1、2019/5/26,数学建模,2、什么是数学建模,4、建模示例2 如何预报人口的增长,什么是数学模型,3、建模示例1 商人们怎样安全过河,1、数学建模课程的内容安排,5、数学建模的方法和步骤,2019/5/26,数学建模,数学建模课程的内容安排（4864学时）,基本部分,建立数学模型（从现实到模型，建模示例，建模步骤）,初等数学方法建模（代数、几何、初等概率方法）,量纲分析法建模,微分法建模（静态优化模型）,微分方程模型（动态模型，常微部分）,差分方程模型,层次分析法建模,随机模型（概率分布方法建模）,2019/5/26,数学建模,玩具、照片, 实物模型,风洞中的飞机, 物理模型,地图、电路图
2、, 符号模型,模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行 简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。,模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。,我们常见 的模型,什么是数学模型,2019/5/26,数学建模,你碰到过的数学模型“航行问题”,用x表示船速，y表示水速，列出方程：,求解得到 x=20, y=5,答：船速每小时20公里,2019/5/26,数学建模,航行问题建立数学模型的基本步骤,作出简化假设（船速、水速为常数）；,用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）；,用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；,求解得到数学解答（x=20, y=5）；,回答原问
3、题（船速每小时20公里）。,2019/5/26,数学建模,数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling),数学模型:对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。,数学建模：建立数学模型的全过程 （包括建立、求解、分析、检验）。,2019/5/26,数学建模,数 学 建 模 的 重 要 意 义,电子计算机的出现及飞速发展,数学以空前的广度和深度向一切领域渗透,数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。,数学建模,计算机技术,知识经济,2
4、019/5/26,数学建模,建模示例1 商人们怎样安全过河,问题(智力游戏),随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.,但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?,问题分析,多步决策过程,决策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员,要求在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河,2019/5/26,数学建模,模型构成,xk第k次渡河前此岸的商人数,yk第k次渡河前此岸的随从数,xk, yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk , yk)过程的状态,S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,
5、2,3; x=y=1,2,S 允许状态集合,uk第k次渡船上的商人数,vk第k次渡船上的随从数,dk=(uk , vk)决策,D=(u , v) u+v=1, 2 允许决策集合,uk, vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk dk,+(-1)k,状态转移律,求dkD(k=1,2, n), 使skS按转移律 由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).,多步决策问题,2019/5/26,数学建模,模型求解,穷举法 编程上机,图解法,状态s=(x,y) 16个格点,允许决策D 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.,s1,sn+1,d1, d11给出安全渡河方案,评注和思考,规格化方
6、法, 易于推广,考虑4名商人各带一随从的情况,允许状态S,S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,D=(u , v) u+v=1, 2,2019/5/26,数学建模,背景,世界人口增长概况,中国人口增长概况,研究人口变化规律,控制人口过快增长,建模示例2 如何预报人口的增长,2019/5/26,数学建模,指数增长模型,常用的计算公式,马尔萨斯（1788-1834）提出的指数增长模型(1798),x(t) 时刻t人口,r 人口(相对)增长率(常数),今年人口 x0, 年增长率 r,k年后人口,随着时间增加人口按指数规律无限增长,2019
7、/5/26,数学建模,指数增长模型的应用及局限性,与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合19世纪后多数地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,19世纪后人口数据,2019/5/26,数学建模,阻滞增长模型 (Logistic模型),人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假定：,r固有增长率(x很小时),xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,2019/5/26,数学建模,阻滞增长模型 (Logistic模型),x(t)S形曲线, x
8、增加先快后慢,2019/5/26,数学建模,模型的参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报， 必须先估计模型参数 r 或 r, xm,利用统计数据用最小二乘法作拟合,例：美国人口数据（单位百万）,专家估计,2019/5/26,数学建模,模 型 检 验,用模型预报1990年美国人口，与实际数据比较,实际为251.4 (百万),模 型 应 用人 口 预 报,用美国17901990年人口数据重新估计参数,Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量),2019/5/26,数学建模,基本方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律,将研究对象看作“黑箱”,通过对量测数据 的统计分析，找出与数据拟合最好的模型,机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析,二者结合,机理分析建立模型结构,测试分析确定模型参数,数学建模的方法和步骤,2019/5/26,数学建模,数 学 建 模 的 一 般 步 骤,2019/5/26,数学建模,怎 样 学 习 数 学 建 模,数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术,技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用的准则,想象力,洞察力,判断力,学习、分析、评价、改进别人作过的模型,亲自动手，认真作几个实际题目,创新意识,
