1、2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我 们 仔 细 阅 读 了 全 国 大 学 生 数 学 建 模 竞 赛 章 程 和 全 国 大 学 生 数 学 建 模竞 赛 参 赛 规 则 （以 下 简 称 为 “竞 赛 章 程 和 参 赛 规 则 ”， 可 从 全 国 大 学 生 数 学 建 模 竞赛 网 站 下 载 ） 。我 们 完 全 明 白 ， 在 竞 赛 开 始 后 参 赛 队 员 不 能 以 任 何 方 式 （包 括 电 话 、 电 子 邮件 、 网 上 咨 询 等 ） 与 队 外 的 任 何 人 （包括指导教师 ） 研 究 、 讨 论 与 赛 题 有 关 的 问题 。我 们 知
2、 道 ， 抄 袭 别 人 的 成 果 是 违 反 竞 赛 章 程 和 参 赛 规 则 的 ， 如 果 引 用 别 人 的成 果 或 其 他 公 开 的 资 料 （包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述 方 式 在 正 文 引 用 处 和 参 考 文 献 中 明 确 列 出 。我 们 郑 重 承 诺 ， 严 格 遵 守 竞 赛 章 程 和 参 赛 规 则 ， 以 保 证 竞 赛 的 公 正 、 公 平 性 。 如有 违 反 竞 赛 章 程 和 参 赛 规 则 的 行 为 ， 我 们 将 受 到 严 肃 处 理 。我 们 授 权 全 国 大 学 生 数 学 建 模 竞 赛 组 委 会
3、 ， 可 将 我 们 的 论 文 以 任 何 形 式 进 行公 开 展 示 （包 括 进 行 网 上 公 示 ， 在 书 籍 、 期 刊 和 其 他 媒 体 进 行 正 式 或 非 正 式 发 表等 ） 。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一 项填写） ： A 我们的报名参赛队号为（8 位数字组成的编号） ： 10009072所属学校（请填写完整的全名） ： 东南大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 吉张鹤轩2. 杨升3. 陈同广 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名) ： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上 内 容 请 仔 细 核 对 ，
4、 提 交 后 将 不 再 允 许 做 任 何 修 改 。 如 填 写 错 误 ， 论 文 可 能 被 取消 评 奖 资 格 。 ）日期： 2014 年 09 月 15 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅人 评 分 备注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 1嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要本 题 要 求 我 们 以 嫦 娥 三 号 登 月 为 背 景 ， 分 析 登 月 轨
5、 道 参 数 ， 重 点 探 讨 了 登 月 过 程 最 具 难 度的 着 陆 轨 道 设 计 优 化 ， 并 对 所 使 用 的 优 化 方 案 进 一 步 作 出 了 误 差 分 析 与 灵 敏 度 分 析 。对 于 第 一 问 ， 由 于 正 面 求 解 条 件 有 限 ， 难 以 从 已 有 的 条 件 中 得 到 近 月 点 和 远 月 点 的 位 置 以 及准 备 轨 道 参 数 ， 因 此 巧 妙 的 使 用 了 逆 推 思 路 ， 通 过 已 知 条 件 求 解 主 减 速 阶 段 运 动 过 程 ， 通 过水 平 位 移 量 反 推 近 月 点 位 置 。 首 先 ， 我 们
6、 由 已 知 的 端 点 约 束 条 件 ， 结 合 所 学 物 理 知 识 ， 并 查阅 相 关 资 料 ， 通 过 线 性 正 切 制 导 率 等 工 程 经 验 判 断 减 速 过 程 中 推 力 控 制 方 案 应 为 推 力 大 小 始 终 为最 大 值 ， 推 力 与 速 度 反 方 向 夹 角 也 为 恒 量 ， 由 此 建 立 微 分 方 程 模 型 。 但 在 求 解 的 过 程 中 我 们 发 现 ，正 面 求 解 难 度 十 分 大 ， 于 是 对 微 分 方 程 离 散 化 ， 转 化 为 差 分 方 程 组 ， 继 而 通 过 计 算 机 模 拟 行 为 ，拟 合 出
7、 最 接 近 解 的 轨 迹 ， 求 得 水 平 位 移 量 为 385.21m， 由 此 得 到 近 月 点 位 置 为 19.51W ， 31.50N ， 距 月 面 15km， 速 度 为 1692.46m/s， 平 行 月 面 指 向 预 期 落 点 方 位 ； 远 月 点 位 置 为 160.49E， 31.50S ， 距 月 面 100km， 速 度 为 1612.15m/s， 方 向 与 近 日 点 反 相 平 行 。对 于 第 二 问 ， 依 据 题 意 将 其 分 为 五 个 阶 段 。 对 于 前 两 个 阶 段 ， 建 立 天 体 力 学 分 析 中 常 用 的二 体 模
8、 型 及 力 学 方 程 组 ， 并 对 约 束 条 件 进 行 归 一 化 处 理 。 为 了 后 续 优 化 ， 列 出 全 部 归 一 化 约 束条 件 并 建 立 目 标 函 数 ， 从 而 获 得 非 线 性 规 划 模 型 。 之 后 采 用 了 序 列 化 遗 传 算 法 对 其 进 行 筛 选 ，从 而 逼 近 该 阶 段 全 局 最 优 解 ， 最 终 此 阶 段 燃 耗 为 1055.39kg。 第 二 阶 段 同 样 属 于 复 杂 多 变 量优 化 问 题 ， 同 阶 段 一 建 立 优 化 模 型 并 通 过 遗 传 算 法 求 解 该 段 全 局 最 优 解 ， 最
9、 终 燃 耗 为26.71kg。 第 三 第 四 阶 段 主 要 在 于 图 像 处 理 与 统 计 ， 第 三 阶 段 ， 通 过 对 高 程 图 进 行 K 均值聚类分 析 ， 将 图 中 像 素 点 分 为 安 全 点 与 危 险 点 ， 在 对 地 图 栅 格 化 ， 并 对 方 格 内 点 类 型 统 计 取 整 ， 对 方 格 二元 化 为 安 全 格 与 危 险 格 ， 在 通 过 扩 大 寻 找 最 大 安 全 半 径 ， 综 合 考 虑 水 平 偏 移 量 ， 建 立 合 理 的 落 点评 价 体 系 ， 最 终 找 出 最 优 点 坐 标 （ 1275,1000） ， 燃
10、耗 为 86.97kg。 第 四 阶 段 同 样 做 聚 类 分 析 ， 并根 据 嫦 娥 三 号 实 际 体 积 选 取 合 适 的 栅 格 大 小 ， 并 对 栅 格 通 过 最 小 二 乘 法 对 空 间 进 行 线 性 统 计 回 归 ，求 出 平 均 坡 面 与 平 均 坡 度 ， 结 合 最 大 安 全 半 径 建 立 最 优 落 点 评 价 体 系 ， 最 终 获 得 最 优 落 点 坐 标 为（88,5 6） ， 燃 耗 为 20.68kg。 第 五 阶 段 最 优 燃 耗 为 8.09kg。 最 后 还 讨 论 了 简 单 运 动 的 局 部 最 优模 型 ， 简 化 了 后
11、 几 个 阶 段 的 运 动 学 分 析 与 计 算 。 最 终 综 合 各 段 最 优 解 ， 获 得 最 优 着 陆 轨 道 与 控制 策 略 。对 于 第 三 问 ， 首 先 总 结 了 优 化 模 型 中 引 入 的 一 些 误 差 因 素 ， 并 针 对 主 要 因 素 做 了 数 值 上 的 相对 误 差 分 析 ， 证 明 了 误 差 对 于 优 化 方 案 并 未 产 生 很 大 影 响 。 其 次 从 初 始 变 量 和 约 束 条 件 入 手 ， 分析 了 这 些 变 量 的 波 动 对 于 结 果 产 生 的 影 响 ， 最 终 发 现 角 度 控 制 向 量 的 灵 敏
12、 性 较 高 ， 而 其 他 因素 的 灵 敏 性 普 遍 处 在 较 低 水 平 ， 侧 面 说 明 了 优 化 方 案 的 对 于 初 值 的 不 敏 感 性 与 方 案 对 于 全 局 最优 解 的 逼 近 程 度 较 高 。关键词：非 线性 规划 模型 序列 化遗 传算 法 K 均值 聚类 空间 线性 回归 二 体模型2一问题的提出1.1 背景介绍根据计划，嫦娥三号将在北京时间 12 月 14 号在月球表面实施软着陆。嫦娥三号如何实现软着陆以及能否成功成为外界关注焦点。目前，全球仅有美国、前苏联成功实施了 13 次无人月球表面软着陆。北 京 时 间 12 月 10 日 晚 ， 嫦 娥
13、三 号 已 经 成 功 降 轨 进 入 预 定 的 月 面 着 陆 准 备 轨 道 ， 这 是 嫦 娥三 号 “落 月 ”前 最 后 一 次 轨 道 调 整 。 在 实 施 软 着 陆 之 前 ， 嫦 娥 三 号 还 将 在 椭 圆 轨 道 上 继 续 飞 行 ，做 最 后 准 备 。嫦 娥 三 号 着 陆 地 点 选 在 较 为 平 坦 的 虹 湾 区 。 但 由 于 月 球 地 形 的 不 确 定 性 ， 最 终 “落 月 ”地点 的 选 择 仍 存 在 一 定 难 度 。 在 整 个 “落 月 ”过 程 中 ， “动 力 下 降 ”被 业 内 形 容 为 最 惊 心 动 魄 的 环节 。
14、 在 这 个 阶 段 ， 嫦 娥 三 号 要 完 全 依 靠 自 主 导 航 控 制 ， 完 成 降 低 高 度 、 确 定 着 陆 点 、 实 施 软 着陆 等 一 系 列 关 键 动 作 ， 人 工 干 预 的 可 能 性 几 乎 为 零 。 在 距 月 面 100 米 处 时 ， 嫦 娥 三 号 要 进 行 短暂 的 悬 停 ， 扫 描 月 面 地 形 ， 避 开 障 碍 物 ， 寻 找 着 陆 点 。1.2 问题重述嫦 娥 三 号 在 着 陆 准 备 轨 道 上 的 运 行 质 量 为 2.4t， 其 安 装 在 下 部 的 主 减 速 发 动 机 能 够 产 生的 推 力 可 调 节
15、 ， 变 化 范 围 为 1500N 到 7500N， 其 比 冲 为 2940m/s， 可 以 满 足 调 整 速 度 的 控 制要 求 。 在 四 周 安 装 有 姿 态 调 整 发 动 机 ， 能 够 自 动 通 过 多 个 发 动 机 的 脉 冲 组 合 实 现 各 种 姿 态 的 调整 控 制 。 嫦 娥 三 号 的 预 定 着 陆 点 为 19.51W， 44.12N， 海 拔 为 -2641m。嫦 娥 三 号 在 高 速 飞 行 的 情 况 下 ， 要 保 证 准 确 地 在 月 球 预 定 区 域 内 实 现 软 着 陆 ， 关 键 问 题 是着 陆 轨 道 与 控 制 策 略
16、 的 设 计 。 其 着 陆 轨 道 设 计 的 基 本 要 求 ： 着 陆 准 备 轨 道 为 近 月 点 15km， 远 月点 100km 的 椭 圆 形 轨 道 ； 着 陆 轨 道 为 从 近 月 点 至 着 陆 点 ， 其 软 着 陆 过 程 共 分 为 6 个 阶 段 ，要 求 满 足 每 个 阶 段 在 关 键 点 所 处 的 状 态 ， 尽 量 减 少 软 着 陆 过 程 的 燃 料 消 耗 。根据上述的基本要求，建立数学模型解决下面的问题：（ 1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。（ 2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在 6 个阶段的最优控制策略
17、。（ 3）对设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。二问题的分析2.1 问题一由 于 题 目 已 经 明 确 给 出 准 备 轨 道 的 形 状 参 数 ， 可 以 通 过 已 有 的 物 理 知 识 与 几 何 关 系 明 确 计算 出 近 月 点 与 远 月 点 处 速 度 大 小 和 相 对 于 月 面 的 速 度 方 向 。 为 了 预 期 落 点 与 着 陆 轨 道 在 同 一 个平 面 内 ， 且 准 备 轨 道 过 月 心 ， 可 以 大 致 确 定 轨 道 所 在 平 面 有 无 数 多 个 ， 无 法 确 定 近 月 点 和 远 月 点的 位 置 ， 因 此 需
18、 要 其 他 条 件 来 推 测 。 本 题 现 有 的 条 件 下 ， 只 有 通 过 着 陆 轨 道 逆 推 近 月 点 ， 并 结合 地 月 轨 道 制 动 的 实 际 情 况 综 合 考 虑 ， 才 能 得 到 。 对 于 着 陆 过 程 一 ， 由 相 关 报 道 以 及 NASA 在 1976 年 提 出 的 线 性 正 切 制 导 率 1， 得 知 主 减 速 阶 段 通 常 都 是 恒 推 力 作 用 在 轨 道 切 线 上 ， 且 嫦娥 三 号 主 减 速 阶 段 实 际 也 是 保 持 着 最 大 推 力 依 照 这 一 定 律 进 行 制 导 。 我 们 由 此 出 发
19、， 通 过 二 体模 型 ， 结 合 已 知 条 件 ， 建 立 微 分 方 程 组 ， 通 过 计 算 机 模 拟 降 落 轨 迹 即 可 求 出 降 落 弧 线 距 离 ， 从而 反 推 近 月 点 ， 对 称 得 出 远 月 点 。2.2 问题二由问题一已经得出近月点，即开始降落点位置，也知道每一阶段的状态，因此，降落轨3道 大 致 范 围 基 本 确 定 ， 但 六 个 过 程 的 精 确 路 径 是 要 通 过 策 略 优 化 来 控 制 的 。 由 于 燃 料 消 耗 表 现在 推 力 在 时 间 上 的 积 累 量 ， 即 减 小 推 力 作 用 的 冲 量 ， 即 可 优 化
20、燃 料 消 耗 。对 第 一 个 过 程 ， 由 于 推 力 很 大 且 历 时 较 长 ， 因 此 燃 料 消 耗 主 要 体 现 在 这 一 阶 段 ， 对 应 的 ， 优 化策 略 也 应 重 点 体 现 ， 由 于 有 二 体 模 型 ， 建 立 微 分 方 程 模 型 ， 并 由 初 值 条 件 以 及 阶 段 限 定 条 件 ， 可以 写 出 非 线 性 约 束 条 件 ， 本 问 题 及 转 化 为 轨 道 优 化 中 的 非 线 性 规 划 问 题 ， 一 般 可 通 过 成 熟 的 SQP 算 法 可 以 得 到 全 局 最 优 解 ， 但 本 题 采 用 了 更 为 常 见
21、 也 相 对 传 统 的 遗 传 算 法 ， 逼 近 全 局最 优 解 ， 得 出 最 优 方 案 。对 于 第 二 阶 段 ， 仅 仅 是 为 了 是 水 平 速 度 将 为 0， 且 推 力 迅 速 减 小 ， 由 上 一 阶 段 的 优 化 结 果 ，得 出 末 速 度 水 平 分 量 ， 由 于 冲 量 可 分 解 ， 则 此 阶 段 分 为 水 平 方 向 和 竖 直 方 向 分 别 优 化 ， 即 分为 了 两 个 变 速 直 线 运 动 模 型 ， 简 化 了 优 化 模 型 ， 可 以 由 这 两 个 局 部 最 优 解 加 和 得 到 该 阶 段 的 全局 最 优 解 。第
22、三 个 阶 段 水 平 速 度 初 始 为 0， 经 过 对 月 面 成 像 分 析 ， 制 定 平 坦 度 评 价 体 系 ， 选 择 距 离中 心 点 最 近 且 满 足 平 坦 度 要 求 的 区 域 中 心 为 粗 调 整 目 标 降 落 点 。 由 于 这 一 段 终 点 悬 停 ， 速 度 减为 0， 因 此 可 以 对 该 段 推 力 进 行 优 化 ， 从 而 局 部 燃 料 最 优 。第 四 阶 段 悬 停 ， 精 细 成 像 并 分 析 ， 同 样 制 定 平 坦 度 评 价 体 系 并 选 择 距 离 中 心 点 最 近 且 满 足平 坦 度 要 求 的 区 域 中 心
23、作 为 最 终 目 标 降 落 点 ， 修 正 轨 道 。 结 束 时 水 平 速 度 依 然 为 0， 因 此 同 样存 在 优 化 过 程 。第 五 阶 段 与 第 六 阶 段 是 减 速 至 0 然 后 自 由 落 体 的 过 程 ， 针 对 减 速 阶 段 也 可 考 虑 优 化 ， 可经 过 简 单 讨 论 得 到 结 果 。最后根据各个阶段的最优方案，模拟出嫦娥三号着陆轨道即可。2.3 问题三为 了 分 析 设 计 轨 道 和 控 制 策 略 的 误 差 与 敏 感 性 ， 有 必 要 制 定 误 差 指 标 并 考 虑 各 部 分 误 差 对于 结 果 的 最 大 影 响 ， 敏
24、 感 性 也 同 样 需 要 这 一 思 路 ， 各 个 阶 段 的 细 微 变 化 会 对 结 果 产 生 影 响 的 衡量 。 另 一 方 面 ， 或 许 还 有 必 要 寻 找 参 考 物 以 显 示 该 方 案 的 好 坏 。三模型假设1. 由 于 月 球 自 转 速 度 为 27.3d， 十 分 缓 慢 ， 而 着 陆 过 程 仅 有 十 几 分 钟 ， 因 此 在 本 题 中 月球 不 考 虑 自 转 ；2. 由于月球扁率很小，可认为月球为球体，半径以平均半径为准，并且引力场分布均匀；3. 由于侧面姿态调整喷射装置对燃料影响很小，为简化模型，认为飞行器变换姿态的过 程 不 消 耗
25、燃 料 ；4. 认 为 飞 行 器 变 换 姿 态 是 瞬 间 完 成 的 ；5. 由于着陆时间较短，所以诸如月球引力非球项、日月引力摄动等影响因素均可忽略不 计 ；6. 推 力 大 小 可 瞬 间 改 变 ；7. 燃 料 除 供 给 推 力 外 ， 无 任 何 其 他 耗 散 方 式 ；8. 月 球 空 气 稀 薄 ， 不 考 虑 任 何 摩 擦 力 ；9. 由于预定着陆点海拔-2641m，因此在着陆过程中所使用的高度均不应是海拔高度， 而 是 相 对 于 着 陆 点 海 拔 的 高 度 。4四符号说明符号 符号意义G 引力常量M 月球质量m 嫦娥三号质量 比冲gm 月球表面重力加速度F 推
26、力J 燃耗P 平坦度评价指标H 综合评价指标 平均坡度评价指标五模型建立与求解5.1 问题一5.1.1 模型建立为 了 确 定 近 月 点 和 远 月 点 ， 正 常 的 思 路 是 求 出 椭 圆 轨 道 所 在 平 面 以 及 椭 圆 长 轴 在 空 间 中 的位 置 ， 但 本 题 仅 给 出 了 轨 道 两 点 的 高 度 信 息 以 及 平 均 半 径 ， 还 有 根 据 常 识 推 断 出 的 预 定 着 陆 点 在椭 圆 平 面 内 ， 除 此 之 外 并 无 其 他 信 息 ， 因 此 从 现 有 条 件 准 确 判 断 两 点 的 位 置 是 不 可 能 的 。 因 此 ，本
27、 题 应 采 用 逆 推 思 路 ， 由 着 陆 轨 道 的 第 一 个 阶 段 反 推 近 月 点 。先 对 轨 道 参 数 进 行 分 析 ， 已 知 近 月 点 高 度 Hc=15km， 远 月 点 高 度 Hf=100km， 月 球 平 均半 径 为 R=1737.013km， 轨 道 为 椭 圆 。 如 图 5.1.1.1.图 5.1.1.1 近月轨道示意图（为了方便示意，本图不符合比例）由 开 普 勒 定 律 ， 任 何 椭 圆 天 体 轨 道 的 中 心 天 体 一 定 在 椭 圆 的 一 个 焦 点 上 。 则 由 椭 圆 几 何 性质 ， 可 以 近 似 得 出 方 程 ：a
28、+c=Hf+R a-c=Hc+R联系万有引力定律与牛顿第二定律，可以列出嫦娥三号在近月点和远月点的运动学方程： Mm v2G 0 m f (a c)2 0 f Mm v2G 0 m c (a c)2 0 c50其中 M 7.34771022 kg 为 月 球 质 量 ， G=6.67210-11 为 引 力 常 量 ， m 2.4t 为 在 近 月 轨 道上飞行器的质量， f 与 c 为远月点和近月点的曲率半径。由椭圆的几何性质，在长轴两端点处的曲率半径分别为： c2 b = a c1 e aa2 f联立以上各式，带入参数，得：= a c1 eb近 月 点 速 度 大 小 vc 1692.46
29、m / s ； 远 月 点 速 度 大 小 vf 1614.15m / s 。由 假 设 2， 月 球 视 为 球 体 ， 则 近 月 点 处 速 度 方 向 方 向 应 平 行 于 月 面 且 为 了 着 陆 方 便 ， 方向 指 向 预 定 着 陆 点 所 在 方 向 ， 远 月 点 处 同 样 平 行 月 面 但 速 度 方 向 与 之 相 反 。下面开始研究主减速过程，该过程由近月点开始，切向速度 v 0 vc ，径向速度v r 等于0，由切线正切制导率及相关报道可知，该阶段推力始终保持最大推力，且始终调整使推力与速度方向相反，即 F 7500 N ，F v ，最终应大致达到预定着陆点
30、目标上空，且竖直方向速度为 57m/s ，高度共下降 12000m。由于有端点限制条件，可以通过物理知识建立微分方程组，即采用微分方程模型进行分析求解。由 于 飞 行 器 绕 月 球 表 面 飞 行 ， 且 切 向 速 度 较 大 ， 在 月 心 极 坐 标 系 下 必 须 考 虑 向 心 力 和 科 里 奥利 力 ， 且 涉 及 转 动 变 量 ， 较 为 复 杂 。 这 里 采 用 参 考 系 转 化 ， 将 极 坐 标 系 转 化 为 非 惯 性 参 考 系 ， 并对 该 系 中 所 有 质 点 提 供 一 个 向 上 的 离 心 力 ， 大 小 由 水 平 速 度 与 质 点 到 月
31、心 距 离 决 定 ：v2F m xd r这样，问题就转化到了平面直角坐标系下，并且可以对速度和受力进行正交分解，如图5.1.1.2。图 5.1.1.2 非惯性系下力学分析图示由此可得微分方程模型：6m0 mtrr dvy GM v2 x a sin dt r 2 r dvx a cos vx vy dt r dr v dt y a F vy tan vx其 中 r 为 飞 行 器 到 月 心 的 距 离 ， 为 推 力 与 水 平 方 向 的 夹 角 ， a 为 推 力 产 生 的 加 速 度 ， 整 个 过 程 中 质 量 是 匀 速 减 少 的 ， 减 少 系 数 由 比 冲 与 推 力
32、 定 义 ， 即 F m ， 本 题 中 =2940N / kg 。至此，本问题已经完全抽象为数学语言，并且有初始参数：vy 0 ， vx 1692.46m / s ， r 1749.37km ， =0理 论 上 可 求 得 当 高 度 下 降 12000m 时 速 度 方 向 大 小 以 及 飞 行 距 离 ， 但 这 个 方 程 组 要 想 解出 一 个 描 述 运 动 轨 迹 的 函 数 是 十 分 困 难 的 ， 因 此 ， 需 要 另 寻 它 路 ， 逼 近 它 的 解 。5.1.2 模型求解本 题 由 方 程 组 反 推 运 动 方 程 是 十 分 困 难 的 ， 但 这 类 问
33、题 就 像 是 解 决 NP 难 题 一 样 ， 无 法由 问 题 得 到 结 论 ， 但 可 以 “猜测” 结 论 从 而 验 证 问 题 的 正 确 性 ， 继 而 得 到 想 要 的 数 据 。回 顾 本 题 ， 之 所 以 无 法 解 决 是 因 为 微 分 方 程 的 连 续 性 ， 这 种 连 续 性 计 算 机 很 难 求 解 ， 但 若是 让 该 组 方 程 做 某 种 近 似 ， 使 之 转 化 为 差 分 方 程 ， 从 而 利 用 差 分 方 程 的 离 散 型 导 出 差 分 方 程 组 。输 入 初 始 条 件 ， 使 用 计 算 机 模 拟 其 运 动 过 程 ，
34、最 后 打 点 画 出 折 线 图 。 由 微 元 思 想 可 知 ， 当 时 间 被 微分 成 足 够 小 的 时 候 ， 模 拟 的 运 动 轨 迹 可 认 为 无 限 逼 近 真 实 运 动 轨 迹 。微元化后的差分方程依然可以有运动学规律得出： v v (a cos vxn vyn ) t xn1 xn n n nGM v2vyn1 vyn ( 2n an sin n xn ) t rn an m mFmn m t n1 n rn1 rn yn1 2 xn1 xn vxn t 2 an cos n t yn1 yn vyn t 1 a2 n sin n t 2其中 为时间 微元 小量
35、， 由 于 减速 段 大约 几百 秒， 为了 精 确描 绘 运动 曲线 一般取 0.1s。带入 初 始 条 件 ：F 7500N ， m0 2400kg ， 0 =0 ， x0 0 ， y0 0 ， vx0 1692.46m / s ， vy0 0即可通过迭代法，求出在 y=3000m 时的 x 的值，该值即为飞行器转过的角度所对应的7月 面 弧 长 。 但 是 仿 真 结 果 表 明 ， 当 高 度 降 至 3000m 时 ， 速 度 并 不 为 57m/s， 而 且 远 大 于 这 一数 值 ， 显 然 ， 是 我 们 采 用 的 控 制 方 案 不 合 题 意 。重 新 考 虑 这 一
36、过 程 ， 应 该 是 竖 直 方 向 分 力 不 够 ， 导 致 竖 直 速 度 分 量 增 加 过 快 。 之 后 在 了 解了 嫦 娥 三 号 实 际 登 月 过 程 后 ， 我 们 发 现 这 一 过 程 中 推 力 并 非 与 速 度 方 向 相 反 ， 而 是 始 终 与 速 度反 方 向 保 持 一 个 角 度 ， 并 向 曲 线 内 侧 倾 斜 。于是我们通过改变 的大小，试图输出大量运动轨迹簇，这一过程由计算机模拟生成。通过计算机仿真模拟，得到非惯性参考系下的运动轨迹簇。其中可以发现，在 取时，高度 3000m 处竖直方向速度为，在误差允许的范围内可以接受，由此得出符合题意的
37、主减速阶段飞行轨迹图，如图 5.1.1.4.图 5.1.1.4 主减速阶段飞行轨迹图（非惯性参考系）图 5.1.1.5 水平与竖直速度变化 示意图 图 5.1.1.6 夹角变化示意图得 到 弧 长 为 ， 对 应 转 过 角 度 为 ， 所 用 时 间 为 。 由 于 推 力 大 小 不 变 ， 由 时 间 即 可 得 出 此 阶 段燃 耗 。 该 阶 段 内 水 平 方 向 与 竖 直 方 向 速 度 变 化 如 图 5.1.1.5.可 以 看 出 ， 水 平 速 度 不 断 下 降 ， 而 竖 直 方 向 速 度 先 增 大 后 减 小 ， 合 速 度 57.12m/s， 符 合题 意 。
38、 水 平 总 位 移 为 385.21km。虽 然 该 阶 段 末 并 不 是 准 确 到 达 预 定 着 陆 点 上 空 ， 需 要 经 过 快 速 调 整 阶 段 才 能 准 确 到 达 ， 但 题 目 表 述 中 明 确 指 出 该 处 以 基 本 到 达 目 标 上 空 ， 再 加 之 段 末 水 平 速 度 分 量 相 比 初 始 速 度 已 经十 分 小 ， 快 速 调 整 阶 段 又 很 迅 速 ， 即 快 速 调 整 阶 段 对 到 目 标 点 上 空 距 离 的 影 响 十 分 小 ， 相 比 主 减速 段 弧 长 可 以 忽 略 ， 即 认 为 主 减 速 末 段 已 经
39、到 达 目 标 上 空 。由 此 ， 我 们 结 合 弧 长 与 转 角 可 以 计 算 近 月 点 所 在 范 围 。 由 于 该 角 度 可 在 以 预 定 落 点 为 圆 心的 球 面 圆 上 任 意 选 取 ， 考 虑 到 当 天 月 球 月 面 范 围 ， 降 落 过 程 应 基 本 暴 露 在 有 光 月 面 一 侧 ， 以便 拍 摄 或 信 息 收 集 ， 并 且 一 般 选 择 轨 道 时 为 了 方 便 计 算 控 制 ， 轨 道 平 面 会 与 落 点 所 在 经 线8平 面 基 本 重 合 ， 即 近 月 点 经 度 也 为 19.51W， 纬 度 应 更 加 靠 近 赤
40、 道 ， 从 而 保 证 降 落 过 程 全 程在 光 侧 面 ， 最 终 确 定 纬 度 位 置 为 31.50N 。由月球的球对称性，远月点纬度南北对调，经度东西对调，角度互补。最 终 结 论 ， 近 月 点 位 置 为 19.51W ， 31.50N ， 距 月 面 15km， 速 度 为 1692.46m/s；远月点 位 置 为 160.49E ， 31.50S ， 距 月 面 100km， 速 度 为 1612.15m/s。5.2 问题二本 题 为 典 型 的 多 因 素 优 化 问 题 ， 优 化 目 标 是 减 少 燃 料 损 耗 ， 并 且 通 过 图 像 分 析 选 择 最
41、为 平坦 的 地 区 着 陆 。由于燃料损耗直接与推力有关，即 F m ，其中 =2940m / s 为燃料比冲，也就有 Fdt mdt该 式 左 边 为 推 力 对 时 间 的 积 累 量 ， 即 推 力 所 做 的 冲 量 ； 右 边 为 燃 料 损 耗 对 时 间 的 积 累 ， 即 一 定 时 间 内 的 燃 料 损 耗 总 量 。 由 于 比 冲 为 常 数 ， 因 此 推 力 冲 量 与 燃 耗 成 正 比 例 关 系 ， 从 而 使优 化 目 标 与 力 学 量 直 接 联 系 ， 便 于 分 析 。另外，由动量定理mdv Fdt ，在近似处理下，也可将燃耗与速度变化联系在一起。
42、5.2.1 过程一模型建立与求解由 5.1 计 算 过 程 可 知 ， 主 减 速 段 是 着 陆 过 程 用 时 最 长 ， 燃 耗 最 多 的 阶 段 。 该 阶 段 的 主 要任 务 是 消 除 较 大 的 初 始 水 平 速 度 , 因 此 推 进 剂 消 耗 优 化 是 该 阶 段 优 化 的 主 要 设 计 目 标 ， 也 是整 个 着 陆 轨 道 燃 耗 优 化 的 重 中 之 重 。嫦 娥 三 号 的 主 减 速 阶 段 是 从 近 月 点 开 始 下 降 到 距 离 预 定 地 点 3 km 处 ， 这 一 过 程 的 时 间比 较 短 ， 仅 有 几 百 秒 的 时 间 ，
43、 所 以 可 以 不 考 虑 月 球 引 力 摄 动 。 月 球 自 转 速 度 比 较 小 , 也可忽 略 。 所 以 ， 可 以 仅 仅 对 月 球 和 嫦 娥 三 号 进 行 分 析 ， 将 问 题 转 化 为 二 体 模 型 ， 如 图5.2.1.1。 以 月 心 为 原 点 ， 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 设 嫦 娥 三 号 的 月 心 距 为 r ， 极 角 为 ，角速度 为 ， 质 量 为 m ； 又 设 v 为 嫦 娥 三 号 沿 r 方 向 上 的 速 度 ， F 为 主 减 速 发 动 机 的 推 力 （ 在本题 中 为 固 定 值 ） ， 发 动 机 推 力
44、与 当 地 水 平 线 的 夹 角 即 为 推 力 的 方 向 ， 比 冲 为 ISP ；设月球 的引 力 常 数 为 。图 5.2.1.1 二体模型力学分析示意图首先，从运动学角度进行分析。由动力学基本方程可得dr tdv ，所以 dr v dt同理， 可以 得到 角度 变化 的关系 式为 d dt9m联立，可得 m Fsin mv dv 图 5.2.1.2 受力分析示意图再从动力学角度进行分析。如图，对嫦娥三号进行受力分析可知。在 径 向 上 ， 受 到 万 有 引 力 F GM m= 月 = 以及主 减速 发动 机在 径向 上的分 力 Fsin 。引 r 2 r 2由此，根据牛顿第二定律
45、可以得到：m mv2 r 2 rFsin m dv dt2 m ，利 用公 式 v r 化简 该式 可得 ：r 2 r dtdv F sin r2 dt m r 2再 对 切 向 上 的 受 力 进 行 分 析 ， 此 处 需 要 注 意 到 我 们 选 择 参 考 系 月 球 自 身 的 自 转 ， 是 一个 非 惯 性 参 考 系 。 因 此 ， 嫦 娥 三 号 除 了 受 到 主 减 速 发 动 机 推 动 力 的 分 量 Fcos 的 作 用 ， 还需 要 计 入 大 小 为 2v 的 科 里 奥 利 力 ， 根 据 右 手 定 则 可 以 确 定 其 方 向 为 切 向 。 由 牛
46、顿 运 动 学第二定律可以得到F cos 2v m dvy 。同样，利用vdt y r 化简可以得到：F * cos 2* v *d m .dt r由于飞船在运行过程利用燃料反冲制动，因此飞船得而质量是不断变化的。考虑比冲的定义为“火箭发动机单位质量推进剂产生的冲量 ”可得：dm F 。dt ISP综上所述，联立式，即可得到完整的描述嫦娥三号与月球这一二体运动模型的方程组：10rrefrrefr3refI fdr v dtdv F sin r2dt m r 2d dtF cos 2vd mdt rdm F dt ISP对于嫦娥三号燃料使用指标的衡量，我们可以反映到其动量上去，即将动量作为衡量燃
47、f F料消耗的性能指标。由质量变化的推导，我们可以得到 J t0 SPdt 。在 轨 道 优 化 过 程 中 , 由于各状态变量的量级相差较大 , 寻优过程中可能会导致有效位 数 的 丢 失 2。 归 一 化 处 理 可 以 克 服 这 一 缺 点 ， 提 高 计 算 精 度 。 另 外 ， 由 于 对 轨 道 的 优 化 也 要求 优 化 变 量 尽 可 能 地 保 持 在 相 同 的 量 级 ， 故 作 以 下 处 理 ：令 ： rref r0 , mref m0 .r v F m v2 m则： r , v , v , I I , F , F ref ref , m ,rref vrefr
48、ef SP SP Frefref rref mrefr , t t tref, tref refvref, .那么，嫦娥三号的动力学方程可改写为：dr v dt d v F sin 1 r2d t m r 2d dt F cos 2vd mdt rd m F dt ISP又由第一问可以得到飞行器的初始条件和终端条件分别为:vr 0 0 v 0v 0 1692.46m / s rfv 57m / sr0 1749.372km注：此处的终端条件中，径向速度和切向速度为理想情况下的结果，实际只能得到最优t11 a t0化的值。使用归一化条件可以得到初始条件和终端条件分别变为：vr 0 0 vrf 0v 0 1692.46 m / s vref v f 57vrefm / sr 1749.372 km rref在 考 虑 燃 料 最 优 的 情 况 ， 并 要
