1、江南十校 2019 届高三第二次大联考数学（理科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知 ， 为虚数单位，若复数 ， ，则 （ ）aRi 1zai2zA2zA B 或 C 或 D 或2i23i2i2ii2.已知集合 ， ，则 是 的（ ）|ln(1)l()xyx 1|lnxByAxBA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要3.下列四个命题中，错误的命题是（ ）A等比数列 的公比为 ，若 ，则数列 为递增数列 naq1naB“若 ，则 ”的逆命题为真 1b0C命题
2、“ ，均有 ”的否定是：“ ，使得 ” xR2x0xR02xD 中，角 的对边分别为 ，则“ ”是“ ”的充要条件A,BC,abcbcosAB4.已知等差数列 的前 项和 ，且 ， ，则 等于（ ）nanS*()N5Sa8432SnaA B C. D25n394125.如图是一个三棱锥的三视图，其正视图，侧视图都是直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积与体积分别为（ ）A ， B ， C. ， D ，12439294926.已知点 ， ， 是圆 内一点，直线 ， ，(,)Mab0b2:1Cxy1axby1axby， 围成的四边形的面积为 ，则下列说法正确的是（ ）1axy1xySA B C.
3、D4S4S447.已知 ，则 的值为（ ）2sin()1tancot()A B C. D212218.已知实数 满足 ，则 的最大值为（ ）,xy302yxzxyA3 B 4 C. 5 D69.如图，四棱锥 中，底面 为菱形，侧面 为等边三角形， 分别为PACABPAB,EF的中点，给出以下结论：,PC 平面 平面/BEFD/EFPC平面 与平面 交线为 ，则 平面APl/DlBEPAC则以上结论正确的序号为（ ）A B C. D10.已知实数 满足 ，则函数 的最大值为（ ）x12logx182yxA -4 B8 C. 4 D011.如图，已知点 为等边三角形 的外接圆上一点，点 是该三角形
4、内切圆上一点，若PABCQ， ，则 的最大值为（ ）11PxyC22Qxy1212|()()|xyA B2 C. D53738312.已知定义在 上函数 ：满足 ， 为函数 的导函数，且R()fx15()2)xf()fx()fx无零点，则 的值为（ ）()yfx1()fdA0 B2 C. D5272第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.各项均不为 0 的等差数列 满足： ，等比数列 的前 项和为 ，满na25810anbnS足 ，且 ，则 的值为 12nnSb75a27log(8)S14.已知平面向量 满足： ， ， ，则向量 在 方向上的投影
5、,|1b|b|3|14abab为 15.已知在直角坐标系 中， ， ，若点 满足 ， 的中点为 ，则xOy(4,0)A(,)2BP1OPAM的最大值为 BM16.若 ，满足 恒成立，则实数 的取值范围为 ,)xe32ln0mxem三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知平面向量 ， ， .(cos,3in)2xa(1,)b0,2x（1）若 ，求 的值 ；/b（2）若 ，求函数 的最大值和最小值及相应的 值.()fxa()fxx18. 已知函数 .21lna（1）当 时，求函数 的极值；a()fx（2）讨论函数 的单调性.()f19
6、. 已知 是数列 的前 项和， ， ，对 ， ，都有nSna1a23*nN1成立.121n（1）求 ；na（2）若 ，求数列 的前 项和 .2nbnbnT20. 如图，已知四边形 中，对角线 ， ， 为等边三角形.ABCD6B23ADBC（1）求 面积的最大值；（2）当 的面积最大时，将四边形 沿 折起成直二面角 ，在 上是ABDABCDABDC否存在点 使直线 与平面 所成的角 满足： ，若不存在，说明理由；M70cos1若存在，指出点 的位置.21. 已知椭圆 ， 为其短轴的一个端点， 分别为其左右两个焦2:1(0)xyCabB21,F点，已知三角形 的面积为 ，且 .12BF12cos3
7、F（1）求椭圆 的方程；C（2）若动直线 与椭圆 交于 ， 为线段 的中2:(0,)3lykxmkC12(,)(,)PxyQMPQ点，且 ，求 的最大值.213x|OMPQA22. 已知函数 .2()(1),xfxaeR（1）讨论函数 的单调性；（2）若函数 ，在其定义域 上有且只有两个零点，求 的取值,(,0)()1xeagf(,1a范围.试卷答案一、选择题1-5: CAAAD 6-10:ABDCD 11、12：CB1.C【解析】由已知得： 或-1 ，故 ，故选 C.211a21zizi2.A【解析】依题意： ， ， ，故选 A.(,)A(,)(,)BAB3.A【解析】A 错，B,C,D 为
8、真，故选 A.4.A【解析】由已知条件得： ， ，故 ，故选 A.13a2d5na5.D【解析】该三棱锥的外接球即长方体的外接球由已知，长方体的三条棱长为 2,1,2，故可得表面积为 ，体积为 ，故选 D.9926.A【解析】由已知 ，四条直线围成的四边形面积 ，故选 A.1ab 244Sab7.B【解析】 由 ，故 ，故选 B.2sin()4tant3co31tn()48.D【解析】 画出可行域如图，其中 ， ， ，故当 时，(,0)A(1,2)B,C,0xy，故选 D.max6z9.C【解析】取 中点 ，易知 ， ，故 正确， 得 平PDM/BEF/CM/CDAB/面 ，故 ，正确， 显然
9、不正确，故选 C.AB/Cl10.D【解析】由 ， ，12logx10210x，当且仅当 上式84()4()40yxxx14x取等号.故选 D.11.C【解析】如图，取 中点 ， 交外接圆于 ，交内切圆于 ，此时 为外接圆劣BCMAPQP弧 的中点， 取得最大； 为内切圆劣弧 的中点， 取得最小，记 的BC1xyQDE2xy1xy最大值为 ， 的最小值为 ，而 ， ，243A13AM故 的最大值为 ，故选 C.121212|()()|()()|xyxy47212.B【解析】 无零点，故函数 为单调函数，由 知()yfx()fx15()2)xf为常数，设 ，则可得： 且1()2xf1()2xft
10、()xft()f，故 ，5tttx11(21xdd（注意： 为奇函数），故选 B.11()2xdx2二、填空题13. -4【解析】由 ，故 ，而由 ，得25810a254a574b12nnSb，故 成等比数列，公比为 ， ， ，12nb761,b 12741()28S27log(8)4故答案为-4. 14. 【解析 】由已知 ， ，又 ，故向量 在 方12240abA265abA12a|bab向上的投影为 ，故答案为 . 12|abA1215.3【解析】由 ， ， ，则 点轨迹为 ，设 ，则(4,0)3(,)BOP21xy(,)Mxy， 的轨迹为圆 ，半径为 ，故22(2,)()(1Pxyxy
11、21()4xy(2,0)D12的最大值为 ，故答案为 3.BM5| 3BD16. 【解析】（1） ，显然成立；（2） 时，由(,2e0m0m32ln0mxe，由 在 为增lnmxxln()xxe()xfe,)在 恒成立，由 在 为增， ，22l,2lng,emin()2gxe，综上， ，故答案为 .0ee(,e三、解答题17.解：（1）由 ， ， ，/ab(cos,3in)2x(1,)b可得 ，cos3in2xt由 ， ，故 ；0,0,5263x（2） ，()cos3in2xfxabA2cos()3x由 ，0,4,得 .1cos(),23x当 ，即 时， ；0xmax()1f当 ，即 时， .
12、23x43in()2f18.（1）当 时，2a21()l(0)fxx()fx故当 时， ， 为减函数；0,1()0fx()f当 时， ， 为增函数，(,)x 时， ，无极大值；11()2fxf极 小 值（2）由 ，2()ln(0)fax可得： (1)21 axfx当 时， ， 在 为减函数；0a()0f()fx0,)当 时， 时， ，故 在 为减函数； 时，1,2xaf(fx10,)2a1(,)2xa，故 在 为增函数.()0fx()f,)19.（1）由 ， ， ，1a23121nnSS可得： ，341a ，36当 时， ，n121nnSS121nnaa即 ，而 .1()()(3)nnaa32
13、1()()故 ；2n（2）由已知 ，11()nban由列项相消法得： .1nT20.（1）在 中，记 ， ，ABDmADn则由余弦定理： ，2363n12（当且仅当 时，上式取等号）m此时， ，123sin4ABDSm的面积的最大值为 .（2）由（1）知， ， ，23A6BD设存在 ，在三棱锥 中，取 的中点 ，MCO连接 ，易知 .OA3作 于 ，MEBD由平面 平面 平面 .CMEABD故 在平面 上的投影为 .A与平面 所成的角为 ，BD由 .70cos13tan7EA设 ，得 ， ，DM22314a故 .280aa故存在 ，且 ，满足题意.2（2）另解：由（1） ， ，3ABD6B设存
14、在 ，则在三棱锥 中，取 的中点 ，连接 ，易求 .MCO,AC3O以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，OxOyAz平面 的法向量为 ，ABD(1,0)n设 ，得 ，得 ，Ma32Ea3(,0)2aM又 .(0,3)A3(,)2aM由 sin|co,|n2311a231a0.80故存在 ，且 ，满足题意.M2D21.（1）由 ， ，21241cos3acFB2a23c2b，12cs312in结合 ，12FBSaA3a，b故椭圆 的方程为 ；C213xy另解：依题意： ，12 2FBScb，21212coscos32a解得： ， ，3ab故椭圆 的方程为 ；C21xy
15、（2）联立 .236ykmx22(3)6360kxkm.4()022且 ， ；1263kx1236xk依题意， 213x211()3xx22(6)()3km化简得： （ ）；223k设 ，由 0(,)Mxy126xy22 01211()3()3xyxyky又 0km解得： ，31(,)2229431|kmOM21|()|PQkx2222()(1)()3k22215|(3)4OMm.5|PQA当且仅当 ，即 时， 的最大值为 .22132|OMPQA5222.（1）由 ， ，()(1)xfxaeAR得： ， xf当 时， ， 在 为增函数；1a()0f()f,)当 时， 在 和 为增函数，在 为
16、减函数；x,1,a(1,)a当 时， 在 和 为增函数，在 为减函数；1a()f,)(,),（2）对于 当 时， ，gx,0xgea故当 时， 在 内无零点，0a(),)当 时， 在 内有一个零点，01a()gx,0)当 时， 在 内无零点，,对于 当 时，()gx0,12()(1)xgxaeA由（1）当 时， 在 为减函数，a0,而 ，得 在 有一个零点.(0)g()gx,1此时， 在其定义域 上有且只有一个零点，,当 时， 在 为减函数，在 为增函数，1ae()gx0,a(,1a而 ， 得 在 有一个零点，(0)g1e()gx0,此时 其定义域 上有且只有一个零点，x(,当 时， 在 为减函数，在 为增函数，10ae)gx0,a(,1a而 ， 得 在 有两个零点.()g(11e()gx0,此时 其定义域 上有且只有两个零点，x,当 时， 在 为增函数，01a()g0,1而 ，得 在 有一个零点，在 内有一个零点，()gx,(,0)此时 其定义域 上有且只有两个零点，(,1当 时， 在 为增函数，1a)gx0,而 ，得 在 有一个零点，在 内无零点，(0)(,1(,0)此时 其定义域 上有且只有一个零点，gx,综上可得：当 在其定义域内有且只有两个零点时， 的取值范围为 .() a1,)e
