1、第六章：微分方程,第一节： 微分方程的概念,解,一、问题的提出,解,代入条件后知,故,开始制动到列车完全停住共需,微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,二、微分方程的定义,微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之.,分类1: 常微分方程, 偏微分方程.,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,分类2:,分类3: 线性与非线性微分方程.,分类4: 单个微分方程与微分方程组.,微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.,微分方程的解的分类：,三、主要问题-求方程的解
2、,(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.,解的图象: 微分方程的积分曲线.,通解的图象: 积分曲线族.,初始条件: 用来确定任意常数的条件.,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.,解,所求特解为,补充:,微分方程的初等解法: 初等积分法.,求解微分方程,求积分,(通解可用初等函数或积分表示出来),微分方程；,微分方程的阶；,微分方程的解；,通解;,初始条件；,特解；,初值问题；,积分曲线,小结,本节基本概念：,思考题
3、,思考题解答,中不含任意常数,故为微分方程的特解.,第二节： 可分离变量的微 分方程,一、可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程.,解法,为微分方程的解.,分离变量法,例1 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,二、典型例题,通解为,解,解,由题设条件,衰变规律,例 4,有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.,解,由力学知识得,水从孔口流出的流量为,设在微小的时间间隔,水面的高度由h降至 ,比较(1)和(2)得:,即为未知函数的微分方程
4、.,可分离变量,所求规律为,解,设鼓风机开动后 时刻 的含量为,在 内,的通入量,的排出量,6分钟后, 车间内 的百分比降低到,分离变量法步骤:,1、分离变量;,2、两端积分-隐式通解.,小结,思考题,求解微分方程,思考题解答,为所求解.,二、齐次方程（*）,的微分方程称为齐次方程.,2.解法,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,1.定义,例 1 求解微分方程,微分方程的解为,解,例 2 求解微分方程,解,微分方程的解为,小结,齐次方程,齐次方程的解法,*可化为齐次方程的方程,第三节：一阶线性微分方程,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,一、线性方程,例
5、如,线性的;,非线性的.,齐次方程的通解为,1. 线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),2. 线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比:,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质: 未知函数的变量代换.,作变换,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,解,例1,例2 如图所示，平行于 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .,两边求导得,解,解此微分方程,所求曲线为,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,二、伯努利方程*,解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.,求出通解后，将 代入即得,代入上式,解,例 3,例4 用适当的变量代换解下列微分方程:,解,所求通解为,解,分离变量法得,所求通解为,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,三、小结,1.齐次方程,2.线性非齐次方程,3.伯努利方程*,思考题,求微分方程 的通解.,思考题解答,思考题解答,方程两边同时对 求导:,原方程是齐次方程.,
