1、第四章 三角函数总 第 1 教时4.1-1 角的概念的推广（1）教学目的：1、推广叫的概念，引入正角、负角、零角；象限角、坐标上的角的概念；终边相同角的表示方法。2、让学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角” “负角” “象限角”“终边相同的角”的含义，以及相应的表示方法。3、从“射线绕其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化的观点审视事物；通过与数（轴）的类比，理解“正角” “负角” “零角，让学生感受图形的对称美、运动美。教学重点：1、理解并掌握正角、负角、零角、象限角的定义；2、掌握总边相同角的表示方法及判定。教学难点：把终边相同角用集合和符号语言正确的表示出来。过程：一
2、、提出课题：“三角函数” 回忆初中学过的“锐角三角函数”它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数” ，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。二、角的概念的推广1 回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”2 讲解：“旋转”形成角（P4）突出“旋转” 注意：“顶点” “始边” “终边”“始边”往往合于 轴正半轴 x3 “正角”与“负角”这是由旋转的方向所决定的。记法：角 或 可以简记成4 由于用“旋转”定义角之后，角的
3、范围大大地扩大了。1 角有正负之分 如： =210 =150 =6602 角可以任意大实例：体操动作：旋转 2 周（3602=720） 3 周（3603=1080 ）3 还有零角 一条射线，没有旋转三、关于“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点，角的始边合于 轴的正半轴，这样一来，角x的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30 390 330是第象限角 300 60是第象限角585 1180是第象限角 2000是第象限角等四、关于终边相同的角 1观察：390 ， 330角，它们的终边都与
4、30角的终边相同2终边相同的角都可以表示成一个 0到 360的角与 个周角的和)(Zk390=30+360 )1(k330=30360 30=30+0360 )0(k1470=30+4360 )4(k1770=305360 53所有与终边相同的角连同 在内可以构成一个集合ZkS,360|即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和4 （P6 例 1）例 1 在 0到 360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角(1)-120；(2)640 ；(3)-95012解：(1)-120=240-360，所以与-120 角终边相同的角是 240角，它是第三象限角；(2
5、)640=280+360，所以与 640角终边相同的角是 280角，它是第四象限角；(3)-95012=12948-3360，所以与-950 12角终边相同的角是 12948，它是第二象限角 （P5）五、小结： 1 角的概念的推广 ,用“旋转”定义角 角的范围的扩大2“象限角”与“终边相同的角”六、作业： P7 练习 1、2、3、4习题 1.4 1 总 第 2 课时 4.1-2 角的概念的推广(2)教学目的：1、进一步理解角的概念，能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；2、能进行角的集合之间的交与并运算；3、讨论等分角所在象限问题。教学重点与难点：1、角的集合之间的交与并运算；2、判断等分
6、角的象限。过程：一.复习、作业讲评.二.新课：例一、 （P6 例 2） 写出终边在 y 轴上的角的集合(用 0到 360的角表示) 解：在 0到 360范围内，终边在 y 轴上的角有两个，即 90，270角(图 4-4)因此，所有与 90角终边相同的角构成集合S1=|=90+k360，kZ= | =90 +2k180，kZ，而所有与 270角终边相同的角构成集合S2=|=270+k360，kZ =|=90+180+2k 180，kZ =|=90+(2k+1)180，kZ，于是，终边在 y 轴上的角的集合S=S1 S2=|=90+2k180，kZ |=90+(2k+1)180，kZ=|=90+1
7、80的偶数倍 |=90+180的奇数倍=|=90+180的整数倍=| =90 +n180，nZ例二、 （P6 例 3） 、写出与下列各角终边相同的角的集合 S,并把 S 中适合不等式 -360720 的元素 写出来：(1)60 (2)-21 (3)36314解：(1)S=|=60+k360，kZS 中适合-360720的元素是60-1360=-300，60+0360=60，60+1360=420(2)-21不是 0到 360的角，但仍可用上述方法来构成与-21角终边相同的角的集合，即S=|=-21+k360，kZS 中适合-360720的元素是-21+0360=-21，-21+1360=339
8、，-21+2360=699(3)S=|=36314+k360，kZS 中适合-360720的元素是36314-2360=-35646，36314-1360=314，36314+0360=36314例三、用集合表示：（1）第二象限的集合；（2）终边落在 y 轴右侧的角的集合。解：（1）因为在 0o360o 范围内，第二象限角的范围为 90o 0180o，而与每个 0角终边相同的角可记为 o+k360o,(k Z),故该范围内每个角适合90o+k360o 090o+k360o,(k Z)所以第二象限的集合为 |-90o+k360o 90o+k360o,k Z。（2）因为在-180 o180o 范围
9、内，y 轴右侧的角的范围为-90 o 0+90o，而与每个 0角终边相同的角可记为 o+k360o,(k Z),故该范围内每个角适合 -90o+k360o 0180o+k360o,(k Z)所以第二象限的集合为 |90o+k360o 180o+k360o,k Z。说明：特殊位置（或给定区域内）的角的集合的表示过步骤:1) 在 0o360o 范围内，找到特殊位置（或给定区域内）的角并记为 0；然后写出与上述终边相同角的集合(二)习题 4.1 .5(1)已知 是锐角,那么 2 是 ( )(A)第一象限角. (B)第二象限角.(C)小于 180 的角. (D)不大于直角的角.三.练习：课本第 7 页
10、练习 5, 习题 4.1 .5(2)四.作业：习题 4.1. 3 (2)、(4)、(6) 、(8) , 4总 第 3 教时4.2-1 弧度制（1）教学目的：1、理解 1 弧度的角及弧度的定义，掌握弧度制与角度制互化，并能熟练的进行角度与弧度的换算；熟记一些的数角的弧度数。并进而建立角的集合与实数集 一一对应关系的概念。R2、通过弧度制的学习，使学生认识到角度与弧度都是度量角的制度，二者虽单位不同，但却是相互联系、辩证统一的；在弧度制下角的加、减运算可以象十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的转化，化简了六十进制给角的加减、运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简洁美。教学重点：使学生理解
11、弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。教学难点：1、弧度制的概念及其与角度的关系，2、角的集合与实数集 一一R对应关系。过程：一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制角度制的定义。二、提出课题：弧度制另一种度量角的单位制，它的单位是 rad 读作弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角。如图：AOB=1rad ，AOC=2rad 周角=2 rad 1正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是 0；2 角的弧度数的绝对值 （ 为弧rl长， 为半径）r3用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是 0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也
12、不同。三、角度制与弧度制的换算抓住：360 =2rad 180 = rad 1 = radrad01745.883.例一 把 化成弧度067解： 213 radrad83216780367例二 把 化成度rad5解： 180注意几点：1度数与弧度数的换算也可借助“计算器” 中学数学用表进行；2今后在具体运算时， “弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3 表示 3rad sin表示rad 角的正弦3一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本 P9表）4应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。任意角的集合 实数集
13、 R四、练习（P11 练习 1、 2）例三 用弧度制表示：1终边在 轴上的角的集合 2终边在 轴上x y的角的集合 3终边在坐标轴上的角的集合解：1 终边在 轴上的角的集合 xZkS,|12终边在 轴上的角的集合 y ,2|23终边在坐标轴上的角的集合 ZkS,|3五、 小结：1弧度制定义 2与弧度制的互化六、作业： 课本 P11 练习 3、4 P12 习题 4.2 2、3总 第 4 教时4.2-2 弧度制（2）教学目的：1、加深学生对弧度制的理解，理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活的在具体应用中运用弧度制解决具体的问题。2、通过弧度制与角度制的比较使学生认识到映入弧度制的优
14、越性，激发在学生的学习兴趣和求知欲望，培养良好的学习品质。教学重点:弧度制下的弧长公式，扇形面积公式及其应用。教学难点：弧度制的简单应用。1、过程：一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。 口答二、由公式： 比相应的公式 简单rlrl 180rnl弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积正角零角负角正实数零负实数例一 （课本 P10 例三） 利用弧度制证明扇形面积公式 其中 是扇lRS21l形弧长， 是圆的半径。R证： 如图：圆心角为 1rad 的扇形面积为： 2弧长为 的扇形圆心角为lradRl lRS21比较这与扇形面积公式 要简单3602n扇例二 直径为 20cm 的圆
15、中，求下列各圆心所对的弧长 34165解： ： cmr10 )(341cmrl ： radr126580)(6512cl例三 如图，已知扇形 的周长是 6cm，该扇形AOB的中心角是 1 弧度，求该扇形的面积。解：设扇形的半径为 r，弧长为 ，则有l 扇形的面积2162lrl 2)(1cmrlS例四 计算 4sin5.tan解： 524sii5789130.71.5rad 2458tnt例五 将下列各角化成 0 到 的角加上 的形式)(2Zk 31931解： 6240451oRS loA BR=4560例六 求图中公路弯道处弧 AB 的长 （精确到 1m）l图中长度单位为：m解： 360 )(
16、4715.4mRl 三、练习：P11 6、7 、 8、9、10四、作业： 课本 P11 -12 P12-13 习题 4.2 514总 第 5 教时4.3-1 任意角的三角函数（定义）教学目的：1、生掌握任意角的三角函数的定义，熟悉三角函数的定义域及确定方法；2、理解角与=2k +(kZ)的同名三角函数值相等的道理。重点难点：三角函数的定义域及确定方法，终边相同角的同名三角函数值相等。过程：一、提出课题：讲解定义：1设是一个任意角，在 的终边上任取（异于原点的）一点 P（x,y）则 P 与原点的距离 （见图 4-10）022yxyxr2比值 叫做的正弦 记作： ry rysin比值 叫做的余弦
17、记作： x xco比值 叫做的正切 记作： y yta比值 叫做的余切 记作： x xcot比值 叫做的正割 记作： xr xrse比值 叫做的余割 记作： yr yrcs注意突出几个问题： 角是“任意角” ，当=2k+(kZ)时，与的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。 （下面有例子说明）三角函数是以“比值”为函数值的函数 ，而 x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函0r数的符号应由象限确定（今后将专题研究）定义域：tancosiy )(2ZkRcseoty)(2Zk二、例题：例一 已知的终边经过点 P(2,3)
18、，求 的六个三角函数值解： 13)(2,3,22ryxsin= cos=1tan= cot=2332sec= csc= 1例二 求下列各角的六个三角函数值 0 23解： 的解答见 P16-17 当= 时 ryx,0sin =1 cos =0 tan 不存在 cot =0222sec 不存在 csc =1 例三 求函数 的值域xytancos解： 定义域：cosx0 x 的终边不在 x 轴上 又tanx0 x 的终边不在 y 轴上当 x 是第象限角时， cosx=|cosx| tanx=|tanx| y=20,x, |cosx|=cosx |tanx|=tanx y=2, |cosx|=cosx
19、 |tanx|=tanx y=00,yx例四 已知角的终边经过 P(4,3),求 2sin+cos的值已知角的终边经过 P(4a,3a),(a0)求 2sin+cos的值 解：由定义 ： sin= cos= 2sin+cos=5r35452若 则 sin= cos= 2sin+cos=0a若 则 sin= cos= 2sin+cos=ar三、小结：定义及有关注意内容四、作业： 课本 P19 练习 1 P20 习题 4.3 3 总 第 6 教时4.3-2 三角函数线教学目的：1、理解有向线段的概念、正弦线、余弦线、正（余）切线。2、要求学生掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数
20、的定义域、值域有更深的理解。过程：一、复习三角函数的定义，指出：“定义”从代数的角度揭示了三角函数是一个“比值”二、提出课题：从几何的观点来揭示三角函数的定义：用单位圆中的线段表示三角函数值三、新授：2 介绍（定义） “单位圆”圆心在原点 O，半径等于单位长度的圆3 作图：（图 4-12 ）设任意角的顶点在原点，始边与 轴的非负半轴重合，角的x终边也与单位圆交于 P，坐标轴正半轴分别与单位圆交于 A、B 两点过 P(x,y)作 PMx 轴于 M，过点 A(1,0)作单位圆切线，与角的终边或其反向延长线交于 T，过点 B(0,1)作单位圆的切线，与角的终边或其反向延长线交于 S4 简单介绍“向量
21、” （带有“方向”的量用正负号表示）“有向线段” （带有方向的线段）方向可取与坐标轴方向相同，长度用绝对值表示。例：有向线段 OM，OP 长度分别为 yx,当 OM=x 时 若 OM 看作与 x 轴同向 OM 具有正值 x0x若 OM 看作与 x 轴反向 OM 具有负值 x5 MPyr1sin有向线段 MP,OM,AT,BS 分Oxco别称作 角的正弦线,余弦线,正切线,ATytan余切线 BSOMPyxcot四、例题：例一利用三角函数线比较下列各组数的大小：1 与 2 tan 与 tan 3 cot 与 cot 32sin54i 354254解：如图可知：， siitan tan 3254cot cot3254例二 利用单位圆寻找适合下列条件的 0到 360的角1 sin 2 tan3解： 1 230150 30 90或 210 270例三、求证：若 时，则 sin1 sin2201证明： 分别作 1,2的正弦线 x 的终边不在 x 轴上 sin1=M1P1 sin2=M2P2 02M 1P1 M2P2 即 sin1 sin2五、小结：单位圆，有向线段，三角函数线六、作业： 课本 P15 练习 P20 习题 4.3 2 补充：解不等式：( ) ,0x1sinx 2 tanx 3sin2x2311xyoP1P2xyoTA21030xyoP1P2M1M2
