1、第 1 页（共 17 页）2017 年 05 月 09 日三角函数复习题一解答题（共 16 小题）1已知点 P（3m，2m） （m0）在角 的终边上，求 sin，cos，tan2已知 为三角形一内角，且 sin+cos= （1）求 tana 的值；（2）求 3已知关于 x 的方程 2x2（ +1）x+m=0 的两根为 sin 、cos ， （0，2） ，求：（1） + 的值；（2）m 的值4已知函数 f（x）=2 sin（ x）cosx+2cos 2x+a1（）求 f（x）的最小正周期；（）若 f（x）在区间 ， 上的最大值与最小值的和为 2，求 a 的值5已知函数 f（x）=cos（2x ）
2、+2sin（x ）sin（x+ ） （）求函数 f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（）讨论函数 f（x）在区间 ， 上单调性并求出的值域6已知函数 f（x）=2cos 2x1，xR （）求 f（ ）的值；（）求函数 f（x）的最小正周期；（）设 g（ x）=f（ x）+ cos2x，求 g（x ）的值域7已知 是函数 f（x） =2cos2x+asin2x+1 的一个零点（）求实数 a 的值；（）求 f（x）的单调递增区间第 2 页（共 17 页）8已知函数 f（x）=2sin（x+ ）2cosx，x ，（1）若 sinx= ，求函数 f（x）的值；（2）求函数 f（x）的值域和对称轴9
3、设函数 （）求 f（x）的定义域及最小正周期；（）求 f（x）在区间，0上的最值10已知函数 f（x ）= sin2xcos2x+（）求函数 f（x）=0 时 x 的集合；（）求函数 f（x）在区间 0， 上的最小值11 （1）设 ， 为锐角，且 ，求 +的值；（2）化简求值： 12已知函数 f（x ）=Asin（x+）+B （A0，0，| | ）的最大值为2 ，最小值为 ，周期为 ，且图象过（0， ） （1）求函数 f（x）的解析式；（2）求函数 f（x）的单调递增区间13已知函数 f（x ）= sin2xcos+cos2xsin+ cos（ +） （0） ，其图象上相邻两条对称轴之间的距离
4、为 ，且过点（ ） （I）求 和 的值；（II）求函数 y=f（2x ） ，x0 ， 的值域14已知函数（）求函数 f（x）的最小正周期与单调递减区间；（）求函数 f（x）在区间 上的最大值和最小值15已知 （1）求函数 f（x）的单调区间；第 3 页（共 17 页）（2）当 时，对任意的 tR，不等式 mt2+mt+3f （x）恒成立，求实数 m 的取值范围16已知 （）求 f（x）的最小正周期和最大值；（）若 ，画出函数 y=g（x）的图象，讨论y=g（x ） m（ mR）的零点个数第 4 页（共 17 页）2017 年 05 月 09 日三角函数复习题参考答案与试题解析一解答题（共 16
5、 小题）1 （2017 春天桥区校级月考）已知点 P（3m， 2m） （m0）在角 的终边上，求 sin，cos，tan 【分析】直接利用任意角的三角函数，求解即可【解答】解：角 的终边为点 P（ 3，4） ，所以 x=3m，y= 2m，r= ，sin= = cos= = ，tan= 2 （2017 春金水区校级月考）已知 为三角形一内角，且 sin+cos= （1）求 tana 的值；（2）求 【分析】 （1）已知等式两边平方，利用同角三角函数间基本关系化简，求出2sincos= ，确定出 sin与 cos的正负，再利用完全平方公式列出关系式，求出 sin与 cos的值，即可求出 tan的值
6、；（2）将 sin与 cos的值代入计算即可求出值【解答】解：（1）已知等式 sin+cos= ，两边平方得：（sin+cos ）2=1+2sincos= ，即 2sincos= ，sin0，cos0，即 为钝角，（sincos ） 2=12sincos= ，即 sincos= ，联立，解得：sin= ，cos= ，则 tana= ；第 5 页（共 17 页）（2）sin= ，cos= ，原式= = 3 （2017 春万柏林区校级月考）已知关于 x 的方程 2x2（ +1）x+m=0 的两根为 sin 、cos ，（0，2） ，求：（1） + 的值；（2）m 的值【分析】 （1）利用韦达定理求
7、得 sin +cos 和 sin cos 的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值（2）把 sin +cos = ，两边平方，可求得 m 的值【解答】解：（1）由根与系数的关系可知 sin +cos = ，sin cos = ，则 + = =sin +cos = （2）由式平方得 1+2sin cos = ，1+m= ，m= 4 （2017天津）已知函数 f（x）=2 sin（x）cosx+2cos 2x+a1（）求 f（x）的最小正周期；（）若 f（x）在区间 ， 上的最大值与最小值的和为 2，求 a 的值【分析】 （I）利用倍角公式与和差公式可得：函数 f（x）=2 +a可得
8、f（x）的最小正周期 T（II）由 x ， ，可得 2x + ，可得 进而得出答案【解答】解：（I）函数 f（x）=2 sin（ x）cosx +2cos2x+a1= sin2x+cos2x+a第 6 页（共 17 页）=2 +af（ x）的最小正周期 T= =（II）x ， ， 2x + ， f（ x） a1，a+2a 1+a+2=2，解得 a= 5 （2017河东区二模）已知函数 f（x）=cos （2x ）+2sin（x ）sin（ x+ ） （）求函数 f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（）讨论函数 f（x）在区间 ， 上单调性并求出的值域【分析】 （）化简函数，再求函数 f（x
9、 ）的最小正周期和图象的对称轴方程；（）利用正弦函数的性质，讨论函数 f（x ）在区间 ， 上单调性并求出的值域【解答】解：（） =（sinxcosx） （sinx+cosx）= = = 周期 由 ，得 函数图象的对称轴方程为 （） ， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，当 时，f（x）取最大值 1第 7 页（共 17 页） ， 所以值域为 6 （2017浙江模拟）已知函数 f（x）=2cos 2x1，x R（）求 f（ ）的值；（）求函数 f（x）的最小正周期；（）设 g（ x）=f（ x）+ cos2x，求 g（x ）的值域【分析】 （）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，从而求
10、得 f（ ）的值（）根据函数的解析式以及三角函数的周期性，求得函数 f（x ）的最小正周期（）化简 g（x）的解析式，根据正弦函数的值域求得 g（x）的值域【解答】解：（）函数 f（x ）=2cos 2x1=cos2x，f（ ）=cos = （）函数 f（x）=2cos 2x1=cos2x 的最小正周期为 =（）g（ x）=f（ x） + cos2x=cos2（ x）+ cos2x=sin2x+ cos2x=2sin（2x+ ） ，故 g（ x）的值域为2，27 （2017海淀区一模）已知 是函数 f（x）=2cos 2x+asin2x+1 的一个零点（）求实数 a 的值；（）求 f（x）的单
11、调递增区间【分析】 （）利用函数的零点的定义，求得实数 a 的值（）利用三角恒等变化化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调递增区间第 8 页（共 17 页）【解答】解：（）由题意可知 ，即 ，即 ，解得 （）由（）可得 = =，函数 y=sinx 的递增区间为 ，k Z由 ，kZ ，得 ，kZ ，所以，f（x ）的单调递增区间为 ，kZ 8 （2017河东区一模）已知函数 f（x）=2sin（x + ）2cosx，x ， （1）若 sinx= ，求函数 f（x）的值；（2）求函数 f（x）的值域和对称轴【分析】 （1）利用三角恒等变换化简函数 f（x ） ，根据 x ，时
12、sinx 的值求出 f（ x）的值；（2）根据 f（x）的解析式求出 x ，时的值域，求出 f（x）在 x ，内对称轴是 x= 【解答】解：（1）函数 f（x ）=2sin（x+ ）2cosx=2sinxcos +2cosxsin 2cosx= sinxcosx=2sin（x ） ，由 x ，且 sinx= ，cosx= = ；第 9 页（共 17 页）函数 f（x ）= sinxcosx= （ ）= ；（2）由函数 f（x）=2sin（x ） ，x ， ，x ， ，sin （x ） ，1，f（ x）在 x ，的值域是1，2；且 f（x）=2sin（x ）对称轴是 x=k+ ，k Z，x ，对
13、称轴是 x= 9 （2017天津一模）设函数 （）求 f（x）的定义域及最小正周期；（）求 f（x）在区间，0上的最值【分析】 （1）先将函数化简，再求 f（x ）的定义域及最小正周期；（2）f（x ）在区间 ，0的单调性，再利用正弦函数的性质，即可求出最值【解答】解：（） =，由 得 f（x ）的定义域为x|x2 +4k（k Z）故 f（x）的最小正周期为 ，（）x0， ， ，第 10 页（共 17 页） ， ， ，10 （2017平谷区模拟）已知函数 f（x）= sin2xcos2x+（）求函数 f（x）=0 时 x 的集合；（）求函数 f（x）在区间 0， 上的最小值【分析】 （）利用三
14、角恒等变换化 f（x ）为正弦型函数，求出 f（x）=0 时 x的取值集合即可；（）方法一：求出 x0， 时 f（x）的取值范围，即可得出最小值方法二：根据正弦函数的单调性，求出 x0， 时 f（x）的最小值即可【解答】解：（）= ； （5 分）因为：f（x ）=0 时， ，所以：2x =k（k Z） ，解得 x= + ，k Z；所以函数 f（x）=0 时 x 的集合为；（8 分）（）因为 x0， ，所以 ，方法一： ，所以 ；故函数 f（x ）在区间0， 上的最小值为 （13 分）第 11 页（共 17 页）方法二：当时 2x = ，即 x=0 时，f（x）取得最小值 ，故函数 f（x ）在
15、区间0， 上的最小值为 （ 13 分）11 （2017 春 成都期中） （1）设 ， 为锐角，且 ，求 +的值；（2）化简求值： 【分析】 （1）利用同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式求得 cos（+）的值，结合 +的范围，可得 +的值（2）利用同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、诱导公式，求得所给式子的值【解答】解：（1） 为锐角， ， ； 为锐角， ，cos（+）=coscossinsin= ，+ （0，） ，+= （2） = =sin50= =112 （2017 春 新化县校级期中）已知函数 f（x）=Asin（x+ ）+B （A0， 0，| ）的最大值为 2 ，最小值为
16、 ，周期为 ，且图象过（0， ） （1）求函数 f（x）的解析式；（2）求函数 f（x）的单调递增区间【分析】 （1）利用三角函数的最值求出 A，B ，利用函数的周期求出 ，利用图第 12 页（共 17 页）象经过的点求出 ，得到函数的解析式（2）利用函数的单调区间求解函数的单调增区间即可【解答】 （12 分）解：（1）f（x ）=Asin（x +）+B 的最大值为 2 ，最小值为 ，A= ，B= 又f（ x）=Asin （x+）+B 的周期为 ，T= =，即 =2f（ x）= sin（2x+）+ 又函数 f（x）过（0， ） ， = sin + ，即 sin = 又| ，= ，f（ x）=
17、sin（2x ）+ 8（2）令 t=2x ，则 y= sin t+ ，其增区间为：2k ，2k ，kZ即 2k 2x 2k+ ，k Z解得 k xk + 所以 f（ x）的单调递增区间为 ，k ，k Z1213 （2017江西模拟）已知函数 f（x）= sin2xcos+cos2xsin+ cos（ +） （0） ，其图象上相邻两条对称轴之间的距离为 ，且过点（ ） （I）求 和 的值；（II）求函数 y=f（2x ） ，x0 ， 的值域【分析】 （I）将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质和已知坐标，即可第 13 页（共 17 页）求函数 和 的值；（II）求出函数 y=f（2x ）的解析
18、式，根据 x0， 求出函数 y=f（2x ）的范围，在求其范围内的最大值和最小值，即可得到值域【解答】解：f（x）= sin2xcos+cos2xsin+ cos（ +） （0） ，f（x）= sin2xcos+cos2xsin sinf（x）= sin2xcos+sin（cos 2x ）f（x）= sin2xcos+ cos2xsinf（x）= sin（2x +） ，（I） 图象上相邻两条对称轴之间的距离为 ，T=2，又T= ，= ，图象过点（ ） ， = sin（1 +） ，解得： ，f（ x）= sin（x + ）或 f（x ）= sin（x+ ） ；（）y=f（2x） ，y=f（2x）
19、= sin（2x+ ） ， 【注意：只需要一个解析式即可，其实两个解析式化简是一样的】又x0， ，2x+ ，结合正弦函数的图象和性质：当 时，y 取得最大值，即 ，当 时，y 取得最小值，即 ，所以函数 y=f（2x） ，x 0， 的值域为 14 （2017红桥区一模）已知函数第 14 页（共 17 页）（）求函数 f（x）的最小正周期与单调递减区间；（）求函数 f（x）在区间 上的最大值和最小值【分析】 （）由三角函数化简可得 f（x ）=2sin（ 2x+ ）+3，由周期公式可得，解不等式 2k+ 2x+ 2k+ 可得单调递减区间；（）由 x 结合三角函数的性质逐步计算可得 2sin（2x
20、+ ）+32，5，可得最值【解答】解：（）化简可得= 2sinxcosx+2cos2x+2= sin2x+cos2x+1+2=2sin（2x+ ）+3，函数 f（x ）的最小正周期 T= =，由 2k+ 2x+ 2k+ 可得 k+ xk+函数的单调递减区间为k+ ，k+ （kZ） ；（）x ， 2x+ ， ，sin （2x+ ） ，1，2sin（2x+ ）1，2 ，2sin（2x+ ）+32，5，函数的最大值和最小值分别为 5，215 （2017海淀区校级模拟）已知（1）求函数 f（x）的单调区间；（2）当 时，对任意的 tR，不等式 mt2+mt+3f （x）恒成立，求实数 m 的取值范围第
21、 15 页（共 17 页）【分析】 （1）首先根据向量的坐标运算求出函数的解析式，进一步变函数为正弦型函数，最后求出单调区间（2）根据函数与的定义域求出函数的值域，进一步利用恒成立问题，利用分类讨论的思想求出 m 的取值范围【解答】解：（1），f（ x）=2 sinxcosx+（cosx+sinx ） （sinx cosx）= sin2xcos2x2sin （2x ） ，令 2k 2x 2k+ （k Z） ，解得： +kx +k，所以：函数 f（x）的单调递增区间为： +k， +k（kZ ） 单调递减区间为 +k， +k（kZ） （2）当 时， 2x ， ，对任意 tR，不等式 mt2+mt+
22、3f（x ）恒成立只需满足：mt 2+mt+3f（x ） max 成立即可即 mt2+mt+10 即可当 m=0 时，恒成立当 m0 时，只需满足解得：0m4综合所得：0m416 （2017安徽二模）已知 （）求 f（x）的最小正周期和最大值；（）若 ，画出函数 y=g（x）的图象，讨论y=g（x ） m（ mR）的零点个数第 16 页（共 17 页）【分析】 （）根据 f（x） =2 ，利用向量数量积的运算法则求解 f（x ）并化简，即可求得 f（x）的最小正周期和最大值（） ，利用“5 点画法”画出函数 y=g（x）的图象【解答】解：（）f（x ）=2 =2sinxcosx+2sin2x=sin2xcos2x+1=f（ x）的最小正周期 T=；函数 f（ x）的最大值为： ；（） ，利用“5 点画法”，函数 y=g（x）在区间上列表为x 00 1 0 12 1 1 2描点作图第 17 页（共 17 页）那么：y=g（x）m（m R）的零点个数，即为函数 y=g（x ）与直线 y=m 的交点个数，由图可知，当 时，无零点；当 时，有 1 个零点；当 或 时，有 2 个零点；当 m=2 时，有 3 个零点
