)AB16、（1）已知关于x的方程 sink在0 ， 上有两解，求实数 k的取值范围（2）设关于x的方程sin在内有两个不同根、，求 的值及k的取值范围
