1、- 1 -广东省深圳市普通高中 2017-2018 学年高二数学下学期 4 月月考试题一、填空题（本大题共 14 小题，每题 5 分，共 70 分）1. 命题“ xR， 2340x”的否定为 2. 已知集合 ,|13PQx,则 PQ 3. 已知复数 z满足 ii1，则 |z 4. 计算 2log52(lg)l50 5. 已知函数 1xaf()R是奇函数，则 a 6. 设等差数列 n的前 和为 nS，若 10,684S,则 126= 7. 已知复数 z x yi，且| z2| ，则 xy的最大值为 38. 已知 322()fab，当 1时，有极值 8，则 ab= 9. 已知3327，3326，3
2、346， .，33201mn，则 1nm= 10. 在 ABC 中，若 A60， b1， S ABC ，则 的值为 .3a b csin A sin B sin C11. 设 ,xy满足约束条件 20,yx,若目标函数 0,zxy的最大值为 35,则ab的最小值为 12. ()fx是定义在 R 上的偶函数，当 x时， ()0fxf且 (4)f，则不等式0的解集为 .13. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x2) f(x)当 x0,2时， f(x)2 x x2. 当 x2,4时，则 f(x)= 14. 已知函数 ()1201201f ()R，且- 2 -2(3)
3、(1)fafa，则满足条件的所有整数 a的和是 二、解答题（解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. （本小题满分 14 分）已知 c0，且 c1，设 p：函数 y cx在 R 上单调递减； q：函数f(x) x22 cx1 在 上为增函数，若“ p 且 q”为假， “p 或 q”为真，求实数 c 的(12， )取值范围16. （本小题满分 14 分）已知定义域为 R 的函数 f(x) 是奇函数 2x b2x 1 a(1)求 a， b 的值；(2)若对任意的 tR，不等式 f(t22 t) f(2t2 k)0，且 c1，设 p：函数 y cx在 R 上单调递减； q：函数f(x)
4、 x22 cx1 在 上为增函数，若“ p 且 q”为假， “p 或 q”为真，求实数 c 的(12， )- 6 -取值范围审题视角 (1)p、q 真时，分别求出相应的 a 的范围；(2)用补集的思想，求出綈 p、綈 q 分别对应的 a 的范围；(3)根据“p 且 q”为假、 “p 或 q”为真，确定 p、q 的真假规范解答解 函数 y cx在 R 上单调递减，00 且 c1，綈 p： c1.4 分又 f(x) x22 cx1 在 上为增函数， c .(12， ) 12即 q：00 且 c1，綈 q： c 且 c1.6 分12 12又“ p 或 q”为真， “p 且 q”为假， p 真 q 假
5、或 p 假 q 真8 分当 p 真， q 假时， c|012且 c 1 c|121 .12 分c|01，因底数 21，故 3t22 t k0. 12 分- 7 -上式对一切 tR 均成立，从而判别式 412 k2 t2 k. 12 分即对一切 tR 有 3t22 t k0，从而 412 k0，解得 k . 14 分1317.（本小题满分 15 分）某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A、B 及 CD 的中点 P处，已知 AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形 ABCD 的区域上（含边界） ，且 A、B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污
6、管道 AO、BO、OP，设排污管道的总长为 ykm。（1）按下列要求写出函数关系式：设BAO=(rad)，将 y 表示成 的函数关系式；设 OP=x(km)，将 y 表示成 x 的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。【解析】本小题主要考查函数最值的应用（）由条件知 PQ 垂直平分 AB，若BAO= (rad) ，则 10cosAQO, 故10cosOB，又 OP 10tan，所以 10tancosyAOP， 所求函数关系式为 2iy4若 OP=x(km) ，则 OQ10 x，所以 OA =OB= 22100xx所求函数关系式为 2
7、0y（）选择函数模型， 2 21cossin1sincscoiABCDAOP- 8 -OMNF2F1yx（第 18 题）令 y0 得 sin 12，因为 04，所以 = 6，当 ,6时， y ， 是 的减函数；当 ,4时， 0y ， 是 的增函数，所以当 = 时， min103。这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离 AB 边 103km 处。18.（本小题满分 15 分）如图，椭圆21xyab(0)过点 3(1,)2P，其左、右焦点分别为 12,F，离心率 1e， ,MN是椭圆右准线上的两个动点，且 10MN（1）求椭圆的方程；（2）求 的最小值；（3）以 为直径的圆 C
8、是否过定点？请证明你的结论解：（1） 12cea，且过点 3(1,)2P，229,4,bca解得 ,3b 椭圆方程为2143xy.4 分(2)设点 12(4,)(,)MyN 则 1122(5,)(,)FMyNy121250FMNy，125， 又 21115即+ ，N的最小值为 110 分(3)圆心 C的坐标为 12(4,)y，半径 21yr.圆 的方程为 2211()4x， 整理得： 212128()60yyy. 16 分125y， 212x- 9 -令 0y，得 2810x， 415x. 圆 C过定点 (45,).16 分19.（本小题满分 16 分）已知数列 na的前 项和为 nS，且满足
9、 2nSpa， *nN，其中常数 2p（1）证明：数列 1na为等比数列；（2）若 23，求数列 的通项公式；（3）对于（2）中数列 n，若数列 nb满足 2log(1)nna（ *N） ，在 kb与 1 之间插入 1k（ *N）个 2，得到一个新的数列 c，试问：是否存在正整数 m,使得数列 nc 的前 m 项的和 01T?如果存在，求出 m 的值；如果不存在，说明理由.解：（1） nSpa， 112()nnSpa， 112nnapa， 12nna， 1nn， 4 分 12p， 102pa， 10a 1na，数列 n为等比数列 （2）由（1）知 1()2nnpa， ()12npa 8 分又
10、23， ()3p， 4， n 10 分（3）由（2）得 2lognnb，即 *,()bnN，数列 C中， k（含 k项）前的所有项的和是：0122(1)123)()2k k 即 12 分当 k=10 时，其和是 507当 k=11 时，其和是 16又因为 2011-1077=934=4672，是 2 的倍数 14 分所以当 810()469m 时， T201m，所以存在 m=988 使得 T1m 16 分20.（本小题满分 16 分）已知函数 2()1,()|fxgxa- 10 -（1）若关于 x的方程 |()|fxg只有一个实数解，求实数 a的取值范围；（2）若当 R时，不等式 ()x 恒成
11、立，求实数 的取值范围；（3）求函数 ()|()hf在区间 2,上的最大值解：（1）方程 x，即 |1|a，变形得 |1|(|)0xa，显然， 已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程 ，有且仅有一个等于 1 的解或无解 ， 结合图形得 0a. 4 分（2）不等式 ()fxg 对 xR恒成立，即 2(1)|xax （*）对 xR恒成立，当 时， （*）显然成立，此时 a； 当 1时， （*）可变形为21|，令 1,(),.|因为当 x时， ()x，当 时， ()2x，所以 ()2，故此时 a . 综合，得所求实数 的取值范围是 a . 8 分（3）因为 2()|()|1|hxfgxx=
12、21,(),.axx10 分 当 1,2a即时，结合图形可知 ()h在 2,上递减，在 2上递增，且 ()3,(2)3hha，经比较，此时 ()x在 ,上的最大值为 3a. 当 0即 时，结合图形可知 在 1， ,上递减，在 1,2a， ,上递增，且 (2)3,(2)hah，2()14h，经比较，知此时 ()hx在 ,上的最大值为 . 当 0,0a即- 时，结合图形可知 ()x在 ,1， ,2a上递减，在 1,2a， ,上递增，且 (2)3,23hah， ()14h，经比较，知此时 ()hx 在 ,上的最大值为 . 当 3,a即- 时，结合图形可知 ()x在 ,2a， ,上递减，在 ,12a， 上递增，且 (2)30ha, 30h ，经比较，知此时 ()hx 在 ,上的最大值为 .当 3,即时，结合图形可知 ()x在 2,1上递减，在 1,2上递增，故此时 () 在 2,上的最大值为 0h.综上所述，当 0a 时， ()hx在 ,2上的最大值为 3a；当 3 时， 在 上的最大值为 ；当 a时， ()hx 在 ,上的最大值为 0.16 分
