1、实际问题与二次函数拱桥问题【学习目标】1理解二次函数模型的基本构成；2能够从实际问题中抽取出数学 问题，建立数学模型；3建立恰当的平面直角坐标系，将实际问题数值转换为二次函数 问题。4.通过创设合理情境，引导学生恰当建立坐 标系，灵活的将实际问题转化为二次函数求点坐标的问题。培养学生建模思想、转化思想、数形结合思想的学习。【教学难点】通过恰当的建立坐标系，利用二次函数知 识分析并解决 桥洞水面宽度问题。【教学难点】实际问题中相关各量转化为找点坐标或求点坐标问题模型的建立。【课前导学】1以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴建立直角坐 标系时，可设这条抛物线的关系式为_2拱桥呈抛物线形
2、，其函数关系式为241x，当拱 桥 下水位线在AB 位置时，水面宽为 12m，这时水面离桥拱顶端的高度 h是（ ）Am3B 6 C m34 D93.某涵洞是抛物线形，它的截面如 图所示， 现测得水面宽 16m，涵洞顶点 O 到水面的距离为 24m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？【设计意图】三个问题的提出是让学生对于二次函数的关系式、性 质的回 忆，利用后面的 问题解决。【典型例题】下图是抛物线拱桥，当水面在 l时，拱顶离水面 m2，水面宽 4，水面下降 m1，水面宽度增加多少？设计以下的问题：问题 1：对于此题你能联想到用我们学过的什么数学知识来解决？（二次函数的图像
3、是抛物线，而 这个问题是关于抛物线形拱 桥的，由此学生不 难联想到用二次函数的知识来解决。 ）问题 2：求水面宽度增加多少，就是要求解什么样的数学问题 ？问题 3：如何用函数的有关知识求解出线段 CD 的长?(引导学生要求线段 CD 的长 就必须知道 C 点和 D 的坐标，而要知道 C 点和 D 点的坐标就必须知道抛物线的解析式，而要求抛物 线的解析式就必须建立平面直角坐 标系。 )教师在学生回答此问题后小结：对于抛物线型的实际问题，我们可以建立适当的平面直角坐标系，从而求出抛物线的函数关系式，然后利用二次函数的有关知识来解决。在次基础上让学生尝试着建立平面直角坐标系。学生先独立思考，再在小组
4、内 讨论交流，教 师行间巡视，适时点拨。学生常常会考虑以下几种情况: 1、以拱 桥顶点为原点，以平行于水面的直线为 x 轴建立坐标系；2、以水面为 x 轴，以拱桥对称轴为 y 轴建立坐标系；3、已下降后的水面为 x 轴，以拱桥对称轴为 y 轴建立坐标系；4、已下降后的水面 x 轴，以 该水面与拱 桥的交点为 y 轴建立坐标系等等。【设计思路】让学生有目的、有 计划、有 针对性的自学，是上好课的关键，因此自学提纲的设计显得尤为关键，在问题的设计 上我遵循了由易到难、由 简到繁，有利于学生掌握解题思路、方法，在问题的引导下很自然达到一定的高度，掌握了一定的知识和技能。【尝试练习】(教师在小组讨论
5、后，派代表到黑板上画出相应的图形)教师根据相应的图形找同学到黑板上进行解决，解完后让 学生对各方法进行比较：(1)计算结果是否相同；(2)哪种方法的解答最简捷。【设计思路】通过该环节使学生明确坐标系的建立可有不同的方法，会得到不同的函数关系式，但不同的方法得到的结果是一致的。但恰当的 选择坐标系的位置可以使得解答 简便，否 则不仅解答不简便，有时还会导致问题 无法解答。【精讲点拨】有关抛物线形的实际问题的一般解题思路：1、建立适当的平面直角坐标系 2、根据 题意找出已知点的坐 标3、求出抛物线解析式 4、直接利用图象解决实际问题.【设计思路】：通过总结抛物线型实际问题的解题步骤，使学生豁然开朗
6、，解题思路明确，为解同类题指明了方向。【跟踪练习】1、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图，现测得，当水面宽 mAB6.时，涵洞顶点与水面的距离为 m4.2这时，离开水面5处，涵洞 宽 ED是多少？是否会超过 1？2、如图是一个抛物线拱桥的横截面，水面宽度 AB=40 米，水面离拱桥的最大高度 DC 为 16 米现 有一艘宽 20 米，高出水面 11 米的轮船请通过计算说明这艘船能否通 过这座拱桥？【课堂小结】解决实际问题的步骤是什么？建模思想 实际问题转化成数学问题。【设计思路】总结升华可以帮助学生理清知识脉络，对所学知 识进一步回味、消化，由感性上升到理性，增强信心，提高兴趣。【作业】1、有一辆载有长方体体状集装箱的 货车要想通过洞拱横截面 为抛物线的隧道，如图 1，已知沿底部宽 AB 为 4m，高 OC 为 3.2m；集装箱的宽与车的宽相同都是 2.4m；集装箱顶部离地面 2.1m。该车能通过隧道吗？请说明理由2、抛物线形拱桥，当水面在 L 时，拱 顶离水面 2 m，水面宽 4 m.。若 货船在水面上的部分的横截面是矩形，已知货船的宽为 2.9m，且船高出水面 1m，问货船能否顺利通过这座桥？【设计思路】作业的设计是例题的变式练习，具有一定的 创 新性，解法多 样，问题的解决可开拓学生的思维，巩固所学知识。
