1、数学建模讲座,第一讲 什么是数学模型,玩具、照片, 实物模型,风洞中的飞机, 物理模型,地图、电路图, 符号模型,模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行 简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。,模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。,我们常见 的模型,什么是数学模型,建立数学模型,你碰到过的数学模型“航行问题”,用x表示船速，y表示水速，列出方程：,求解得到 x=20, y=5,答：船速每小时20公里,航行问题建立数学模型的基本步骤,作出简化假设（船速、水速为常数）；,用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）；,用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）
2、；,求解得到数学解答（x=20, y=5）；,回答原问题（船速每小时20公里）。,数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling),数学模型:对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当 的数学工具，得到的一个数学结构。,数学建模：建立数学模型的全过程 （包括建立、求解、分析、检验）。,数 学 建 模 的 重 要 意 义,电子计算机的出现及飞速发展,数学以空前的广度和深度向一切领域渗透,数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。,数学建模,计算机技术,知识经济,建模示例
3、 椅子能在不平的地面上放稳？,1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方形； 2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面； 3.对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。,模型假设,模型构成,椅脚连线为正方形ABCD(如右图)。 t 椅子绕中心点O旋转角度,f(t)A,C两脚与地面距离之和 g(t)B,D两脚与地面距离之和,f(t), g(t) 0,模型构成,由假设1，f和g都是连续函数,由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地：对任意t ，f(t)和g(t
4、)中至少有一个为0。当t=0时,不妨设g(t)=0,f(t)0,原题归结为证明如下的数学命题：,已知f(t)和g(t)是t的连续函数,对任意t, f(t) g(t)=0,且g(0)=0,f(0)0。则存在t0，使f(t0)= g(t0)=0,模型求解,最后，因为f(t) g(t)=0，所以f(t0)= g(t0)=0。,令h(t)= f(t)-g(t),则h(0)0和h( ) 0，由f和g的连续性知h也是连续函数。根据连续函数的基本性质,必存在t0 （0t0 ),使h(t0 )=0，即f(t0)= g(t0)。,将椅子旋转90,对角线AC与BD互换。 由g(0)=0,f(0)0可知g( )0,
5、f( )=0,建模示例 商人们怎样安全过河,问题(智力游戏),随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.,但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?,问题分析,多步决策过程,决策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员,要求在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河,模型构成,xk第k次渡河前此岸的商人数,yk第k次渡河前此岸的随从数,xk, yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk , yk)过程的状态,S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,S 允许状态集合,u
6、k第k次渡船上的商人数,vk第k次渡船上的随从数,dk=(uk , vk)决策,D=(u , v) u+v=1, 2 允许决策集合,uk, vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk dk,+(-1)k,状态转移律,求dkD(k=1,2, n), 使skS按转移律 由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).,多步决策问题,模型求解,穷举法 编程上机,图解法,状态s=(x,y) 16个格点,允许决策D 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.,s1,sn+1,d1, d11给出安全渡河方案,评注和思考,表格化方法, 易于推广,考虑4名商人各带一随从的情况,允许状态S,S=(x , y)
7、 x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,D=(u , v) u+v=1, 2,背景,世界人口增长概况,中国人口增长概况,研究人口变化规律,控制人口过快增长,建模示例 如何预报人口的增长,指数增长模型,常用的计算公式,马尔萨斯（1766-1834）提出的指数增长模型(1798),x(t) 时刻t人口,r 人口(相对)增长率(常数),今年人口 x0, 年增长率 r,k年后人口,随着时间增加人口按指数规律无限增长,指数增长模型的应用及局限性,与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合1
8、9世纪后多数地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,19世纪后人口数据,阻滞增长模型 (Logistic模型),人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假定：,r固有增长率(x很小时),xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,阻滞增长模型 (Logistic模型),x(t)S形曲线, x增加先快后慢,模型的参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报， 必须先估计模型参数 r 或 r, xm,利用统计数据用最小二乘法作拟合,例：美国人口数据（单位百万）,专家估计,模 型 检 验,用模型预报1990年美国人口
9、，与实际数据比较,实际为251.4 (百万),模 型 应 用人 口 预 报,用美国17901990年人口数据重新估计参数,Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量),基本方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律,将研究对象看作“黑箱”,通过对量测数据 的统计分析，找出与数据拟合最好的模型,机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析,二者结合,机理分析建立模型结构,测试分析确定模型参数,数学建模的方法和步骤,数 学 建 模 的 一 般 步 骤,怎 样 学 习 数 学 建 模,数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术,技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用的准则,想象力,洞察力,判断力,学习、分析、评价、改进别人作过的模型,亲自动手，认真作几个实际题目,创新意识,
