1、 幂函数（解答题）1. 设函数 ，函数 ，其中 为常数且 ，令函数1xgaxh,3,10a为函数 和 的积函数。xf（1 ）求函数 的表达式，并求其定义域；f（2 ）当 时，求函数 的值域；4axf（3 ）是否存在自然数 ，使得函数 的值域恰为 ？若存在，试写出所有满足条f21,3件的自然数 所构成的集合；若不存在，试说明理由。a2. 已知函数 ， ，)(1xff)(12xff为 偶 数 。为 奇 数 ；n,-fxfnn1)()(1（1 ）若函数 ，求函数 、 的解析式；34（2 ）若函数 ，函数 的定义域是1,2，求 的,)(log)(21af)(43xfy a值；（3 ）设 是定义在 上的
2、周期为 4 的奇函数，且函数 的图像关于直线 对xfRfx称。当 时， ，求正数 的最小值及函数 在-2,2上的解析式。1,0xf)(a)(x3. 函数 f(x)= (a，b 是非零实常数 )，满足 f(2)=1，且方程 f(x)=x 有且仅有一个解。(1)求 a、 b 的值； (2)是否存在实常数 m，使得对定义域中任意的 x，f(x)+f(mx)=4 恒成立？为什么？(3)在直角坐标系中，求定点 A(3,1)到此函数图象上任意一点 P 的距离|AP|的最小值。4. 已知二次函数 满足条件：)0)(2abaxxf为 常 数 且、= ，且方程 = 有等根。)5(xf3)f(1)求 的解析式；(
3、2)是否存在实数 m、n(m1 p2+q2，试求 f(x)=(1-x) +2p在1-q,p 上的最大值。22)1(xqx解答题答案:1. （1） ， 。3xf0,a（2 ） ，函数 的定义域为 ，令 ，则 ，4af41,tx21tx，3,1t ，2412tttFxf 时， ，又 时， 递减， 单调递增，t43,3,t4tF ，即函数 的值域为 。16,3Fxf16,（3 ）假设存在这样的自然数 满足条件，令 ，则atx，242tttxf ，则 ，要满足值域为 ，则要满足 ，0,a1.at 21,321maxtF由于当且仅当 时，有 中的等号成立，且此时 恰为最大值，t424t 21tF ，1,
4、12a又 在 上是增函数，在 上是减函数，tF1,2a 311a，90综上，得 。1a2. （1） ， (1) ； ,0)(xf ),0)()(212 xfxf； ,1()( 2123 fxf. ,134f（2 ） ， , ,log2ax log,)()( 212 axfxf, l,()()( 2113fxf， log,0,234. 24xfy由题设，得 . 4loga（3 ） 是定义在 R 上的奇函数， )(x )(xff函数 的图象关于直线 对称， f 2a在式中以 替换 ，得 )2)(axf由式和式，得 2af在式中以 替换 ，得 x(4xf由式和式，得 (14)()(f 是定义在 R
5、上的周期为 4 的奇函数，正数 的最小值是 1. )(f a当 0,1时， ，当 -1,0时， 0,1，xf ，即 .)(xfxf)(函数 的图象关于直线 对称，)(1当 (1,2时，2- 0,1)， ff2)当 -2,-1)当， (1,2， ，即 .()(fxf2)( . )1,2,0,)(xxf3. (1)由 f(2)=1 得 2a+b=2，又 x=0 一定是方程 =x 的解，ba所以 =1 无解或有解为 0，bax1若无解，则 ax+b=1 无解，得 a=0，矛盾，若有解为 0，则 b=1，所以 a= 。2A1 OB3B2B1A3 xyA2(2)f(x)= ，设存在常数 m，使得对定义域
6、中任意的 x，f (x)+f(mx)=4 恒成立，2取 x=0，则 f(0)+f(m0)=4，即 =4，m= 4(必要性)2又 m= 4 时，f(x )+f(4x)= =4 成立( 充分性)4(x所以存在常数 m= 4，使得对定义域中任意的 x，f (x)+f(mx)=4 恒成立，(3)|AP|2=(x+3)2+( )2，设 x+2=t，t 0 ，则|AP| 2=(t+1)2+( )2=t2+2t+2 + =(t2+ )+2(t )+2=(t )2+2(t )+10t81644=( t +1)2+9，4所以当 t +1=0 时即 t= ，也就是 x= 时，2172175|AP| min = 3 4. (1)由条件易得 , 7 分21(1)0baab 2()fxx(2)假设存在这样的 m、n 满足条件, 由于 221()()f所以 3n 即 n 1，p, q(0, 1)，所以 1-q (p2-q2+1)p,所以当 x= (p2-q2+1)时，f max= .1 22)14
