1、2018届江苏省仪征中学高三10月学情检测 数学理总分（160分） 时长（120分钟）一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70 分 ，请把答案填在答题纸的对应横线上.1、已知集合 2|1,|0AxBx，则 AB=_.2、若复数 12,zii，则 12zi_ _3、已知向量 (,)(,)amb，且ab，则实数 m4、若直线 yx是曲线 lnyx的切线，则实数 的值为5、命题 200:,1pR是 命题（选填“真”或“假”）6、在约束条件 21xy下，则 2()xy的最小值为_ 7、在平面直角坐标系xOy中 ，若直线axy20与圆心为C的圆(x 1) 2(y a) 216相交于A，B两点，
2、且ABC为直角三角形，则实数a的值是8、若实数x 、 y满足log 3x+log3y=1，则 x+ y的最小值为.9、函数yf( x)是定义在R 上的奇函数，当x0，f( x)x2，则不 等式2f( x)10的解集是.10、已知cos ，cos() ，且，(0， )，则cos().13 13 211、如图，在 ABC中，D是BC上的一点.已知B=60 ，AD=2，AC= 10，DC= 2，则AB =.12、设P为有公共焦点 12,F的椭圆 1与双曲线 2C的一个 交点，且12F，椭圆 的离心率为 e，双曲线 的离心率为 2e，若 13e，则 e.13、如图，半径为2 的扇形的圆心角为 120，
3、M，N分别为半径OP，OQ的中点，A 为 APQ上任意一点，则 AMN的取值范围是 14、已知函数21,(0()kxf有两个不相等的零点 12,x，则 12x的最大值为 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15、（本小题满分14分）已知函数 ()2sin()cos3fxx（1 ）若 0 ，求函数 (f的值域；（2 ）设 ABC的三个内角 ,ABC所对的边分别为 ,abc，若A为锐角且 3()2fA， b， 3c，求 cos()的值16、（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 2:40Cxy及点 (1,)
4、A， (,2)B（1 ）若直线 l平行于 AB，与圆 相交于 M， N两点， ，求直线 l的方程；（2 ）在圆 C上是否存在点 P，使得 21APB？若存在，求点 P的个数；若不存在，说明理由17、（本小题满分14分）已知函数 ()logafx, ()2log(2)axxt,其中 0a且 1,tR(1)若 4t,且 1时， Ff的最小值是 2,求实数 a的值；(2)若 0,且 ,4时,有 ()f恒成立,求实数 t的取 值范围.18、（本小题满分16分）如图，一块弓形余布料EMF，点M为弧 EF的中点，其所在圆O的半径为4 dm（圆心O在弓形EMF内） ，EOF = 23将弓形余布料裁剪成尽可能
5、大的矩形ABCD( 不计损耗)， ADEF，且点A、D在弧 EF上，设AOD= （1）求矩形ABCD的面积S关于 的函数关系式；（2）当矩形ABCD的面积最大时，求cos 的值 19、（本小题满分16分）椭圆C ：21(0)xyab的长轴是短轴的两倍，点 1P(3,)2在椭圆上. 不过原点的直线l与椭圆相交于A、B 两点， 设直线OA、l、OB的斜率分别为 1k、 、 ，且 k、 、 2恰好构成等比数列，记O的面积为S.（1 ）求椭圆 C的方程.（2 ）试判断 2B是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？（3 ）求 S的范围 .20、（本小题满分16分）已知 ， 。（1）若 ，且函数
6、 在区间 上单调递增，求实数a的范围；（2）若函数 有两个极值点 ， 且存在 满足 ，令函数，试判断 零点的个数并证明江苏省仪征中学2017-2018学年度第一学期10月学情检测高三数学试卷（）总分（40分） 时长（30分钟）21、（本 小题满分10分）若矩阵 21acM属于特征值3的一个特征向量为 1，求矩阵 M的逆矩阵.22、（本小题满分10分）已知2件次品和a件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出a件正品时检测结束，已知前两次检测都没有检测出次品的概率为.(1) 求实数a的值； (2) 若每检测一件产品需要费用100元，设
7、X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需 要的检测费用(单位：元) ，求X的分布列和数学期望.23、（本小题满分10分）如图，已知长方体ABCDA 1B1C1D1中，AB3，BC2，CC 15，E 是棱CC 1上不 同于端点的点，且 CE CC1 （1）当BEA 1为钝角时，求实数的取值范围；（2）若 ，记二面角B 1A 1BE的的大小为，求|cos |2524、（本小题满分10分）设 i为虚数单位， n为正整数（1）证明： (cosi)cosinnxx；（2）结合等 式“ 1()(1cos)inx”证明：12CsCnnn高三数学试卷（）参考答案：1、x|x 0 ；2、 13i；3、
8、2；4、 e；5、真；6、 ；7、1；8、 23；2559、 5|0x或 ；10、 ；11、 23；12、 ；13、 52， ；14、 94.232715、解：（1） ()sin3cos)fxxxcossin3in()2分由 0x 得， 4233x ， sin(2)13x ， 4分 sin(2)1 ，即函数 )f的值域为 0,26分（2 ）由 3()si)2fA得 sin(2)3A，又由 02， 4， ， 8分在 BC中，由余弦定理 22cos=7abA，得 a10分由正弦定理 siniAB，得 in1sia，ba， ， 27co，cos()ssinABAB127321574 14分16、解：
9、（1）圆 C的标准方程为 2()4xy，所以圆心 (,0)C，半径为 2因为 l ， (1,0)， ,)，所以直线 l的斜率为 21()，设直线 l的方程为 xym， 2分则圆心 C到直线 l的距离为 202md4分因为 2MNAB，而 22()MNCd，所以2()4m， 6分解得 0m或 ，故直线 l的方程为 0xy或 40xy 8分（2 ）假设圆 C上存在点 P，设 (,)，则 2()4xy，2222(1)()11PABxyxy，即 30y，即 ()4， 10分因为 22|2|()1，12 分所以圆 4xy与圆 2()4xy相交，所以点 P的个数为 14分17、解：(1) 4t,24(1)
10、()()2log()loglaaaxFxgfxx1log(2ax易证 )h在 ,14上单调递减,在 1,上单调递增,且 ()24h, min(16x, max()25h,4分当 a时, in)logF,由 l6a,解得 4a（舍去）当 0时, mi(ax,由 ,解得 15.综上知实数 的值是 15.7分(2) ,即 , , , , ,根据题意有 ；10分而函数 ；因为 , ,所以 .14分18、解： (1) 设矩形铁片的面积为S，AOM.当0 时(如图1) ，AB 4cos2，AD24sin， 3SABAD (4cos2)(24sin)16sin(2cos1)3分当 时(如图2)，AB24co
11、s ，AD24sin ，3 2故SABAD64sincos32sin 2. 6分综上得，矩形铁片的面积S关于的函数关系式为SError!8分(2) 当0 时，求导，得 S16cos(2cos1)sin( 2sin )316(4cos 2 cos 2)令S0，得cos . 记区间 30，内余弦值等于 的角为 0(唯一存在)，33 18 33 1812分列表： (0， 0) 0 3，S 0 S 极大值 又当 时， S32sin2 是单调减函数，所以当 0，即cos 时，矩形铁 片的面积最3 2 33 18大16分19、解：(1)由题意可知 ，且 ，所以椭圆的方程为 .4分（2）依题意，直线斜率存在
12、且 ，设直线的方程为 （ ）， 、由，因为 、 、 恰好构成等比数列，所以 ，即 ；所以 7分此时得 ，且 （否则： ，则 ， 中至少有一个为 ， 直线 、 中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾） 所以 ；所以所以 是定值为 ； 10分（3）（ ，且 ）所以 16分20、解： ，（1）当 时， ，因为函数 在 上单调递增，所以当 时， 恒成立 函数 的对称轴为 ，即 时， ，即 ，解之得 ，解集为空集； ，即 时，即 ，解之得 ，所以 ，即 时，即 ，解之得 ，所以综上所述，当 函数 在区间 上单调递增6分（2） 有两个极值点 ， 是方程 的两个根，且函数 在区间 和 上单调递增，在 上单调递减函数 也是在区间 和 上单调递增，在 上单调递减 ， 是函数 的一个零点9分由题意知： ， ， ，又 是方程 的两个根， ， 13分函数 图像连续，且在区间 上单调递增，在 上 单调递减，在 上单调递增当 时， ，当 时 ，当 时 ，函数 有两个零点 和 16 分 高三数学试卷附加题答案21、解：由题意，得 213ac，解得 12ac，所以 12M.5分
