1、統計學基礎知識-2,山西財經大學統計學院 米子川,目錄,隨機變數及其特徵 工業製造過程中的隨機變數 隨機變數的變化規律：抽樣統計分佈 概率分佈的描述特徵及其計算方法 概率分佈的特徵,一、隨機變量的引入,概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的方法来研究， 因此为了便于数学上的推导和计算，就需将任意的随机事件数量化当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时， 就建立起了随机变量的概念,1. 为什么引入随机变量?,一、随机变量的引入,实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色.,S=红色、白色,非数量,将 S 数量化,可采用下列方
2、法,红色,白色,即有 X (红色)=1 ,X (白色)=0.,这样便将非数量的 S=红色，白色 数量化了.,实例2 抛掷骰子,观察出现的点数.,S=1，2，3，4，5，6,样本点本身就是数量,且有,则有,随机变量的概念,1.定义,随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因此随机变量的取值也有一定的概率规律.,(2)随机变量的取值具有一定的概率规律,随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数).,2.说明,(1)随机变量与普通的函数不同,随机事件包容
3、在随机变量这个范围更广的概念之内.或者说 : 随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象.,(3)随机变量与随机事件的关系,实例3 掷一个硬币, 观察出现的面 , 共有两个 结果:,若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有,即 X (e) 是一个随机变量.,实例4 在有两个孩子的家庭中,考虑 其性别 , 共有 4 个样本点:,若用 X 表示该家女孩子的个数时 , 则有,可得随机变量 X(e),实例5 设盒中有5个球 (2白3黑), 从中任抽3个,则,是一个随机变量.,实例6 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手射了30次, 则,是一个随机
4、变量.,且 X(e) 的所有可能取值为:,且 X(e) 的所有可能取值为:,实例7 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手不断向目标射击 , 直到击中目标为止,则,是一个随机变量.,且 X(e) 的所有可能取值为:,实例8 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的, 则,是一个随机变量.,且 X(e) 的所有可 能取值为:,嚴格定義：随机变量,随机变量表示随机试验结果的变量 取值是随机的，事先不能确定取哪一个值 一个取值对应随机试验的一个可能结果 用大写字母如X、Y、Z.来表示，具体取值则用相应的小写字母如x、y、z来表示 根据取值特点的不同，可
5、分为： 离散型随机变量取值可以一一列举 连续型随机变量取值不能一一列举,随机变量 (random variables),一次试验的结果的数值性描述 一般用 X，Y，Z 来表示 例如： 投掷两枚硬币出现正面的数量 根据取值情况的不同分为离散型随机变量和连续型随机变量,离散型随机变量 (discrete random variables),随机变量 X 取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来 x1 , x2， 以确定的概率取这些不同的值 离散型随机变量的一些例子,二、工業製造過程中的隨機變數,製造業中隨機變量的應用,機器的首次故障時間 不合格率 軍用電子設備的可靠性 失效率 加工精度 ,三、隨機變
6、數的變化規律：統計分佈,连续型随机变量 (continuous random variables),可以取一个或多个区间中任何值 所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任意点 连续型随机变量的一些例子,离散型随机变量的概率分布,列出离散型随机变量X的所有可能取值 列出随机变量取这些值的概率 通常用下面的表格来表示,P(X =xi)=pi称为离散型随机变量的概率函数pi0 ；,离散型随机变量的概率分布,【例】投掷一颗骰子后出现的点数是一个离散型随机变量。写出掷一枚骰子出现点数的概率分布,概率分布,离散型随机变量的概率分布,【例】一部电梯在一周内发生故障的次数X及相应的概率如下表
7、,一部电梯一周发生故障的次数及概率分布,(1) 确定的值(2) 求正好发生两次故障的概率(3) 求故障次数多于一次的概率(4) 最多发生一次故障的概率,离散型随机变量的概率分布（解答）,解：(1) 由于0.10+0.25+0.35+ =1所以， =0.30 (2) P(X=2)=0.35(3) P(X 2)=0.10+0.25+0.35=0.70(4) P(X1)=0.35+0.30=0.65,离散型随机变量的概率分布,离散型随机变量的概率分布举例,连续型随机变量的概率分布,变量的取值充满整个数值区间，无法一一列出其每一个可能值。一般将连续型随机变量整理成频数表，对频数作直方图，直方图的每个矩
8、形顶端连接的阶梯形曲线来描述连续型变量的频数分布。,如果样本量很大，组段很多，矩形顶端组成的阶梯型曲线可变成光滑的分布曲线。 大多数情况下，可采用一个函数拟合这一光滑曲线。这种函数称为概率密度函数（probability density function）,如果连续型随机变量X的概率 密度函数记为：则在区间x1,x2 范围内的概率可由微积分函数定义,四、离散型随机变量的数学期望和方差,离散型随机变量的数学期望 (expected value),离散型随机变量X的所有可能取值xi与其取相对应的概率pi乘积之和 描述离散型随机变量取值的集中程度 记为 或E(X) 计算公式为,离散型随机变量的方差
9、(variance),随机变量X的每一个取值与期望值的离差平方和的数学期望，记为 2 或D(X) 描述离散型随机变量取值的分散程度 计算公式为方差的平方根称为标准差，记为 或D(X),1. 随机变量的数学期望,又称均值 描述一个随机变量的概率分布的中心位置 离散型随机变量 X的数学期望：相当于所有可能取值以概率为权数的平均值 连续型随机变量X 的数学期望：,数学期望的主要数学性质,若k是一常数，则E (k X) k E(X) 对于任意两个随机变量X、Y，有E(X+Y)E(X)E(Y) 若两个随机变量X、Y相互独立，则E(XY)E(X) E(Y),2. 随机变量的方差,方差是它的各个可能取值偏离
10、其均值的离差平方的均值，记为D(x)或2 公式：离散型随机变量的方差：连续型随机变量的方差：,方差和标准差（续）,标准差方差的平方根 方差和标准差都反映随机变量取值的分散程度。 它们的值越大，说明离散程度越大，其概率分布曲线越扁平。 方差的主要数学性质： 若k是一常数，则 D(k)0；D(kX)k2 D(X) 若两个随机变量X、Y相互独立，则D(X+Y)D(X)D(Y),【例】隨機變量的數字特徵,试求优质品件数的数学期望、方差和标准差。 解：, 0.6,离散型数学期望和方差 (例题分析),【例】一家电脑配件供应商声称，他所提供的配件100个中拥有次品的个数及概率如下表,每100个配件中的次品数
11、及概率分布,求该供应商次品数的数学期望和标准差,3.两个随机变量的协方差和相关系数,协方差的定义,如果X,Y独立（不相关），则Cov(X,Y)0 即 E(XY)E(X) E(Y) 协方差在一定程度上反映了X、Y之间的相关性 协方差受两个变量本身量纲的影响。,相关系数,相关系数具有如下的性质： 相关系数是一个无量纲的值0| | 0 当=0，两个变量不相关（不存在线性相关） 当 | |=1，两个变量完全线性相关,常用连续型概率分布,常用离散型概率分布,五、概率分佈的特徵,连续型随机变量的概率分布,连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴上的任意一个值 它取任何一个特定的值的概率都等于0 不能列出每
12、一个值及其相应的概率 通常研究它取某一区间值的概率 用概率密度函数的形式和分布函数的形式来描述,概率密度函数 (probability density function),设X为一连续型随机变量，x 为任意实数，X的概率密度函数记为f(x)，它满足条件,f(x)不是概率,概率密度函数, 密度函数 f(x)表示X 的所有取值 x 及其频数f(x),概率密度函数, 在平面直角坐标系中画出f(x)的图形，则对于任何实数 x1 x2，P(x1 X x2)是该曲线下从x1 到 x2的面积,概率是曲线下的面积,分布函数 (distribution function),连续型随机变量的概率可以用分布函数F(x)来表示 分布函数定义为,根据分布函数，P(aXb)可以写为,分布函数与密度函数的图示,密度函数曲线下的面积等于1 分布函数是曲线下小于 x0 的面积,討論,隨機變量的研究在工業製造過程中有什麽作用？,主講人,米子川山西財經大學統計學院,
