1、 1 / 7 什么是统计学，统计学的学科性质是什么？ 统计学 收集数据、分析数据、并根据数据进行推断的艺术和科学。 大英百科全书 描述统计 ：对所收集的数据资料进行加工整理、综合概括，通过图示、列表和数对资料继续分析和描述。 推断统计 ：在搜集、整理观测样本数据的基础上，对有关总体 做出 推断，特点是根据随机性的观测样本数据以及问题的条件和假定，对未知事件 做出 的以概率形式表述的推断 1992 年 11 月，国家技术监督局 正式批准 一级学科 1998 年 教育部 本科专业调整 理学类 一级学科 统计学 是研究客观事物数量关系和数量特征的方法论学科。 研究问题 ：具体 一般 具体 统计分析方
2、法 统计分析方法 分类分析方法 结构简化方法 相关分析方法 预测决策方法 聚类分析 定性资料分析 判别分析 回归方法 对应分析 因子分析 主成分分析 聚类分析 定性资料分析 对应分析 因子分析 主成分分析 典型相关分析 回归分析 回归分析 聚类分析 定性资料分析 判别分析 2 / 7 统计分析方法应用步骤及流程 现 实 经 济 问 题提 炼 具 体 问 题确 定 欲 达 到 目标根 据 定 性 理 论设 置 指 标 变 量收 集 整 理 统 计数 据根 据 目 标 和 数据 选 择 统 计 方法 ， 构 造 理 论模 型进 行 统 计 计 算估 计 模 型 参 数统 计 检 验 修 改应 用统
3、计数据的整理与描述 总体和样本 统计量 样本均值 11 n iixxn 样本方差 2211 ()1 n iiS x xn 样本标准差 211 ()1 n iiS x xn 偏度 311 3()( 1)nii xxVSn 峰度 412 4()( 1)nii xxVSn 3 / 7 几种重要的概率分布 正态分布 2 分布 t 分布 F 分布 自由度 估计 点估计 区间估计 最小二乘估计 极大似然估计 矩估计 假设检验的原理与步骤 在假设检验中 ,我们要依据样本数据做出接受或拒绝 H0(原假设 )的选择 .那么做出这种选择的理论根据是什么呢 ?我们指出 ,假设检验的理论根据是 “小概 率事件的实际不
4、可能原理” ,即概率很小的随机事件在个别试验中几乎是不可能发生的 .下图给出了假设检验的原理。 由假设检验的原理可见，假设检验真正有意义的工作是在拒绝原假设时。 假设检验的一般步骤 : 1) 根据实际问题提出原假设和备择假设 ; 4 / 7 2) 给出显著性水平 ; 3) 确定合适的检验统计量 ; 4) 在认为原假设为真的前提下 ,构造一个与检验统计量有关的小概率事件 A,即确定 A,使得为真）0|( HAP ; 求出 H0的拒绝域 ,即事件 A 发生时 ,上述统计量的取值范围 . H0的拒绝域也称为假设检验的拒绝域 .根据样本观察值 ,求出统计量的观察值 ,从而确定是否接受 H0.(统计量的
5、观察值落在拒绝域内 ,则拒绝 H0; 反之 ,接受H0). 多元分布的基本概念 方阵的特征值（根）与特征向量 设 A 为一 n 阶方 阵。如果存在数 和非零的 n 维向量 X ，使得 XAX 成立，则称 为方阵 A 的特征值， X 为 A 的对应于特征值 的特征向量。 例 1 矩阵 .xls(sheet1) 正交矩阵 如果 n 阶方阵 A 满足 IAA ，则称 A 为正交阵。 A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列向量都是单位向量，且两两正交。 例 1 矩阵 .xls(sheet2) 正定矩阵 设 A 为一 n 阶方阵。如果对任意非零的 n 维向量 X ，都有 0AXX 成立，则称 A 为一正
6、定矩阵。 半正定矩阵（定义） n 阶半正定矩阵一定有 n 个非负的特征根（包括重根）。 随机向量及其分布 随机变量就是以不同的可能性（概率）进行取值的变量 。 如： 在抽检产品时，引入随机变量 X，使正品对应 X=1,次品对应 X=0; 5 / 7 掷硬币时，引入随机变量 X, 使正面对应 X=1, 反面对应 X=0; 掷骰子时，引 入随机变量 Y, 其取值范围为 1， 2， 3， 4， 5， 6，使 Y 的每一个取值对应于一种抛掷结果； 检测白糖重量时，引入随机变量 Z, 其取值范围为 490 510，使每一检测结果都可由 Z 的一个取值表示。 随机变量可分为离散型和连续型两种。离散型随机变
7、量的全部取值可一一列举（试验结果有有限种或可列种，如某服务台前等待服务的顾客数），连续型随机变量可连续取值（对应于在一个区间内取值的情况，如电子元件的寿命，测量误差等）。 随机向量：每个分量都是随机变量的向量。 随机向量的期望与协方差矩阵 设 ),( 21 nxxxX 是一个随机向量，则称 )(,),(),()( 21 nxExExEXE 为随机向量 ),( 21 nxxxX 的期望。 对两个随机向量 ),( 21 nxxxX ， ),( 21 myyyY ，称矩阵 ),c o v (),c o v (),c o v (),c o v (),c o v (),c o v (),c o v ()
8、,c o v (),c o v (),c o v (212221212111mnnnmmyxyxyxyxyxyxyxyxyxYX为这两个随机向量的 协方差矩阵 ，其中 )()(),c o v ( jjiiji yEyxExEyx 。 特别地，称 ),cov( XX 为 X 的 协方差矩阵 ，简记为 )(XV 。 称矩阵 ),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111mnnnmmyxyxyxyxyxyxyxyxyxYX为这两个随机向量的 相关矩阵 ，其中 ),( ji yx 为随机变量 ix 和 jy 的相关系数 ， 6 / 7 )()(),c o v ()
9、,(jijiji yDxD yxyx 。 特别地，称 ),( XX 为 X 的相关矩阵。 通常，我们将一个随机向量 的协方差矩阵记为 )( ij 、 相关矩阵记为 )( ijR . 任何随机向量的协方差矩阵（相关矩阵）都是半正定矩阵。 任何随机向量的 n 阶协方差矩阵（相关矩阵）都有 n 个非负的特征根（包括重根）和 n 个相互正交的单位特征向量。 多元正态分布 如果随机变量 X的概率密度函数为 xexf x ,21)( 2 22 )( , 则称 X服从参数为 2, 的正态分布，记为 X N( 2, ). 特别地 )1,0(N 称为标准正态分布。 正态随机变量的概率密度函数 )(xf 具有如下 性质 ： 1 图形呈钟型，以 x 为对称轴； 2在 x 处， )(xf 取最大值。 x 值离 越远， )(xf 值越 小，且以 x 轴为渐近线。 2 越小，曲线越陡峭； 2 越大， 曲线越平缓。 2 密度曲线与 x 轴围成的面积恒等于 1. 3 2)(,)( XDXE 7 / 7 设 p 维随机向量 ),( 21 pxxxX 的联合概率密度函数为 )()(21e x p |)2( 1)( 12/12/ xxxf p ， 其中 为 p 维实向量， 为 p 阶正定矩阵，则称 X 服从 p 元正态分布，也称 X 为 p 维正态随机变量，简记为 X ),( N . 此时， )(,)( XVXE
