1、1三角求值与解三角形专项训练1 三角公式运用【通俗原理】1三角函数的定义：设 ，记 ， ，(,)PxyOPR2|rPxy则 .sincos,tan(0)xyrr2基本公式： .22ii1,t3诱导公式：4两角和差公式： ，sin()sicosin，co.tanttan()1A5二倍角公式： ，si2icos，2222concs1sin.2tatan16辅助角公式： ，2sicssi()bb其中 由 及点 所在象限确定.ta,)a ，2sincossincos()ab其中 由 及点 所在象限确定.tab(,)【典型例题】1已知 ，证明： .Rsin()cos222若 ， ，求 的值.(0,)ta
2、n2sinco3已知 ， ，求 的值.sin()11sin()2tan4求 的值.cos15tan5证明： .3cos4sco【跟踪练习】31已知 ，求 的值.3sin()5cos()62若 ，求 的值.1sin2tan三角求值与解三角形专项训练2. 解三角形1三角形边角关系：在 中， 的对边分别为 ， ；ABC ,abcABC若 ，则 ；等边对等角，大边对大角.abcabc2正弦定理： ( 是 外接圆的半径).2sinisinRABC变形： ， .R,si3余弦定理： .变形： ，其他同理可得.2222cosabacC 22cobca4三角形面积公式： .11inisin2ABCSbAB5与
3、三角形有关的三角方程： 或 ；sB2 .cos6与三角形有关的不等式： .iicosa7解三角形的三种题型：知三个条件(知三个角除外) ，求其他 (角、边、面积、周长等)；知两个条件，求某个特定元素或范围；知一边及其对角，求角、边、周长、面积的范围或最值.4【典型例题】1在 中，若 ，试判断 的形状.ABC cosaAbBAC2在 中，证明： . sinicosBB3在 中， ， ， ，求角 的大小.ABC 1a6A3bC4在 中， ， ，求角 的大小.ABC 2caA5在 中， ，求角 A 的大小.ABC sin3coaCA56在 中， ， .ABC 3c(I)求 面积的最大值；(II)求
4、周长的取值范围.【跟踪练习】1在 中， ，求角 .BCA(sin)()sin)aBcbCB62在 中， BCA22acba(I)求 的大小；(II)求 的最大值osc3在 中， ， ， .BCA223bcabc2B3b(I)求 边上的中线 的长；D(II)求 的角平分线 的长.AE7参考答案5.1 三角公式【典型例题】1证明：如图，在单位圆中，记 ，xOP，有 ，=2xOQ(,),)PyQ则 ，而 ，sin()xcos .2解法一： ， ，有 ，(0,)2tansin2cos代入 得 ，则 ， ，2sincos1cs5525in .35i解法二： ， ，(0,)2tan (sinco1sico
5、，22in2tan915又 ，有 .sinco035sco3解：由 ， ，i()11in()2得 ，则 ，sncosii 31sico,sin44 .tansiincosco34解： s15(40)s45co0sin4530OyP(x,y)Q(y, x)2x8，231264，tan45t0tan15t(40) A33 .cost265证明： 3cos()cos2sin2213 2cscs(o).4o【跟踪练习】1解： ，且 ，()()6323sin()5 .coscos2解：由 得 ，即 ，1in21incos222sico1n4 ，即 ，解得 .2ta42ta4t0ta3由 得 ，即 .5c
6、os5cos()k55sinsin由 得 ，即 ，2in2in()22coco .45sico95.3 解三角形【典型例题】1解：由 及正弦定理得 ，即 ，cosaAbBsincosicABsin2iAB又 ，有 或 ，即 或 ，,(0,)B22 是等腰三角形或直角三角形.C2证明： ，由 及正弦定理得 ，absisiisiR而函数 在 上单调递减，有 ，()cosfx(,)0()BAffA ，AB .insicosabA3解：由正弦定理得 ，得 iiabBin13i2ba因为 ，所以 ，故 或 1b3当 时， 3B()()62CA当 时， 2B角 为 或 .64解： ， 由正弦定理有 sin
7、C= sinAac22又 C=2A，即 sin2A= sinA，于是 2sinAcosA= sinA， 在ABC 中， sinA0，于是 cosA= ， A = 45解：由条件结合正弦定理得， ，sini3coaaCA从而 ， ，sin3costn ， .0A6解：(I) ，由余弦定理得 ，3,cC22(3)cos3ab ，仅当 时等号成立，23abab10 的面积 ，ABC13sinsi24SabC当 时， 面积的最大值为 ；3abAB(II)由(I) 得 ，即 ，2ab23()3ba ，则 ，即 ，仅当 时等号成立.21)()3ab2()123bab 的周长 ，仅当 时等号成立，ABC 3
8、abca而 ，故 ，abc2 周长的取值范围是 . (,【跟踪练习】1解：由已知以及正弦定理，得 ，即 . ，abcb22acab ，又 ，所以 .221cosabcC0C， 3C2解：(I)由已知得: ， ， ；21os2acbB0BQ23(II)由(I) 知: ，故 ，3A03,所以 ，coscos()csincos2CCC3in()， .30,in()12Q3A3解：(I)由 及余弦定理得 ，bcabc223cosbca又 ， ，则 ，即 ，0,A66CAB11而 ，由 得 ，即 .23bsinisinabcABC23isini66ac2ac是 边上的中线，则 ，ADBC1()2DA ，
9、有 ，221(cos)746cb |7即 边上的中线长为 ；(II)由(I) 得 ， ，又 是 的平分线，2,3cAEBAC由 得 ，ABECBSS 111sinsinsi2226cbbc ，即 ，(31)sin(3)3又 ，16ii()24224 ，即 的角平分线 .6AEBACE125.2 三角函数的图象与性质【通俗原理】1三个基本三角函数的图象与性质 sinyx(1)奇偶性：奇函数，图象关于原点对称；(2)对称性：关于 中心对称，关于(,0)k轴对称；( ，下同)2xkZ(3)周期性：周期为 ；T(4)单调性：在 上递增，,2k在 上递减；2,k(5)最值性：当 时，2xk，max1y当
10、 时， ；2kmax1y(6)有界性：当 时， .Rsin, cosyx(1)奇偶性：偶函数，图象关于 轴对称；(2)对称性：关于 中心对称，(,0)2k关于 轴对称；( ，下同)xZ(3)周期性：周期为 ；T(4)单调性：在 上递减，,k在 上递增；2,2(5)最值性：当 时， ，xkmax1y当 时， ；a(6)有界性：当 时， .xRsin,xt(1)奇偶性：奇函数，图象关于原点对称；(2)对称性：关于 中心对称，不是(,0)2k轴对称图形；( ，下同)Z(3)周期性：周期为 ；T(4)单调性：在 上递增.(,)ktaysinx(1)切线：曲线 在 处的切线sinyx0为 ，曲线 在 处
11、的切xta线也为 ；(2)不等式：当 时，(0,)2，sintax当 时， ，(,)2tnsix当 时， .0sia132函数图象平移与伸缩变换(1)左右平移： ；()()yfxayfxa向 右 平 移 个 单 位同理有如下结果：(2)上下平移： ，即 ；() ()fbf向 上 平 移 个 单 位 ()yfxb说明：当 时， 向右平移 个单位得 ，当 时， 向0ayfxaa0()yfx左平移 个单位得 ；当 时， 向上平移 个单位得| ()0()yfx，()ybfx即 ，当 时， 向下平移 个单位得 ，即0b()yfx|b()ybfx.()yfx(3)横向伸缩： ；1() ()yfxAyfx横
12、 向 伸 长 到 原 来 的 倍(4)纵向伸缩： ，即 .yB纵 向 伸 长 到 原 来 的 倍 ()yBfx说明：当 时，表示伸长，当 时，表示缩短；当 时，表示伸长，当1A01时，表示缩短.0B【典型例题】1已知函数 .()sin2)3fx(1)求 的对称轴及对称中心；(2)求 的单调递增区间及在 上的单调递增区间；()fx0,(3)求 在 上的最大值与最小值，并求出相应的 的值.,2x143把函数 的图象经过怎样的平移与伸缩变换可得到函数 的图()sinfx 1()2cos3gx象？【跟踪练习】1函数 的对称轴是 .|tan2|yx2已知 ， ，函数 ，把 的图象向右平移 个单位得到0(
13、)sin)fx()yfxa一个偶函数 的图象，把 的图象向左平移 个单位得到一个奇函数()ygxya的图象，当 取得最小值时，求 在 上的单调递减区间.()h| ()fx0,23若把函数 的图象向左平移 1 个单位，再把横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标2()xf 12不变)得到函数 的图象，求函数 的解析式.yg()ygx5.2 三角函数的图象与性质15【典型例题】1解：(1)由 得 ，即 的对称轴为 ，232xk12kx()fx21kx由 得 ，即 的对称轴为 ， ；6()f ,06kZ(2)由 得 ，2kxk12x 的单调递增区间为 ，()f,12kZ当 时， ，0,x3x由 或 得 或 ，
14、233012xx 在 上的单调递增区间是 ；()fx,(3)由 得 ，02x当 ，即 时， ，3xmax3()(0)sin2ff当 ，即 时， .212xini()11ff2证明：锐角 中，有 ，即 ，ABC AB02AB又函数 在 上单调递增，有 ，()sinfx(0,)()(ff ，sicosin2同理 ， ，coiBCA .inncosABC3解：方法一(先平移再伸缩 )： ，(i()2fxxcos()2把 代换 得， ，把 代换 得 ，与xacos2ya1A1yxaA1cos3y对比得 ， ，即把 的图象向左平移 个单位，再将横坐标0213aA23aA()sinfx216伸长到原来的
15、倍得 的图象，再将纵坐标伸长到原来的 2 倍得 的图象，31cos3yx 1cos3yx后向上平移 1 个单位得 的图象.()2g方法二(先伸缩再平移)： ，sinco()fxxcs()2把 代换 得 ，xAco()2yA再将 代换 得 ，与 对比得a1sxa1cs()xaA1cos3yx， ，即把 的图象横坐标伸长到原来的 3 倍，再向左1302aA32()sinf平移 个单位得 的图象，再将纵坐标伸长到原来的 2 倍得 的图象，1cos3yx 1cos3yx后向上平移 1 个单位得 的图象.()21g【跟踪练习】1 ， .解：由 得 ，即 的对称轴是 ， .4kxZkx4|tan2|yx4kxZ2解：可得 为偶函数，()sin()gfa为奇函数，hxx ，则 ，1122()akk 12()4k又 ，当 时， 取得最小值 ，这时 ，即 ，0120k| ()sin)4fx由 得 ，由 得 ，,x,4x24x4 在 上的单调递减区间是 .()sin)f ,3解：把 的图象向左平移 1 个单位得 ，再把横坐标缩短为原2xf21()xy17来的 倍(纵坐标不变)得 ，1221221()4xxy .214xgx
