1、 2017 年松江区初三数学一模 （试卷含答案） （满分 150 分，考试时间 100 分钟） 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1 （ 4 分）已知在 Rt ABC 中， C=90，如果 BC=2， A=，则 AC 的长为（ ） A 2sin B 2cos C 2tan D 2cot 2 （ 4 分）下列抛物线中，过原点的抛物线是（ ） A y=x21 B y=（ x+1） 2 C y=x2+x D y=x2x1 3 （ 4 分）小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高度应为（ ） A 45 米 B
2、40 米 C 90 米 D 80 米 4 （ 4 分）已知非零向量 ， ， ，下列条件中，不能判定 的是 （ ） A ， B C = D = ， = 5 （ 4 分）如图，在 ABCD 中，点 E 是边 BA 延长线上的一点， CE 交 AD 于点F下列各式中，错误的是（ ） A B C D 6 （ 4 分）如图，已知在 ABC 中， cosA= ， BE、 CF 分别是 AC、 AB 边上的高，联结 EF，那么 AEF 和 ABC 的周长比为（ ） A 1： 2 B 1： 3 C 1： 4 D 1： 9 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7 （ 4 分）已知
3、，则 的值为 8 （ 4 分）计算：（ 3 ） （ +2 ） = 9 （ 4 分）已知抛物线 y=（ k1） x2+3x 的开口向下，那么 k 的取值范围是 10 （ 4 分）把抛物线 y=x2 向右平移 4 个单位，所得抛物线的解析式为 11 （ 4 分）已知在 ABC 中， C=90， sinA= ， BC=6，则 AB 的长是 12 （ 4 分）如图，已知 AB CD EF，它们依次交直线 l1、 l2 于点 A、 C、 E 和点B、 D、 F，如果 AC： CE=3： 5， BF=9，那么 DF= 13 （ 4 分）已知点 A（ 2， y1） 、 B（ 5， y2）在抛物线 y=x2+
4、1 上，那么 y1 y2 （填 “ ”、 “=”或 “ ”） 14 （ 4 分）已知抛物线 y=ax2+bx+c 过（ 1， 1）和（ 5， 1）两点，那么该抛物线的对称轴是直线 15 （ 4 分）在 ABC 中， AB=AC=5， BC=8， AD BC，垂足为 D， BE 是 ABC 的中线， AD 与 BE 相交于点 G，那么 AG 的长为 16 （ 4 分）在一个距离地面 5 米高的平台上测得一旗杆底部的俯角为 30，旗杆顶部的仰角为 45，则该旗杆的高度为 米 （结果保留根号） 17 （ 4 分）如图，在 Rt ABC 中， ACB=90， BC=3， AC=4， AB 的垂直平分线
5、DE 交 BC 的延长线于点 E，则 CE 的长为 18 （ 4 分）如图，在 ABC 中， ACB=90， AB=9， cosB= ，把 ABC 绕着点C 旋转，使点 B 与 AB 边上的点 D 重合，点 A 落在点 E，则点 A、 E 之间的距离为 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19 （ 10 分）计算： 20 （ 10 分）如图，已知点 D 是 ABC 的边 BC 上一点，且 BD= CD，设 = ，= （ 1）求向量 （用向量 、 表示） ； （ 2）求作向量 在 、 方向上的分向量 （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 21 （ 10 分）如图，已知
6、AC BD， AB 和 CD 相交于点 E， AC=6， BD=4， F 是 BC上一点， S BEF： S EFC=2： 3 （ 1）求 EF 的长； （ 2）如果 BEF 的面积为 4，求 ABC 的面积 22 （ 10 分）某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯 AC，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即 AB 所在的直线与 CD 平行） ，层高 AD 为 8 米，ACD=20，为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头， A、 B 之间必须达到一定的距离 （ 1）要使身高 2.26 米的姚明乘坐自动扶梯时不碰头，那么 A、 B 之间的距离至少要多少米？（精确到 0.1 米） （ 2）如果自
7、动扶梯改为由 AE、 EF、 FC 三段组成（如图中虚线所示） ，中间段EF 为平台（即 EF DC） ， AE 段和 FC 段的坡度 i=1： 2，求平台 EF 的长度 （精确到 0.1 米） （参考数据： sin20 0.34， cos20 0.94， tan20 0.36） 23 （ 12 分）如图， Rt ABC 中， ACB=90， D 是斜边 AB 上的中点， E 是边BC 上的点， AE 与 CD 交于点 F，且 AC2=CECB （ 1）求证： AE CD； （ 2）连接 BF，如果点 E 是 BC 中点，求证： EBF= EAB 24 （ 12 分）如图，抛物线 y=x2+b
8、x+c 过点 B（ 3， 0） ， C（ 0， 3） ， D 为抛物线的顶点 （ 1）求抛物线的解析式以及顶点坐标； （ 2）点 C 关于抛物线 y=x2+bx+c 对称轴的对称点为 E 点，联结 BC， BE，求CBE 的正切值； （ 3）点 M 是抛物线对称轴上一点，且 DMB 和 BCE 相似，求点 M 坐标 25 （ 14 分）如图，已知四边形 ABCD 是矩形， cot ADB= ， AB=16点 E 在射线 BC 上，点 F 在线段 BD 上，且 DEF= ADB （ 1）求线段 BD 的长； （ 2）设 BE=x， DEF 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出函数
9、定义域； （ 3）当 DEF 为等腰三角形时，求线段 BE 的长 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1 D 【解答】 解：在 Rt ABC 中， C=90， cotA= ， BC=2， A=， AC=2cot， 故选 D 2 C 【解答】 解： A、 y=x21 中，当 x=0 时， y=1，不过原点； B、 y=（ x+1） 2 中，当 x=0 时， y=1，不过原点； C、 y=x2+x 中，当 x=0 时， y=0，过原点； D、 y=x2x1 中，当 x=0 时， y=1，不过原点； 故选： C 3 A 【解答】 解：在相同时刻，物高与
10、影长组成的直角三角形相似， 1.5： 2=教学大楼的高度： 60， 解得教学大楼的高度为 45 米 故选 A 4 B 【解答】 解： A、 ， ，则 、 都与 平行，三个向量都互相平行，故本选项错误； B、 表示两个向量的模的数量关系，方向不一定相同，故不一定平行，故本选项正确； C、 = ，说明两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误； D、 = ， = ，则 、 都与 平行，三个向量都互相平行，故本选项错误； 故选： B 5 C A B C D 【解答】 解： AD BC = ，故 A 正确； CD BE， AB=CD， CDF EBC = ，故 B 正确； AD BC， AEF EBC
11、= ，故 D 正确 C 错误 故选 C 6 B 【解答】 解： BE、 CF 分别是 AC、 AB 边上的高， AEB= AFC=90， A= A， AEB AFC， = ， = ， A= A， AEF ABC， AEF 与 ABC 的周长比 =AE： AB， cosA= = ， AEF 与 ABC 的周长比 =AE： AB=1： 3， 故选 B 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7 【解答】 解： = ， b= a， = = 故答案为： 8 【解答】 解：（ 3 ） （ +2 ） = 3 2 ） = 故答案是： 9 k 1 【解答】 解： y=（ k1） x2
12、+3x 的开口向下， k1 0，解得 k 1， 故答案为： k 1 10 y=（ x4） 2 【解答】 解：由 “左加右减 ”的原则可知，将 y=x2 向右平移 4 个单位，所得函数解析式为： y=（ x4） 2 故答案为： y=（ x4） 2 11 8 【解答】 解：在 ABC 中， C=90， sinA= ， BC=6， sinA= ，即 = ， 解得： AB=8， 故答案为： 8 12 DF= 【解答】 解： AC： CE=3： 5， AC： AE=3： 8， AB CD EF， ， BD= ， DF= ， 故答案为： 13 y1 y2 【解答】 解：当 x=2 时， y1=x2+1=3
13、； 当 x=5 时， y2=x2+1=24； 3 24， y1 y2 故答案为： 14 x=2 【解答】 解： 抛物线 y=ax2+bx+c 过（ 1， 1）和（ 5， 1）两点， 对称轴为 x= =2， 故答案为： x=2 15 2 【解答】 解：在 ABC 中， AB=AC， AD BC， AD= =3， 中线 BE 与高 AD 相交于点 G， 点 G 为 ABC 的重心， AG=3 =2， 故答案为： 2 16 5+5 【解答】 解：作 CF AB 于点 F 根据题意可得：在 FBC 中，有 BF=CE=5 米 在 AFC 中，有 AF=FCtan30=5 米 则 AB=AF+BF=5+
14、5 米 故答案为： 5+5 17 【解答】 解：设 CE=x，连接 AE， DE 是线段 AB 的垂直平分线， AE=BE=BC+CE=3+x， 在 Rt ACE 中， AE2=AC2+CE2，即（ 3+x） 2=42+x2， 解得 x= 故答案为： 18 4 【解答】 解：在 ABC 中， ACB=90， AB=9， cosB= ， BC=ABcosB=9 =6， AC= =3 把 ABC 绕着点 C 旋转，使点 B 与 AB 边上的点 D 重合，点 A 落在点 E， ABC EDC， BC=DC=6， AC=EC=3 ， BCD= ACE， B= CAE 作 CM BD 于 M，作 CN
15、AE 于 N，则 BCM= BCD， ACN= ACE， BCM= ACN 在 ANC 中， ANC=90， AC=3 ， cos CAN=cosB= ， AN=ACcos CAN=3 =2 ， AE=2AN=4 故答案为 4 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19 【解答】 解：原式 = = = = 20 【解答】 解：（ 1） ， ， ，且 ； （ 2）解：如图， 所以，向量 、 即为所求的分向量 21 【解答】 解：（ 1） AC BD， AC=6， BD=4， BEF 和 CEF 同高，且 S BEF： S CEF=2： 3， ， EF BD， ， ， （ 2） AC
16、BD， EF BD， EF AC， BEF ABC， ， S BEF=4， ， S ABC=25 22 【解答】 解：（ 1）连接 AB，作 BG AB 交 AC 于点 G，则 ABG=90 AB CD， BAG= ACD=20， 在 Rt ABG 中， ， BG=2.26， tan20 0.36， ， AB 6.3， 答： A、 B 之间的距离至少要 6.3 米 （ 2）设直线 EF 交 AD 于点 P，作 CQ EF 于点 Q， AE 和 FC 的坡度为 1： 2， ， 设 AP=x，则 PE=2x， PD=8x， EF DC， CQ=PD=8x， FQ=2（ 8x） =162x， 在 R
17、t ACD 中， ， AD=8， ACD=20， CD 22.22 PE+EF+FQ=CD， 2x+EF+162x=22.22， EF=6.22 6.2 答：平台 EF 的长度约为 6.2 米 23 【解答】 证明：（ 1） AC2=CECB， 又 ACB= ECA=90 ACB ECA， ABC= EAC 点 D 是 AB 的中点， CD=AD， ACD= CAD CAD+ ABC=90， ACD+ EAC=90 AFC=90， AE CD （ 2） AE CD， EFC=90， ACE= EFC 又 AEC= CEF， ECF EAC 点 E 是 BC 的中点， CE=BE， BEF= A
18、EB， BEF AEB EBF= EAB 24 【解答】 解：（ 1）抛物线 y=x2+bx+c 经过点 B（ 3， 0）和点 C（ 0， 3） ， 解得 ， 抛物线解析式为 y=x2+2x+3， y=x2+2x+3=（ x1） 2+4， 抛物线顶点 D 的坐标为（ 1， 4） ， （ 2）由（ 1）可知抛物线对称轴为直线 x=1， 点 E 与点 C（ 0， 3）关于直线 x=1 对称， 点 E（ 2， 3） ， 过点 E 作 EH BC 于点 H， OC=OB=3， BC= ， ， CE=2， ， 解得 EH= ， ECH= CBO=45， CH=EH= ， BH=2 ， 在 Rt BEH
19、中， ； （ 3）当点 M 在点 D 的下方时 设 M（ 1， m） ，对称轴交 x 轴于点 P，则 P（ 1， 0） ， BP=2， DP=4， ， ， CBE、 BDP 均为锐角， CBE= BDP， DMB 与 BEC 相似， 或 ， ， DM=4m， ， ， ， 解得， ， 点 M（ 1， ） ，则 ， 解得 m=2， 点 M（ 1， 2） ， 当点 M 在点 D 的上方时，根据题意知点 M 不存在 综上所述，点 M 的坐标为（ 1， ）或（ 1， 2） 25 【解答】 解：（ 1）四边形 ABCD 是矩形， A=90， 在 Rt BAD 中， ， AB=16， AD=12 ； （ 2
20、） AD BC， ADB= DBC， DEF= ADB， DEF= DBC， EDF= BDE， EDF BDE， ， BC=AD=12， BE=x， CE=|x12|， CD=AB=16 在 Rt CDE 中， ， ， ， ，定义域为 0 x 24 （ 3） EDF BDE， 当 DEF 是等腰三角形时， BDE 也是等腰三角形， 当 BE=BD 时 BD=20， BE=20 当 DE=DB 时， DC BE， BC=CE=12， BE=24； 当 EB=ED 时， 作 EH BD 于 H，则 BH= ， cos HBE=cos ADB， 即 ， 解得： BE= ； 综上所述，当 DEF 时等腰三角形时，线段 BE 的长为 20 或 24 或 像平时有价值的升学文章，像自招、校园开放日消息、历年中考分数线，那些文章我都放在公众号菜单栏那个按钮上的专题那里了，还有什么细化的升学问题，你们可以关注公众号给我留言，我看到会第一时间回复你们的。 小编编
