1、54第五章 大数定理和中心极限定理1一 据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为 100 小时的指数分布，现在随机的抽取 16 只，设它们的寿命是相互独立的，求这 16 只元件寿命总和大于 1920 小时的概率。解：设第 i 只寿命为 Xi， （1i 16） ，故 E (Xi )=100，D (Xi )=1002(l=1,2,16).依本章定理 1 知 8.041610692106)920( 01661 iiiiii PPP.78).(从而 .219078.1)9201920(616 iiii XPXP3三 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近它的整数） ，设所有的取整误差是相互独立的
2、，且它们都在（0.5，0.5）上服从均匀分布，（1）若将 1500 个数相加，问误差总和的绝对值超过 15 的概率是多少？（2）几个数相加在一起使得误差总和的绝对值小于 10 的概率不小于 0.90解：（1）设取整误差为 Xi（ ，1500） ，它们都在（ 0.5, 0.5）上服从均匀,21分布。于是： 05.)(pEi12).(.0iXD18.2550)(,)( ii Xnn151150010iiiiiiXPP5518.5.18.510iiXP02.9.02)34.(2)8某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8，医院检验员任意抽查 100 个服用此药品的病人，
3、如果其中多于 75 人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。 （1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是 0.8，问接受这一断言的概率是多少？（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是 0.7，问接受这一断言的概率是多少？解：设 X 为 100 人中治愈的人数，则 XB (n, p)其中 n=100（1） )75(1751)75(1)75( npqnqPP 894.0)()4(（2）p=0.7 由中心极限定理知 )75(1751)75(1)75( npqnpqXPXP .390862.)09.(27七 一复杂的系统，由 100 个互相独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率为
4、0.10。为了整个系统起作用至少必需有 85 个部件工作。求整个系统工作的概率。（2）一个复杂的系统，由 n 个互相独立起作用的部件所组成，每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为 0.90。且必须至少有 80%部件工作才能使整个系统工作，问n 至少为多少才能使系统的可靠性不低于 0.95。解：（1）设每个部件为 Xi (i=1,2,100)部 件 损 坏 不 工 作部 件 工 作01i56设 X 是 100 个相互独立，服从（01）分布的随机变量 Xi 之和X=X1+ X2+ X100由题设知 n=100 P Xi=1=p=0.9, P Xi=0=0.1E (Xi ) =p=0.9D (Xi
5、) =p (1p )=0.90.1=0.09nE (Xi ) =1000.9=90, n D (Xi ) =1000.09=9 )(85)(8510 iiii nXEPP= 39090= 由中心极限定理知351XP352dte查标准正态分布表)(1=(1.67)=0.9525解：（2）设每个部件为 Xi (i=1,2,n)部 件 损 坏 不 工 作部 件 工 作01iP Xi=1=p=0.9, P Xi=0=1p=0.1E (Xi ) =p=0.9, D (Xi ) =0.90.1=0.09由问题知 求 n=?95.018nii而 nXPnii157)(108)(1iinii XnDppXP=
6、 nnXPnii 3.09183.091=1 由中心极限定理知nnXPnii 3.09183.091= 95.3.013.01nn查标准正态分布表得 645.解得 n24.35取 n=25，即 n 至少为 25 才能使系统可靠性为 0.95.八 随机地取两组学生，每组 80 人，分别在两个实验室里测量某种化合物的 PH值，各人测量的结果是随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为 5，方差为 0.3，以 分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均：YX,（1）求 P 4.9 （2） 1.51.01.0YXP解：由中心极限定理知N (0,1) N (0,1)3.08801iiU3.085
7、801jV（1） 3.0851.53.083.0859.41.59.4 1iiXPXP58896.0194.21)63.(2.12458063.1801 iiXP（2）由 Xi , Yj 的相互独立性知 独立。从而 U，V 独立。8011jiiYX与于是 U VN (0, 2)而 24801801jiiZ 3.0813.083.081.01.0 801801jiiYXPYXP1)5.(26.126.1.63.1 Z=20.87491=0.7498九 某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望 （未知） ，方差 2=400 为了估计 ，随机地取几只这种器件，在时刻 t=0 投入测试（设测试是相互独立的）直到失败，测得其寿命 X1， Xn，以 作为 的估计，为使niiX1问 n 至少为多少？,95.0|P解：由中心极限定理知，当 n 很大时 )1,0(221NXnnii 22222| nnnnPXP59= 95.012n所以 7.查标准正态分布表知 64.153920n即 n 至少取 1537。
