1、2017 届天津市滨海新区高三上学期八校联考（理科）数学试卷（解析版）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数 （ ）2i1+i=A. B. C. D. 1+i 1+i【答案】C【解析】 ,选 C.2i1+i=2i(1i)2 =1+i2. 命题“ ， ”的否定是（ ）xR2x23xA. ， B. ，2x23x 2x23xC. ， D. ，xR2x23x xR2x23x【答案】D【解析】因为 的否定为 ,所以命题“ ， ”的否定是 ， ,选 D.“x,p“ x,p xR2x2=3x xR2x23x3. 函数 ， （其中 ， ， ）的一部分图象如图所示，将函数上的
2、每一个点的纵f(x)=Asin(x+) 0 |0,0)(1) .(2)由函数的周期 求 ,T=2.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 .4. 若 ，且 ，则 的最小值为（ ）xy0x1x2y3 z=3xyA. 6 B. 2 C. 1 D. 不存在【答案】B【解析】 可行域如图，直线 过点（1,1）时 取最小值z=3x-y z=3x-y为 2，选 B.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得
3、.5. 已知直线 ，平面 ， ，那么“ ”是“ ”的（ ）l,m m l/ l/mA. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D6. 已知在 中， ，则 （ ）ABC cos(A4)=210 sin2A=A. B. C. D. 2425 2425 725 725【答案】A【解析】 cos(A4)=210cosA+sinA=151+sin2A=125sin2A=2425选 A.7. 设集合 ， ， ，则 的取值范围为（ ）S=x|x1|+|x+2|5 T=x|xa|4 ST=RA. 或 B. C. D. 或a2 a1 2a1 21【答案】B【解
4、析】 ，所以 ，选 A.S=x|x2,T=a4,a=4 a43a+422a1点睛：形如| x a| x b| c(或 c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(， a，( a， b，( b，)(此处设 a b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x a| x b| c(c0)的几何意义：数轴上到点 x1 a 和 x2 b 的距离之和大于 c 的全体；(3)图象法：作出函数 y1| x a| x b|和 y2 c 的图象，结合图象求解.8. 已知 是定义在 上的奇函数，对任意
5、两个不相等的正数 ，都有 ，记 ，f(x) R x1,x2x2f(x1)x1f(x2)x1x2 0f(x1)x1f(x2)x2所以函数 在 上单调递减，因为 是定义在 上的奇函数，所以 是定义在 上的偶函数，g(x)=f(x)x (0,+) f(x) R g(x) R因此 ， ， a=f(4.10.2)4.10.2=g(4.10.2)g(0.42)g(0.5) c=f(log0.24.1)log0.24.1，即 ，选 A.ab0 ab=1a2+b2ab b=【答案】622【解析】 ，当且仅当 时取等号a2+b2a-b ab= 2所以 1bb= 2b=622(舍 去 622 )14. 已知函数
6、，则函数 的零点个数为_f(x)=2|x1|+3,0x2 g(x)=xf(x)1【答案】6【解析】即研究函数 与 交点个数，作图如下：y=f(x) y=1x有六个交点，即函数 的零点个数为 6g(x)=xf(x)-1点睛：三、解答题 （本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在 中， ， ， .ABC AB= 5 AC=3 sinA=2sinC（1）求 的长；BC（2）求 的值.cos(2C3)【答案】 （1） （2）BC=253+4310【解析】试题分析：（1）由正弦定理得 ，解得 的长；（2）先由余弦定理得 ，再根据同BC=2AB BC cos
7、C角关系得 ，由二倍角公式得 ， ，最后根据两角差余弦公式得 的值.sinC sin2C cos2C cos(2C-3)试题解析：（1）在 中， ，ABC sinA=2sinC BC=2AB=25（2） ，sinC=55 ，sin2C=2sinCcosC=45cos(2C-3)=cos2Ccos3+sin2Csin3=3+431016. 设函数 .f(x)=(sinx+3cosx)cos(2x)tanx（1）求 的最小正周期；f(x)（2）讨论 在区间 上的单调性.f(x) (0,2)【答案】 （1） （2） 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.T= f(x) (0,12) (12,2)【
8、解析】试题分析：（1）先根据诱导公式、二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质得 的最小正周期；（ 2）根据正弦函数性质求 上单调区间，即得 在区间 上的f(x) 0,2) f(x) (0,2)单调性.试题解析：（1）=12sin2x+ 31+cos2x2 =sin(2x+3)+32T=22=（2）令 ，解得 （ ）-2+2k0 x(x+2)ex0得 在区间 ， 上单调递增，在区间 上单调递减.f(x) (-,-2) (0,+) (-2,0)（3）由（2）知，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， .f(x) (-2,0) (0,2) fmin(x)=f(0)=0当
9、 时，不等式 能成立，x-2,2 f(x)2a+1须 ，即 ，故2a+1fmin(x) 2a+10 a-1218. 在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， .PABCD PA ABCDAB/CDABADPA=PBAB:AD:CD=2: 2:1（1）证明 ；BDPC（2）求二面角 的余弦值；APCD（3）设点 为线段 上一点，且直线 平面 所成角的正弦值为 ，求 的值.Q23 PQPD【答案】 （1）见解析（2） （3）23 PQPD=23【解析】试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，表示直线方法向量，再根据向量数量积为零进行证明（2）先利用方程组解得各面法向量，再根据向量数
10、量积求两法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系得二面角 的余弦值；（3）根据共线关系设 点坐标，利用线面角A-PC-D Q得等量关系，解方程可得 的值.PQPD试题解析：以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 ， ， ，A B(2,0,0) D(0, 2,0) P(0,0,2) C(1, 2,0)（1） ， ，BD=(-2, 2,0) PC=(1, 2,-2) BDPC=0BDPC（2） ， ，平面 的法向量为AC=(1, 2,0) AP=(0,0,2) PAC m=( 2,-1,0)， ，平面 的法向量为 .DP=(0,- 2,2) AP=(1,0,0) DPC n=(0,- 2,-1)，二
11、面角 的余弦值为 .cosm,n=mn|m|n|=23 B-PC-D 23（3） ，AQ=AP+PQ=AP+tPDt0,1AQ=(0,0,2)+t(0, 2,-2)=(0, 2t,2-2t)设 为直线 与平面 所成的角 AQ PACsin=|cosAQ,m|=|AQm|AQ|m|=23，解得 （舍）或 .2t32t2+(2-2t)2=233t2=6t2-8t+4 t=2 23所以， 即为所求 .PQPD=2319. 已知数列 ， ， 为数列 的前 项和， ， ， （ ）an bn Sn an n a2=4b1Sn=2an2 nbn+1(n+1)bn=n2+nnN*（1）求数列 的通项公式；an
12、（2）证明 为等差数列；bnn（3）若数列 的通项公式为 ，令 为 的前 项的和，求 .cncn=anbn2,n为 奇 数anbn4，n为 偶 数 Tn cn n T2n【答案】 （1） （2）见解析（3）an=2n T2n=79+12n794n【解析】试题分析：（1）根据和项与通项关系，将条件转化为递推关系式： ，再根据等比数列定义anan-1=2以及通项公式求数列 的通项公式；（2）由等差数列定义知需证 为常数，根据条件anbn+1n+1-bnn代入化简解得（3）先两个合成一组得 ，再利用错位相减法求和得 .nbn+1-(n+1)bn=n2+n (4n-1)4n-1 T2n试题解析：（1）
13、当 时，n1 Sn=2an-2Sn-12an-1-2 an=2an-2an-1anan-1=2当 时， ，n=1 S1=2a1-2a1=2综上， 是公比为 2，首项为 2 的等比数列，an an=2n（2） ， ， ，a2=4b1 b1=1 nbn+1-(n+1)bn=n2+n bn+1n+1-bnn=1综上， 是公差为 1，首项为 1 的等差数列， .bnn bnn=1+n-1bn=n2（3）令 pn=c2n-1+c2n=-(2n-1)222n-12 +(2n)222n4 =(4n-1)22n-2=(4n-1)4n-1 ，得- -3T2n=340+441+442+44n-1-(4n-1)4n
14、-3T2n=3+16-44n1-4 -(4n-1)4nT2n=79+12n-79 4n点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐 ”以便下一步准确写出“ ”的表达式；Sn qSn SnqSn(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解.20. 已知函数 .f(x)=12x2+bx+lnx（1）若函数 在定义域单调递增，求实数 的取值范围；f(x) b（2）令 ， ，讨论函数 的单调区间；g(x)=f(x)bx1+a2x2aR g
15、(x)（3）如果在（1）的条件下， 在 内恒成立，求实数 的取值范围.f(x)x2+12x23x+1 x(0,1 b【答案】 （1） （2）见解析（ 3）b2 2b1【解析】试题分析：（1）即 恒成立，再参变分离得 最大值，利用基本不等式求最值得f(x)0 b-(x+1x)（ 2）先求导数得 ，再根据导函数是否变号进行分类讨论：若 ，导函数不变号，在b-2 g(x)=1x-ax a0单调递增；若 ，导函数先正后负，即先增后减（3）先将不等式恒成立问题转化为对应函数最(0,+) a0值问题： ，其中 ，再利用导数研究得 在 上单调递增，hmax(x)0 h(x)=-12x2- 12x2+bx+3
16、x+lnx-1 h(x) x(0,1即得 ，解得实数 的取值范围.hmax(x)=h(1)=b+1 b试题解析：（1） ，因为 在定义域单调递增，所以 恒成立f(x)=x+b+1x f(x) f(x)0即 x+b+1x0b-(x+1x)而 （当且仅当 时等号成立） ，故 即为所求.x+1x2x1x=2 x=1x b-2（2） ，g(x)=lnx-a2x2g(x)=1x-ax若 ， ，则 在 单调递增a0 g(x)0 g(x) (0,+)若 ，令 ， ， ，a0 g(x)0 ax2-10 即 在 上单调递增，h(x)0 h(x) x(0,1 hmax(x)=h(1)=b+1若 对任意 恒成立，h(x)=-12x2- 12x2+bx+3x+lnx-10 x(0,1则应令 hmax(x)0b-1综上所述， 即为所求.-2b-1
