,第一章,第五节,无穷小的比较,一、无穷小的比较,二、等价无穷小的替换,引例 ：,都是无穷小,回顾：由无穷小性质知，两个无穷小的和、差、积都是无穷小，那两个无穷小的商呢？,思考：上述例子都是无穷小的商，为什么结果截然不同呢？,定义.,若,则称 是比 高阶的无穷小,若,若,若,或,记作,则称 是比 低阶的无穷小;,则称 是 的同阶无穷小;,则称 是 的等价无穷小,记作,一、无穷小的比较,例如 , 当,时,又如 ，,所以,即,例1. 求,解：原式,解:,目录 上页 下页 返回 结束,因此,即有等价关系:,例2. 求,总结：常见的等价无穷小,定理. 设 是同一变化过程中的无穷小，且,若,存在 , 则,解：原式,二、等价无穷小的替换原理,例3. 求,例4. 求,解：原式=,总结：,1、需替换时再替换,2、作最简单替换,3、必须是无穷小因子才能替换,解：原式=,例5. 求,例6. 求,解:,原式,随堂练习：,注：乘积运算时也可利用无穷小等价替换。,内容小结,1. 无穷小的比较,设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且, 是 的高阶无穷小, 是 的低阶无穷小, 是 的同阶无穷小, 是 的等价无穷小,常用等价无穷小 :,第八节,2. 等价无穷小替换定理,
