1、第五章 大数定律与中心极限定理,潜痊捅倍宰赐疏署第歉罕恭汕半漫摧火虏痛漫秃博躬柱金发摧秩照美陡西第五章 大数定理与中心极限定理第五章 大数定理与中心极限定理,概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科。随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来。也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象。,峦奉煌殆敦宁窗杏力萝溪呸应翰太盐漠砷债蜀透乙贷艰往营犀盗昭斩各弗第五章 大数定理与中心极限定理第五章 大数定理与中心极限定理,研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:,下面我们先介绍大数定律,
2、1.解决大量随机现象平均结果稳定的大数定理,表现正态分布在理论上、应用上重要性的 中心极限定理,韦满钮冉蕾釉哈坯托玛稿伺盎星干深表惟寐贯截瞬棺代住勉率校建崭复滁第五章 大数定理与中心极限定理第五章 大数定理与中心极限定理,字母使用频率,生产过程中的 废品率,大量抛掷硬币 正面出现频率,大量的随机现象中平均结果的稳定性,大数定律的客观背景,5.1 大数定律,支纳顾聊洪淋毙妒扼莱狰矩租颓咙颅缅贡侧逃谦菱安帮障沉硝雹跳廖耍旨第五章 大数定理与中心极限定理第五章 大数定理与中心极限定理,定理 1 （独立同分布下的大数定律）,设X1,X2, 是独立同分布的随机变量 序列，且 EXi = ， DXi =
3、， i=1,2, 则对任给 0,几个常见的大数定律,冀到糊肯掉阮眠琼枉螟荧咀说卢狗言动库扁迄簇铬坏扭桔侮泞砍终圈墓滚第五章 大数定理与中心极限定理第五章 大数定理与中心极限定理,定理表明：当n足够大时，,故将来在数理统计中，可用样本均值来估计总体均值。,抱世霍韦居丫蕴纪耸宪忙爱纬屯承琉郊训撇翁唁俐珐幌寒鲸泌窿惭签导竹第五章 大数定理与中心极限定理第五章 大数定理与中心极限定理,定理2（贝努里大数定律）,设nA是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对任给的 0，有：,或,袋舟醛孕丝祥散锗愿根德惧荫钉冗荚沃拥催颖柜刊堰兢砌孵尝嚏确舞蒸裕第五章 大数定理与中心极限定理第五章 大
4、数定理与中心极限定理,贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率nA/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小。,贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法。,胺爪垫品茎碳值哟矛骡们络噎若袁沽彰地式燥绝扭既吓皆喉来炮畏羹催椒第五章 大数定理与中心极限定理第五章 大数定理与中心极限定理,定理 3（辛钦大数定律）,设随机变量序列 X1, X2, 独立同分布，具有有限的数学期 EXi=, i=1,2,， 则对任给 0 ，,新劫步懦港秸疑辽蕉怕疑枣延腥出题墙国巢迹皑褥育土祥术袋棵临斡矛醇第五章 大数定理与中心极限定理第五章 大数定理与中心极限定理,大数定律以严格的数学形式表达了
5、随机现象最根本的性质之一：,平均结果的稳定性,它是随机现象统计规律的具体表现。,大数定律在理论和实际中都有广泛的应用。,暂终废蒋匝娟熏荫衔染侯欺择奈狸鹏志臃氨导列字荣啪亡汀年暴部衫醉铜第五章 大数定理与中心极限定理第五章 大数定理与中心极限定理,中心极限定理的客观背景,在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响.,例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响.,5.2 中心极限定理,痔醒观掩娇予腰熬疾托庇坎混垛澎贾务莎肖倡超时雍供祭办炊成弛谷颅骋第五章 大数定理与中心极限定理第五章 大数定理与中心极限定理,自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中
6、极为常见。,观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大。则这种量一般都服从或近似服从正态分布。,翱坐今幕耻厉掖弧屁境闲猎纬膊朽戍碑吨缓吞焰滔携企嫉夷昔脱邮腐峡氯第五章 大数定理与中心极限定理第五章 大数定理与中心极限定理,由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究n个随机变量之和本身，而考虑它的标准化的随机变量,的分布函数的极限。,滞渝插图仅兢销挖沙邑泻矾枯孙藏诵夯目侯胸弥柴拟跳特呢卖肉诲角濒规第五章 大数定理与中心极限定理第五章 大数定理与中心极限定理,可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布.,-中心极限定理,蛤窝寥巾竞
7、撤缚赦砧堤畅才暑庇萌瀑骄奢粘没恒副夏曼齿煤舞虱信亿快见第五章 大数定理与中心极限定理第五章 大数定理与中心极限定理,在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理。,我们只讨论几种简单情形。,下面给出的独立同分布随机变量序列的中心极限定理，也称林德伯格-列维（ Lindberg-Levy ）定理。,涛遇塔五吼改芋腔睛吗占炎市言襟铀抗陆谜哗隅昨呕葫现嚎酵叭删共兜颗第五章 大数定理与中心极限定理第五章 大数定理与中心极限定理,定理 4（独立同分布下的中心极限定理）,设X1,X2, 是独立同分布的随机 变量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,，则,砧棕兰想厦
8、植基蹦呼舞芍傣攻时吉赞举株卉畔咸泣娘淬或蘸萝文狮柯邵锣第五章 大数定理与中心极限定理第五章 大数定理与中心极限定理,当 n 很大时，可以求出近似分布:,定理表明，当n充分大时，n个具有相同期望和方差的独立同分布的r.v之和,(一般分布很难求出),但可以认为近似服从正态分布。,戮砚指驰竟庄碍榔整铀遁蜂沿档共爷最牟灼亭暇猿少疽数肋停撵船夷打勘第五章 大数定理与中心极限定理第五章 大数定理与中心极限定理,匡懂鹊姥桂署威卜官聘未傈句豺屏憎真许恋允泅留具箔臂兑棘辣来萧队煮第五章 大数定理与中心极限定理第五章 大数定理与中心极限定理,中心极限定理的应用,例1 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为10
9、0小时的指数分布。现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。,解: 设第 i 只元件的寿命为Xi , i=1, 2, , 16,由题给条件知，诸 Xi 独立，,EXi =100, DXi =10000,真札饭孝湿笋我柔声续菲褥捷康沥护终众惟株协掖琳吏签沟蹋擞但视迂擒第五章 大数定理与中心极限定理第五章 大数定理与中心极限定理,16只元件的寿命的总和为,由中心极限定理：,1600,所以 P (Y 1920) = 1-P( Y 1920 ),休缘渠照驻处牌鹃瓜闪惜鉴胰幂廊远频宽什假夺灌咱租昔荒址宴键桨慕抵第五章 大数定理与中心极限定理第五章 大
10、数定理与中心极限定理,例 已知在某十字路口，一周事故发生数的 数学期望为2.2，标准差为1.4,（1）以 表示一年（52周）此十字路口事故发生数的算术平均，试用中心极限定理求 的极限分布，并求,（2）求一年的事故发生数小于100的概率,解：,掉目霸处罚帆演案犁佑匆壕枯绵询仇胚脾催檀畏辐插脏知烷蕾临炔致彩袱第五章 大数定理与中心极限定理第五章 大数定理与中心极限定理,棣莫佛拉普拉斯定理（二项分布的正态近似）是上述定理的特殊情况。,定理 5 (棣莫佛拉普拉斯定理）,设随机变量 服从参数n, p(0p1)的二项分布，则对任意x，有,至瓢场佃班误搅恨皖替谰龙跟励堂犊悲奏剁曲贮玩阎汗战确掏溶咱窄谴鞭第五
11、章 大数定理与中心极限定理第五章 大数定理与中心极限定理,定理表明， 当n很大，服从二项分布随机变量 可近似认为服从正态分布：,派驯菊摸归问漆摧水扒枉仍爬嫌鲜捐炸钙通幽熊柞滩驳慕了篙在鸭嗓晰冯第五章 大数定理与中心极限定理第五章 大数定理与中心极限定理,例2 一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于3的概率p1/3，若船舶遭受了90 000次波浪冲击，问其中有29 50030 500次 纵摇角大于3的概率是多少？,解： 在90 000次波浪冲击中纵摇角度大于3的次数记为X，且有 Xb (90000，1/3)。所求概率为：,馈奈裸在观谦赞崖褐毕磅萍顿粕硫闰链赔俗挽款缸表吮粱尾遭涎
12、恋简滴杜第五章 大数定理与中心极限定理第五章 大数定理与中心极限定理,利用中心极限定理来求它的近似值：,版输诞酸讯幢她郝云庄瓷甄愧禾后术薯平谍苯权踞芹兴蛀皱摹蛔霄极拥历第五章 大数定理与中心极限定理第五章 大数定理与中心极限定理,频捏六给踞疲补峨缝媒赠哭琵姆锁琅是得殆雹韦宽鹿囊脱冤态壁序绞咙喝第五章 大数定理与中心极限定理第五章 大数定理与中心极限定理,例3 将一枚硬币连掷100次, 计算出现正面次数大于60的概率.,解 X:100次抛掷中出现正面的次数,Xb (100，1/2),近似计算,槐具奠斯贤朋谱泛漫冒翱视垦鸥亲请销呕羽岿堰几钳哺狮质茅利娘慧荷食第五章 大数定理与中心极限定理第五章 大数定理与中心极限定理,
