1、二次函数与实际问题 21.某企业决定投资生产某种产品，已知投资生产该产品的有关数据如下：其中年固定成本与生产的件数无关，另外年销售 x 件该产品时需上交 0.05x2万元的特别关税（1）若产销该产品的年利润分别为 y 万元，每年产销x 件，直接写出 y 与 x 的函数关系式（2）问年产销多少件产品时，年利润为 370 万元（3）当年产销量为多少件时，获得最大年利润？最大年利润是多少万元？2.某公司对一种新型产品的产销情况进行了营销调查，发现年产量为 x（吨）时，所需的费用 y（万元）与（x 2+60x+800）成正比例，投入市场后当年能全部售出且发现每吨的售价 p（单位：万元）由基础价与浮动价
2、两部分组成，其中基础价是固定不变的，浮动价与 x 成正比例，比例系数为 在营销中发现年产量为 20 吨时，所需的全部费用是 240 万元，并且年销售利润 W 最大值为 55 万元 （注：年利润=年销售额全部费用）（1）求 y（万元）与 x（吨）之间满足的函数关系式；（2）求年销售利润 W 与年产量 x（吨）之间满足的函数关系式；（3）当年销售利润最大时，每吨的售价是多少万元？3.某公司开发了一种新产品，现要在甲地或者乙地进行销售，设年销售量为 x（件） ，其中 x0若在甲地销售，每件售价 y（元）与 x 之间的函数关系式为 y= x+100，每件成本为 20 元，设此时的年销售利润为 w 甲
3、（元）（利润=销售额成本） 若在乙地销售，受各种不确定因素的影响，每件成本为 a 元（a 为常数，18a25 ） ，每件售价为 98 元，销售 x（件）每年还需缴纳 x2元的附加费设此时的年销售利润为 w 乙 （元） （利润=销售额成本附加费） （1）当 a=18，且 x=100 是，w 乙 = 元；（2）求 w 甲 与 x 之间的函数关系式（不必写出 x 的取值范围） ，当 w 甲 =15000 时，若使销售量最大，求 x 的值；（3）为完成 x 件的年销售任务，请你通过分析帮助公司决策，应选择在甲地还是在乙地销售才能使该公司所获年利润最大4.某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计）这些薄板
4、的形状均为正方形，边长（单位：cm）在 550 之间，每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm 2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成， （即出厂价=基础价+浮动价）其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长 x 成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据，已知出厂一张边长为 40cm 的薄板，获得利润是 26元 （利润=出厂价成本价） （1）求一张薄板的出厂价 y 与边长 x 之间满足的函数关系式；（2）求一张薄板的利润 p 与边长 x 之间的函数关系式；（3）若一张薄板的利润是 34 元，且成本最低，此时薄板的边长为多少？当薄板的边长
5、为多少时，所获利润最大，求出这个最大值5.某公司对工作五年及以上的员工施行新的绩效考核制度，现拟定工作业绩 W=P+1200，其中 P 的大小与工作数量 x（单位）和工作年限 n 有关（不考虑其他因素） 已知 P 由部分的大小与工作数量 x（单位）和工作年限 n有关（不考虑其他因素） 已知 P 由两部分的和组成，一部分与 x2成正比，另一部分与 nx 成正比，在试行过程中得到了如下两组数据：工作 12 年的员工，若其工作数量为 50 单位，则其工作业绩为 3700 元；工作16 年的员工，若其工作数量为 80 单位，则其工作业绩为 6320 元 （1）试用含 x 和 n 的式子表示 W；（2）
6、若某员工的工作业绩为 4080 元，工作数量为 40 单位，求该员工的工作年限；（3）若员工的工作年限为 10 年，若要使其工作业绩最高，其工作数量应为多少单位？此时他的工作业绩为多少元？6.在建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，某市某公司以 25 万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入 100 万元购买生产设备，进行该产品的生产加工已知生产这种产品的成本价为每件 20 元经过市场调研发现，该产品的销售单价定在 25 元到 35 元之间较为合理，并且该产品的年销售量 y（万件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式为：y= （年获利=年销售收入生产成本投资成本） （1）当销售单
7、价定为 26 元时，该产品的年销售量为多少万件？（2）求该公司第一年的年获利 W（万元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款 n 万元，该项捐款由两部分组成：一部分为 10 万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于 67.5 万元，请你确定此时销售单价的范围7.某市某“用电大户”用 480 万元购得“变频调速技术”后，进一步投入资金 1520 万元购买配套
8、设备，以提高用电效率达到节约用电的目的已知该“用电大户”生产的产品“草甘磷”每件成本费为 40 元经过市场调研发现：该产品的销售单价，需定在 100 元到 300 元之间较为合理当销售单价定为 100 元时，年销售量为 20 万件；当销售单价超过 100 元，但不超过 200 元时，每件新产品的销售价格每增加 10 元，年销售量将减少 0.8 万件；当销售单价超过 200 元，但不超过 300 元时，每件产品的销售价格在 200 元的基础上每增加 10 元，年销售量将减少 1 万件设销售单价为 x 元） ，年销售量为 y 万件） ，年获利为 w 万元） （年获利=年销售额生产成本节电投资） （
9、1）直接写出 y 与 x 间的函数关系式；（2）求第一年的年获利 w 与 x 函数关系式，并说明投资的第一年，该“用电大户”是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？（3）若该“用电大户”把“草甘磷”的销售单价定在超过 100 元，但不超过 200 元的范围内，并希望到第二年底，除去第一年的最大盈利（或最小亏损）后，两年的总盈利为 1842 万元，请你确定此时销售单价在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？二次函数与实际问题 2 答案1.分析：（1）根据年利润=每件产品的利润每年的销售量固定成本关税，即可解答；（2）将 y=370 代入（1）中的函数解析式中
10、，解一个一元二次方程即可；（3）根据二次函数的最大值的求法求出（1）中函数解析式的最大值即可解：（1）y=（188）x500.05x 2=10x500.05x 2，x 为整数，0x110；（2）10x500.05x 2=370，解答，x 1=60，x 2=140，因为 0x110，当 x=60 时，年利润为 370 万元；（3）y=10x500.05x 2=0.05（x100） 2+450，当 x=100 时，y 最大，最大年利润为 450 万元2.分析：（1）设 y=k（x 2+60x+800） ，由待定系数法建立方程求出 k 值即可；（2）设基础价为 a，则p=a x，根据年利润=年销售额
11、全部费用就可以表示出 W 与 x 的关系式；（3）根据（2）的结论把 a、x 的值代入 p=a x，求出 p 即可解（1）设 y=k（x 2+60x+800） ，由题意，得 240=k（20 2+6020+800） ，解得：k= ，y= x2+6x+80；（2）设基础价为 a，则 p=a x，W=pxy=（a x）x（ x2+6x+80）= x 10（a6）2+ 5（a6） 280W 最大值为 55 万元， 5（a6） 280=55，解得：a 1=15，a 2=3（舍去） ，W= x 10（156） 2+ 5（156） 280= （x30） 2+55；（3）W= （x30）2+55，当 x=3
12、0（吨）时，年销售利润最大，p=a x=15 30=13.5（万元/吨） ，当年销售利润最大时，每吨售价是 13.5 万元3.分析：（1）根据“乙地销售利润=每件利润销售量附加费用”列式计算可得；（2）根据“销售总利润=每件利润销售量”列方程解之可得；（3）先根据（1）中相等关系列出 w 乙 与 x 之间的函数关系式，再作差得出 w 甲 w 乙 =（a18）x，结合 a 的取值范围即可判断解：（1）当 a=18，且 x=100 时，w 乙 =（9818）100 1002=7000（元） ，故答案为：7000；（2）w 甲=x（y20）=x（ x+10020）= x2+80x，当 w 甲 =15
13、000 时， x2+80x=15000，解得：x1=300、x 2=500，由于使销售量最大，故 x=500；（3）w 乙 = x2+（98a）x，w 甲 w 乙= x2+80x x2+（98a）x=（a18）x，18a25，且 x0，w 甲 w 乙 0，即 w 甲 w 乙 ，应选择在甲地销售4.分析：（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得出答案；（2）首先假设一张薄板的利润为 p 元，它的成本价为 mx2元，由题意，得：W=ymx 2，进而得出 m 的值，求出函数解析式即可；（3）利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可解：（1）设一张薄板的边长为 x cm，它的出厂价为 y 元，基
14、础价为 n 元，浮动价为 kx 元，则 y=kx+n，由表格中数据得 ，解得 ，y=2x+10；（2）设它的成本价为 mx2元，由题意，得：p=ymx 2=2x+10mx 2，将 x=40，p=26 代入 p=2x+10mx 2中，得 26=240+10m40 2解得：m= 所以p= x2+2x+10 （3）当 P=34 时， x2+2x+10=34，解得：x 1=20，x 2=30（舍去） ，所以一张薄板的利润是34 元，且成本最低时薄板的边长为 20cm；p= x2+2x+10= （x25） 2+35，当薄板的边长为 25cm时，所获利润最大，最大值 35 元5.分析：（1） ）根据 P
15、由两部分的和组成，一部分与 x2成正比，另一部分与 nx 成比，设w=k1x2+k2 nx+1200，利用待定系数法求得两个比例系数后即可确定有关 w 的函数关系式；（2）代入w=4080，x=80 求得 n 的长即可；（3）代入 n=10 后得到有关 w 与 x 的二次函数求得最值即可解：（1）P 由两部分的和成，一部分与 x2成正比，另一部分与 nx 成比，设 w=k1x2+k2 nx+1200，工作 12 年的员工，若其工作数量为 50 单位，则其工作业绩为 3700 元；工作 16 年的员工，若其工作数量为80 单位，则其工作业绩为 6320 元， ，解得：，w= x2+5nx+120
16、0；（2）由题意得：4080= 402+5n40+1200，解得：n=16，该员工的工作年限为 16 年；（3）当 n=10 时，w= x2+510x+1200= （x125） 2+4325，所以若员工的工作年限为10 年若要使其工作业绩最高，其工作数量应为 125 单位，此时他的工作业绩为 4325 元6.分析：（1）因为 252630，所以把 x=26 代入 y=40x 即可求出该产品的年销售量为多少万件；（2）由（1）中 y 于 x 的函数关系式和根据年获利=年销售收入生产成本投资成本，得到 w 和 x 的二次函数关系，再有 x 的取值范围不同分别讨论即可知道该公司是盈利或亏损情况；（3
17、）由题目的条件得到 w 和 x 在自变量 x 的不同取值范围的函数关系式，由 w67.5，分别求出对应 x 的范围，结合 y 于 x 的关系中的 x 取值范围即可确定此时销售单价的范围解：（1）252630，y= ，把 x=26 代入 y=40x 得，y=14（万件） ，答：当销售单价定为 26 元时，该产品的年销售量为 14 万件；（2）当 25x30 时，W=（40x） （x20）25100=x 2+60x925=（x30） 225，故当 x=30 时，W 最大为25，即公司最少亏损 25 万；当30x35 时，W=（250.5x） （x20）25100= x2+35x625= （x35）
18、 212.5 故当 x=35 时，W最大为12.5，即公司最少亏损 12.5 万；综上，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是 12.5 万；答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损是 12.5 万 （3）当 25x30 时，W=（40x） （x201）12.510=x 2+61x862.567.5，x 2+61x862.567.5，化简得：x 261x+9300 解得：30x31，当两年的总盈利不低于 67.5 万元时，x=30；当 30x35 时，W=（250.5x） （x201）12.510= x2+35.5x547.567.5，化简得：x 271x+12300 解得：30x41，当两年的总盈利
19、不低于 67.5 万元时，30x35，答：到第二年年底，两年的总盈利不低于 67.5 万元，此时销售单价的范围是30x357.分析:（1）分段讨论当 100x200 和当 200x300 的函数关系式， （2）由年获利=年销售额生产成本节电投资分别列出当 100x200 和 200x300 的利润关系式，求出最大利润， （3）依题意可知，当100x200 时，写出第二年 w 与 x 关系为式，由两年的总盈利为 1842 万元，解得单价 x解：（1）当 100x200，y=20 0.8， ，当 200x300，把 x=200 代入y= x+28，得：y=12，y=12 1， ；（2）当 100x
20、200 时，w=（x40）y（1520+480）= ，= ，= ,x=195，w 最大 =78当 200x300 时，w=（x40）y（1520+480）= ，= ，=，当 x=180 时，不在 200x300 范围内， ，当在 200x300 时，y 随 x的增大而减小，w80 是亏损的，最少亏损为 78 万元 （3）依题意可知，当 100x200 时，第二年 w 与x 关系为 当总利润刚好为 1842 万元时，依题意可得整理，得 x2390x+38000=0 解得，x 1=190，x 2=200要使两年的总盈利为 1842万元，销售单价可定为 190 元或 200 元对 ，y 随 x 增大而减小使销售量最大的销售单价应定为 190 元
