1、第五章 大数定律和中心极限定理习题讨论,5.1 大数定律,5.2 中心极限定理,制作人：刘勇,1 设每次试验中某事件,发生的概率为0.8，请用切比雪夫不等式估计：,需要多大，才能使得在,次重复独立试验,发生的频率在0.790.81之间的,中事件,概率至少为0.95？,1 解 设,表示,次重复独立试验中事件,出现的次数，则,出现的频率为,则,由题意得,可见做32000次重复独立试验中,发生的频率在0.790.81之间的概率,至少为0.95.,可使事件,续,2 设,为相互独立的随机变量序列，且,试证,服从大数定律,2 证明：随机变量的数字特征为,，,，,，,对于任意给定的正数,，由切比雪夫不等式知
2、,所以,服从大数定律,续,3 设,是独立同分布的随机变量序列，,都服从U(a，b)（a0），任给n，,3 证明：任给,，且,则当axb时，有,当,时，有,当,时，有,任给,，有,若,，则,故,若,续,所以任给,，有,，,续,4 某灯泡厂生产的灯泡的平均寿命为2000h， 标准差为250h现采用新工艺使平均寿命提高 到2250h，标准差不变为确认这一改革成果， 从使用新工艺生产的这批灯泡中抽取若干只来 检查若检查出的灯泡的平均寿命为2200h， 就承认改革有效并批准采用新工艺试问要 使检查通过的概率不小于0.997，应至少检查 多少只灯泡？,4 解 记,则,记,检查灯泡的总寿命，则,，,则通过检
3、查的概率为：,即,因此，要使检查通过的概率不小于0.997， 应至少检查190只灯泡,续,5 计算机在进行数值计算时，遵从四舍五入的原则 为简单计，现对小数点后面第一位进四舍五入运 算，则误差可以认为服从均匀分布U-0.5，0. 若在一项计算中进行了100次数值计算求平均 误差落在区间,上的概率,记,则,记S=100次计算产生的误差,则,根据中心极限定理得：,S=,5 解,6 设每箱装1000+a个产品，次品率为0.014， 次品数X为一随机变量试求最小整数a，使,6 解 随机变量X服从二项分布B(1000+a，0.014)，由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理有,查表得,所以,可得,续,7 某大型商
4、场每天接待顾客10000人，设每位顾客的消费额（元）在100，1000 上服从均匀分布，且顾客的消费额是相互独 立的，求该商场的销售额在平均销售额上下波动 不超过20000元的概率,7 解 设第k位顾客的消费额为,商场日销售额为X，则,因为,在,上服从均匀分布，所以,日平均销售额和销售额方差分别为：,续,续,8 在一次空战中，双方分别出动50架轰炸机和 100架歼敌机每架轰炸机受歼敌机攻击，这样 空战分离为50个一对二的小单元进行在每个小 单元内，轰炸机被打下的概率为0.4，两架歼敌 机同时被打下的概率为0.2，恰有一架歼敌机被 打下的概率为0.5试求： （1）空战中，有不少于35%的轰炸机被打下的概率； （2）歼敌机以90%的概率被打下的最大架数,8 解 设,分别表示在第i个小单元内，,其分布规律分别为：,，,数学期望和方差分别为：,轰炸机和歼击机被打下的架数,续,续,由列维定理知,事件“空战中，有不少于35%的轰炸机被打下”即,则,续,（2）记M为歼击机被打下来的最大架数，则得,因为,为正整数，且,所以取,
