1、“皖南八校”2018 届高三第二次联考数 学（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 等于zxxA，02zkxB，2BAA B C D10， 4， 01，0，2. 已知 是虚数单位，若 是纯虚数，则实数i iaz12 aA 1 B -1 C 2 D-23. 已知向量 满足 ， ， ，则ba， b2abA B 3 C 5 D 954. 已知直线 平分圆 的周长，且直线 不经过第三象限，则l 06:2yxl直线 的倾斜角 的取值范围为lA B C. D13590， 1290， 135， 1
2、509，5. 将函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，再向左平移4sinxf个单位，所得图象的一条对称轴的方程是12A B C. D63x247x32x65x6. 函数 的图象大致是03sinco， f 7. 若 ， 展开式中， 的系数为-20，则 等于0a52yax24yxaA -1 B C. -2 D358. 当 时，执行如图所示的程序框图，输出 的值为（ ）5n SA 28 B 36 C. 68 D 1969. 榫卯（ ）是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位nusoam相结合的一种连接方式. 我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结
3、构. 图中网格小正方形的边长为 1，粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图，则其体积与表面积分别为 A B 52342， 543624，C. D543624， 52342，10. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，若在直线 上存012bayx 21F， ax2在点 使线段 的中垂线过点 ，则椭圆离心率的取值范围是P1F2 A B C. D320， 3， 10， 12，11. 已知 ，且 ，则， 35cos2in1tanA B C. D247744772412. 已知函数 若关于 的方程 至少有两个不， ， 0212xmxf x0)(mxf同的实数解，则实数 的取值范围为（ ）A B ， 2031
4、， 13C. D， ， 2二、填空题：本小题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 在 1，2，3，4，5，6，7，8 中任取三个不同的数，取到 3 的概率为 14. 已知 的面积为 ，角 的对边分别为 ，若 ，ABCSCBA， cba， CSos4， ，则 ab15. 已知函数 是偶函数，定义域为 ，且 时， ，xf ， 00xxef1则曲线 在点 处的切线方程为 y1f，16. 已知正方体 的体积为 1，点 在线段 上（点 异于点DCBAMBC） ，点 为线段 的中点，若平面 截正方体 所得的截CB， N1AN1DA面为四边形，则线段 长的取值范围为 M三、解答题 ：共 70 分
5、.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分17. 已知 是等比数列， 满足 ，且nanb312b，.nnb3221 （）求 的通项公式和前 项和 ；n nS（）求 的通项公式.18. 随着网络时代的进步，流量成为手机的附带品，人们可以利用手机随时随地的浏览网页，聊天，看视频，因此，社会上产生了很多低头族.某研究人员对该地区 1850 岁的5000 名居民在月流量的使用情况上做出调查，所得结果统计如下图所示：（)以频率估计概率，若在该地区任取 3 位居民，其中恰有 位居民的月流
6、量的使用情X况在 300M400M 之间，求 的期望 ；XE（）求被抽查的居民使用流量的平均值；（）经过数据分析，在一定的范围内，流量套餐的打折情况 与其日销售份数 成线性xy相关关系，该研究人员将流量套餐的打折情况 与其日销售份数 的结果统计如下表所示：xy折扣 x1 折 2 折 3 折 4 折 5 折销售份数 y50 85 115 140 160试建立 关于 的的回归方程.附注：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：axb，niiNiiixyb12 x19. 在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ， 是等腰三ABCDPABPABCDPA角形， ， 是 的一个三等分点（靠近点 ） ，
7、 与 的延长线交于点ADB2EBACED，连接 .FP（）求证：平面 平面 ；CPA（）求二面角 的正切值 F20. 过抛物线 的焦点 作直线 与抛物线 交于 两点，当点02:pyxCFlCBA，的纵坐标为 1 时， .AAF（）求抛物线 的方程；（）若抛物线 上存在点 ，使得 ，求直线 的方程.oyM，2MBAl21. 已知函数 .Raxnf 12（）若 ，证明：函数 在 上单调递减；0af，e（）是否存在实数 ，使得函数 在 内存在两个极值点？若存在，求实数 的80， a取值范围；若不存在，请说明理由. （参考数据： ， ）693.21n5.42e（2 ） 选考题：共 10 分，请考生在第
8、 22、23 题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分.22. 选修 44：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，已知直线 的参数方程是 （ 为参数） ，以坐标原点 为极点，ltyx3O轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .x C03cos82p（）求直线 的极坐标方程；l（）若直线 与曲线 相交于 两点，求 .CBA， OBA23. 选修 45：不等式选讲已知函数 .1xaxf（）若 ，解不等式 ；0a31xf（）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.2af Ra“皖南八校”2018 届高三第二次联考数学（理科）参考答案、解析及评分细则一、选择题1. D2.
9、A3. B .3291864222 bababa，4. A 依题意，圆 ，故直线 过圆 的圆心 ；因为直线3:yxClC，不经过第三象限，结合图像可知， .l 50，5. C ， ， ，4sinxy 6sin412xxy zk2.zkx326. C7. A ， ， 代入验243415235 10yxayaxCyax20103aABCD证得 .8. D ， ； ， ； ，0Sk2Sk43S； ， ； ， .输出 .4k68234519646855196S9. C 依题意，该几何体由一个长方体和一个圆柱体拼接而成，故其体积；表面积2V.3654234623 S10. B 由题意知 ， ， ， .2
10、1FPcaPcc2e11. D 依题意， ，令 ，则原式化为osin5osin tosin，解得（ 舍去） ；故 ，则 ，即2351t7t 57ci251ci，即 ，即 ，解得1cossin2251tan0tan2t或 ，则 .4ta374t12. A 依题意，令 故问题转化为 有两个不同的实， ， 012xmxg2xmg数解，即函数 的图像与直线 至少有两个交点；作出函数 的图像如2y g下所示，易知直线 过定点 ，故可以寻找出临界状态如下虚线所示；联2xy，A立 故 ，即 ，令 ，mxy2 022mx0842m解得 ，因为 ，故 ，结合图像知，实数 的取值范围为1，B31ABk.， 203
11、113. 8314. ， ， ，5CCabScos4sin3i2134tan5cosC， .564cos22Cabc8c15. ， ， ， 曲线 在点1xeyxefef10fxfy处的切线方程为 ，又 是偶函数，所以曲线 在点1f， 1yx处的切线方程为 .， e16. 依题意，正方体 的棱长为 1；如图所示，当点 为线段 的中点时，20， ABCDMBC由题意可知，截面为四边形 ，从而当 时，截面为四边形，当1MN20B时，截面为五边形，故线段 的取值范围为21BM1，17. 解:（） nnbaba2321 ， ， 1231ba72342ba， ， ， ， 是等比数列， ， 的通项公式为 ，
12、na21an12na的前 项和 . n1nnS（）由 及 得12nannbab232 ， nb3321 时， ， 1n 112321 253nnbb， 52 n， bn，12232b的通项公式为 .， nb1n18.解：（）依题意， ，故 ； X2503， 75.02.3XE（）依题意，所求平均数为 369145.7.8512.684.2.058.10 故所用流量的平均值为 ； M369（)由题意可知 ， 351x， 05480y， 5.271512iiiiixyb所以， 关于 的回归方程为： .7yayx5.27.xy19.（）证明：因为 平面 ，所以 PABCDPA又因为底面 是矩形，所以
13、 BCD又因为 ，所以 平面 . 又因为 平面 ，所以平面 平面 . （)解：方法一：（几何法)过点 作 ，垂足为点 ，连接 .APEMFM不妨设 ，则 . 3ADP362BCD，因为 平面 ，所以 .BCFP又因为底面 是矩形，所以 . 又因为 ，所以 平面 ，所以 A .PEF又因为 ，所以 平面 ，所以 AFMEM所以 就是二面角 的平面角. AMFFPEA在 中，由勾股定理得 ，PERt 1322AE由等面积法，得 ， 136又由平行线分线段成比例定理，得 .DCF所以 .所以 . 21ADF21A所以 .4316tanM所以二面角 的正切值为 . FPEA方法二：（向量法）以 ， ，
14、 分别为 ， ， 轴建立如图所示的空ABPxyz间直角坐标系：不妨设 ，则由（）可得 ， .3ADP3AP2E又由平行线分线段成比例定理，得 ，1DCF所以 ，所以 . 21F21所以点 ， ， .30，P，E03，则 ， . 2-E02F，设平面 的法向量为 ，则P,nxyz由 得 得0,23nPExyzF，230yzx，32yzx，令 ，得平面 的一个法向量为 ； 1z 1n，又易知平面 的一个法向量为 ； PEA3,02mAF设二面角 的大小为 ，则 . F3,1,042cos99n所以 .所以二面角 的正切值为 . 224913tanAPEF13420.解：（） 的准线方程为 ，当点
15、纵坐标为 1 时 ， 2:Cxpy2pyA2AF， ， 12p势物线 的方程为 . 24xy（） 在 上， ， 0,yMC201又 ,设 方程为 ，由 得 ， 01Fl1kx24ykx240kx令 ， ，则 ， ， ，1Axy22By，12k12x112MAy， ,22M， 0MAB，12120xy或 0， 2480kk，当 时， 过 点（舍）， ，0lM2k方程为 . l21yx21.解：（）函数 的定义域是 .21lnxaf0，求导得 . 22 32xl lnxaf x设 ，则 与 同号.1glnaxfg所以 ，若 ，则 对任意 恒成立. 000x，所以函数 在 上单调递减. 2lx，又
16、，11220gneaaee所以当 时，满足 .即当 时，满足 .x，gxxe，0fx所以函数 在 上单调递减. fe，（）当 时，函数 在 上单调递减.0a12glnxa0，由 ，又 ， 时，120glnaexe，xlx取 ，则 ，12a12 2age所以一定存在某个实数 ，使得 . 0xe，0gx故在 上， ；在 上， .0x，g0，即在 上， ；在 上， .0，fx0x，0fx所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.此时函数 只有 1fx0， 0， fx个极值点 ，不合题意，舍去； 0当 时，令 ，得 ；令 ，得 ，a2gax2xa20gax2a所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
17、x， ，故函数 的单调情况如下表：gx20a， 2a2a，g0 xA极小值 A要使函数 在 内存在两个极值点，则需满足 ，即fx08， 208ga，21080na，解得 又 ， ，32184.aena，32 0.4.51320.693.584n所以 . 321284ne此时， ，ea又 ， ； 1220eeegaae 32184nae，综上，存在实数 ，使得函数 在 内存在两个极值点. 3284n， fx，22.解：（）由 得 ，xtyx的极坐标方程为 即 ， . lsin3cos3R（）由 得 ，28cos0，240设 ， ，则 ， . 1,A2,B123123OAB23.解:（） 时， ，0afx231xfx， ， ， ， ，由 得 ，31fx不等式 的解集为 . f 03，（） 对 成立，1axaxR又 对 成立， ，21fR21a， 即 . 2 24a00
