1、数学建模概论Mathematical Modeling,主 讲: 董 珺二一二年.三,21世纪科技人才应具备的数学素质与能力,数学运算能力,逻辑推理能力,数学建模能力,数据处理能力,空间想象能力,抽象思维能力,更新数学知识能力,使用数学软件能力,数学有没有用？怎么用？,例1. 手机电话卡的选择手机“套餐”的花样琳琅满目，让人眼花缭乱。人们不禁要问：在众多“套餐”中,如何选择才能既满足自己需求,又能节省话费呢?,例2.打水问题每天晚上5:00 至5:30 之间开水房的拥塞想必让每一个人都深有感触吧，偏偏这种时候还有一些人喜欢一个人占好几个龙头，不得不让人怒火中烧。对每个人来讲，最好的办法当然是在
2、不违反排队顺序的前提下尽可能早地接触龙头。事实上大家也基本上是这样做的。在高峰时期霸占多个龙头的人就算不遭到语言的谴责也会遭到目光的谴责。,假设现在有2个水龙头，10 个人来打水，每个人拎着两个壶，每打一壶要1分钟，这是一种很常见的情况。方法A：经验方法。这样，当有两人等待时，两个人各用一个龙头，为将10个人打满，总共的等待时间是：2*(2+4+6+8+10)=60 分钟方法B：每次分配水龙头时都优先满足最前面的人。这样，当有两人等待时，第一个人先用两个龙头，等他打完了第二个人再用。这种方法下总的等待时间是：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 分钟结果后一个方法被证明是更有效率的。
3、也就是说，这个看起来有些自私的方案，这个常常被我们谴责的方案，事实上是一个更合理的方案。相同任务量的并行服务队列,例3.银行问题去中国工商银行存取钱对每个人来说都决不是一次愉快的经历。我平均每次去取钱都至少要花上半个小时的时间，这促使我考虑是否有办法在现有窗口的情况下提高整个系统的效率。不同任务量的串行服务队列,数学建模竞赛的历史.1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模型竞赛 1987年全称为 Mathematical Competition in Modeling1988年改全称为 Mathematical Contest in Modeling其缩写均为MCM）,19
4、85年以前美国只有一种大学生数学竞赛，即 Putman（普特南）数学竞赛，这是由美国数学协会（MAA-即Mathematical Association of America的缩写）主持，于每年12月的第一个星期六进行，每年一次.我国自1989年首次参加这一竞赛，历届均取得优异成绩,全国大学生数学建模竞赛,时间：每年9月中下旬。内容：题目由工程技术、管理科学中的实际问题简化而成，没有标准答案。对象：全国本专科学生，专业不限，分甲乙组形式：3人一组，三天三夜，自由完成目的：培养学生独立进行研究的能力，运用数学和计算机的能力，团结合作精神和进行协调的组织能力等。,在教育部等政府部门和企业的大力支持
5、下, 全国大学生数学建模竞赛自1992年开始至今已有14年, 参加的学校以及组队越来越多。如今已成为中国高校规模最大的课外科技活动。在数学建模的推动下, 各个高校都开设了与数学实践相联系的课程, 如数学建模、数学实验等。如今数学建模已成为数学以及理工类专业的一门最重要、最普及的实践课。,数学建模的重要意义,分析与设计：药物浓度在人体中的变化。预报与决策：人口预报、天气预报。控制与优化：零件参数优化。规划与管理：生产计划，网络规划。“高技术本质上是一种数学技术”。马克思说过：“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步。”,数学建模问题涉及面广, 来自管理、数学、生物、环境等各个学科、各
6、个领域, 例如, 2005年长江水质污染就是一个环境方面的问题, 2003年, A卷SARS问题就是一个医学方面的问题, 2004年B卷电力调度问题是一个电力问题等等, 这些问题来自我国各个方面的热点问题。由于问题来源的多方面性, 因此问题的解决也涉及数学的许多领域, 有的甚至涉及到新的学科, 如人工智能、神经网络等。,玩具、照片, 实物模型,风洞中的飞机, 物理模型,地图、电路图, 符号模型,模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。,模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。,我们常见的模型,什么是数学模型,我们从小就接触过数学模型：应用题“甲乙两地相
7、距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问航速，水速若干？”物体“从平静湖面的小船上仍一块石头至水中，湖面是上涨还是下降？”数学竞赛.,数学模型（Mathematical Model） 是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题 本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或 能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。 数学建模（Mathematical Modeling） 应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程。,1.1 数学模型与数学建模,数学模型（Mathematical Model）：重结果；
8、数学建模（Mathematical Modeling）：重过程,模型:所研究的客观事物有关属性的模拟,具有事物中感兴趣的主要性质。,* 对实体本身的模拟 如:飞机形状进行模拟的模型飞机；,* 对实体某些属性的模拟 如:对飞机性能进行模拟的航模比赛飞机；,* 对实体某些属性的抽象 如:一张地质图是某地区地貌情况的抽象,任何一个模型仅为一个真实系统某一方面的理想化，决不是真实系统的重现.,数学模型(E.A.Bendar 定义)：关于部分现实世界 为一定目的而做的抽象、简化的数学结构。,数学模型是现实世界的简化而本质的描述。,是用数学符号、数学公式、程序、图、表等刻画客观事物的本质属性与内在联系的理
9、想化表述.,治愈 瘫痪 死亡,状态（可能）,行动（人能控制）,等待治疗,例 大夫的决策问题,可使我们明确大夫的决策取决于目标的设定及治疗原则等.,此模型表达了大夫能做什么,可能出现的结果.,数学模型是思考的工具,构造一个数学模型可帮助我们进行交流、获得理解、加强对所采取的行动及结果的预测能力，它应有助于思考过程.,数学建模：创立一个数学模型的全过程,是运用数学的思维方法、数学的语言去近似地刻画实际问题，并加以解决的全过程。,数学建模方法是一种数学的思考方法，是解决实际问题的一种强有力的数学工具。,例1.生物医学专家有了药物浓度在人体内随时间和空间变化的数学模型后，可以用来分析药物的疗效，从而有
10、效地指导临床用药.,例2.厂长经理们筹划出一个合理安排生产和销售的数学模型，是为了获取尽可能高的经济效益.,数学模型是沟通现实世界与数学世界的理想桥梁。,三. 数学建模的教与学,*工程技术人员应具备雄厚的数学基础和良好的数学素质,应用数学能力是必备的科研能力.,* 应用数学是所涉及到的纯数学和其它学科相互作用的一门学科,应用数学的过程可概括为以下五个阶段：,1. 科学地识别和剖析问题；,2. 建立数学模型；,3. 对研究中所选择的模型求解数学问题；,4. 对有关计算提出算法和设计计算机程序；,5. 解释原问题的结论并评判这些结论。,* 建立数学模型是应用数学的关键而重要的一步.,学习数学建模的
11、困难：,(1) “学着用”数学和“学”数学根本不同在于在于明白在何处用数学，怎样用数学；,(2) 掌握成功运用数学建立数学模型所需的技能与理解数学概念、证明定理、求解方程所需的技巧迥然不同。,如何解决？,建议：,去做！去实践！学着用，干中学！,课程和教材特点：以介绍数学建模的一般方法为主线，着重训练运用数学知识建立数学模型的技能技巧，着重能力和相关素质的培养。,理解数学知识的基础上，重点是数学方法的掌握、数学思维的建立。,教学目标,培养“翻译”能力,培养用数学思想方法的综合应用分析能力,培养想象力,发展观察力，形成洞察力,培养交流与表达的能力,熟练使用技术手段,科技论文写作能力,你碰到过的数学
12、模型“航行问题”,用x表示船速，y表示水速，列出方程：,求解得到 x=20, y=5,答：船速每小时20公里,航行问题建立数学模型的基本步骤,作出简化假设（船速、水速为常数）；,用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）；,用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；,求解得到数学解答（x=20, y=5）；,回答原问题（船速每小时20公里）。,基本方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律,将研究对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型,机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Stu
13、dies)来学习。以下建模主要指机理分析,二者结合,机理分析建立模型结构,测试分析确定模型参数,数学建模的方法和步骤,1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计 算， 找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 即建立数学模型。 4.模型求解。 5.模型的分析与检验。,数学建模的一般步骤,数学模型的分 类,建模示例 椅子能在不平的地面上放稳吗？,1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一人点，四脚
14、的连线呈正方形；2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面；3.对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。,模型假设,模型构成,椅脚连线为正方形ABCD(如右图)。t 椅子绕中心点O旋转角度,f(t)A,C两脚与地面距离之和g(t)A,C两脚与地面距离之和,f(t), g(t) 0,模型构成,由假设1，f和g都是连续函数,由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地：对任意t ，f(t)和g(t)中至少有一个为0。当t=0时,不妨设g(t)=0,f(t)0,原题归结为证明如下的数学命题：
15、,已知f(t)和g(t)是t的连续函数,对任意t, f(t) g(t)=0,且g(0)=0,f(0)0。则存在t0，使f(t0)= g(t0)=0,模型求解,最后，因为f(t) g(t)=0，所以f(t0)= g(t0)=0。,令h(t)= f(t)-g(t),则h(0)0和h( ) 0，由f和g的连续性知h也是连续函数。根据连续函数的基本性质,必存在t0 （0t00可知g( )0,f( )=0,例1 某人平时下班总是按预定时间到达某处，然然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，
16、问此人共步行了多长时间？,一些简单实例,似乎条件不够哦 。,请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设 ？,分析 本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明，当 然 ，这里的情况要简单得多。,例4 证明三角形的外角和为360度。,例8 取一张普通的64开纸，现要求在纸的中间剪个洞，使得你的整个身体能够从此洞中钻过去。,设砖块是均质的，长度与重量均 为1，其 重心在中点1/2砖长处，现用归纳法推导。,由第 n块砖受到的两个力的力矩相等，有： 1/2-Zn= (n1) Zn故Zn =1/(2n)，从而上面 n块砖向右推出的总距离为 ，,故砖块向右可叠至 任意远 ，这一结果多少有点出人意料。,AB
17、发出车次显然是一样多的， 否则一处的车辆将会越积越多。,黑匣子所在 方向很容易确定，关键在于确定 距离 。设在同一方向不同位置检测了两次，测得的照度分别为I1和I2，两测量点间的距离为 a，则有,在方法一中，两检测点与黑匣子 位于一直线上，这一点比较容易 做到，主要缺点是结果对照度测 量的精度要求较高，很少的误差会造成结果的很大变化，即敏感性很强，现提出另一方法，在 A点测得黑匣子方向后 ，到B点再测方向 ，AB 距离为a ，BAC=，ABC=，利用正弦定理得出 d = asin/sin (+) 。需要指出的是，当黑匣子位于较远处而 又较小时，+可能非常接近（ACB接近于0），而sin（+）又
18、恰好位于分母上，因而对结果的精确性影响也会很大，为了使结果较好，应使a也相对较大。,可见，假设条件的提出不仅和你研究的问题有关，还和你准备利用哪些知识、准备建立什么样的模型以及你准备研究的深入程度有关，即在你提出假设时，你建模的框架已经基本搭好了。,怎 样 学 习 数 学 建 模,数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术,技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用的准则,想象力,洞察力,判断力,学习、分析、评价、改进别人作过的模型,亲自动手，认真作几个实际题目,创新意识,看谁答得快,1、某甲早8时从山下旅店出发沿一路径上山，下午5时到达山顶并留宿。次日早8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？,2、两兄妹分别在离家2千米和1千米且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4千米/小时和2千米/小时的速度步行回家，一小狗以6千米/小时的速度从哥哥处奔向妹妹，又从妹妹处奔向哥哥，如此往返直至回家中，问小狗奔波了多少路程？,3. 任给一张面积为 A 的纸片(如图),证明必可将它,一刀剪为面积相等的两片.,提示:,建立坐标系如图.,则面积函数,因,故由介值定理可知:,
