1、广西钦州市钦州港经济技术开发区中学 2018 届高三年级第一次月考考试文科数学试卷解析版一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，则，故选 B2. 已知命题 ， ，命题 ， ，则（ ）A. 命题 是假命题 B. 命题 是真命题C. 命题 是真命题 D. 命题 是假命题【答案】C【解析】当 时， ， ，则不等式 成立，即命题 是真命题，当 时， 不成立，即命题 是假命题， 是真命题，所以命题 是真命题，故选 .3. 下列结论中正确的个数是 (
2、)“ x= ”是“ ”的充分不必要条件;若 ab,则 am2bm2;命题“ xR,sin x1” 的否定是“ xR,sin x1”;函数 f(x)= -cos x 在0,+)内有且仅有两个零点. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】 对于,当 x= 时,sin ,充分性成立;当 sin 时, x+ +2k 或 x+2k, kZ,得 x=- +2k 或 x= +2k, kZ,故必要性不成立,故正确;对于,当 m=0 时,若ab,am2bm2不成立,故不正确;对于,命题“ xR,sin x1”的否定是“ x0R,sin x01”,故不正确;对于,函数 y= 与 y=cos x
3、的图象有且只有一个交点,故函数 f(x)= -cos x 在 内有且仅有一个零点,故不正确.综上,正确的只有一个,故选 A.4. 若变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为（ ）A. 4 B. C. D. 【答案】C【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，由上图，目标函数 在点 处取得最小值，最小值为 ，故选择 C.5. 已知函数 （ ， ， ） ，则“ 是偶函数”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若 是偶函数，则 即 不一定成立，即充分性不成立，若 ，满足 是偶函数，即必要性成立，故“ 是偶函数”是“
4、”的必要不充分条件，故选 .【方法点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性和充要条件问题，属于中档题.已知的奇偶性求 时，往往结合正弦函数及余弦函数的奇偶性和诱导公式来解答：（1）时， 是奇函数；（2） 时， 是偶函数.6. 若直角坐标平面内的两点 P,Q 满足条件: P,Q 都在函数 y=f(x)的图象上; P,Q 关于原点对称,则称点对( P,Q)是函数 y=f(x)的一对“友好点对”(点对( P,Q)与( Q,P)看作同一对“友好点对”).已知函数 f(x)=则此函数的“友好点对”有 ( )A. 3 对 B. 2 对 C. 1 对 D. 0 对【答案】C【解析】设 f(x)= (x0)图象上任
5、一点为 A(x,y)(x0,y0),点 A 关于原点的对称点 A(-x,-y)在 y=x+1上,所以- y=-x+1,即 y=x-1, 得“友好点对”的个数就是方程组 的根的个数,而 y=x-1(x0)的图象与 y 的图象有且只有一个交点 ,“友好点对”共 1 对,故选 C.7. 等差数列 的前 11 项和 ，则 （ ）A. 18 B. 24 C. 30 D. 32【答案】B【解析】 ，所以 ，根据等差数列性质： ，故选择 B.8. 在湖心孤岛岸边，有一 米高的观测塔 ，观测员在塔顶 望湖面上两小船 ，测得它们的俯角分别为 ，小船 在塔的正西方向，小船 在塔的南偏东 的方向上，则两船之间的距离
6、是（ ）米.A. B. C. D. 【答案】B【解析】观测员在塔顶 望湖面上两小船 ，测得它们的俯角分别为 ，所以，在直角三角形 中， ， ， ，在直角三角形 中， ，又因为小船 在塔的正西方向，小船 在塔的南偏东 的方向上，所以 ，由余弦定理可得， ，故选 B.9. 已知 ABC 的外接圆半径为 1,圆心为 O,且 =0,则 ABC 的面积为 ( )A. 1+ B. C. 1+ D. 【答案】D【解析】.由 =0 得 =- ,两边平方可得 =0,则 AOB=90;由=0 得 =- ,两边平方可得 = ,则 AOC=135;同理可得 BOC=135,则 ABC 的面积为 SAOB +SBOC
7、+SAOC = ,故选 D.10. 某四棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ）A. 4 B. 8 C. D. 【答案】D【解析】由题可知，几何体是三棱锥，底面是边长为 2 的等腰直角三角形，且顶点到底面的距离为 2，.11. 已知函数 是定义在 上的以 2 为周期的偶函数，当 时， .若直线与函数 的图像在 内恰有两个不同的公共点，则实数 的值是 ( )A. 或 ； B. 0； C. 0 或 ； D. 0 或【答案】D【解析】试题分析：根据已知可得函数 ，在直角坐标系中作出它的图象，如图，再作直线 ，可见当直线 与抛物线 相切时，或者直线过原点时，符合题意，此时 或 .考点：函数的性质（偶函数
8、，周期函数） ，直线与函数图象的交点.12. 已知函数 ,关于 的方程 R)有四个相异的实数根,则 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】 = ,当 时 时, 单调递减，时, 单调递增,且当 ,当, 当 时， 恒成立， 时,单调递增且 ,方程 R)有四个相异的实数根.令= 则 ,即 .第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量 ， ，若 ，则 _【答案】2【解析】 ，所以 ，解得 .14. 已知 ， ，向量 在 方向上的投影为 ，则 _.【答案】3【解析】设向量 的夹角为 ，解得，故答案为 .15. 已知数列 an满
9、足 a1=33， an+1-an=2n，则 的最小值为_ .【答案】【解析】由已知可得 an-an-1=2(n-1),an-1-an-2=2(n-2),a3-a2=22,a2-a1=21,左右两边分别相加可得an-a1=2(1+2+3+(n-1)=n(n-1), an=n2-n+33.=n+ -1,令 F(n)=n+ -1,n5 时为减函数, n6 时为增函数且 F(5)F(6), F(n) F(6)= ,故 的最小值为 .16. 是公差不为 0 的等差数列， 是公比为正数的等比数列， ， ， ，则数列 的前 项和等于_【答案】【解析】设等差数列公差为 ，等比数列公比为 ，则由题有 ，解得：，
10、所以 ， ，则 ，设数列 的前 n 项和为 ，则 所以 ；-得：所以 ，整理得： .方法点睛：用错位相减法求和时，要注意以下几个问题：（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式 “错项对齐” ，以便下一步准确写出“ ”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ， .（1）求证： ；（2）若 ， ，求 .【答案】 （）
11、证明见解析 （）【解析】试题分析：（）根据正弦定理变形， 可化为 ，由于待证的是 ，所以将 换成 ，然后根据公式展开，于是有 ，所以有 ；（）根据已知条件 ，当 ， 时， ，于是根据余弦定理可以求出 的值.试题解析：（）由 根据正弦定理得 ，即 ，得 （）由 ，且 ， ，得 ， 由余弦定理， ，所以 18. 不等式选讲已知函数 （）求证： ；（）解不等式 .【答案】 （1）见解析（2） 【解析】试题分析：（1）通过讨论 的范围得到相对应的 的表达式，可得各段函数的范围，从而证明出结论；（2）利用分段函数解析式，分三种情况讨论，分别解出不等式，再求并集即可确定不等式的解集.试题解析：解：（1）
12、，又当 时， ，（2）当 时， ；当 时， ；当 时， ； 综合所述，不等式的解集为： .19. 正项数列 满足 .(1)求数列 的通项公式 ；(2)令 ，求数列 的前 项和为 . 【答案】 （1） ；（2） 。【解析】 （1）将 变形可得到通项公式，由各项均是正数，因此通项公式为（2）由 代入可得到数列 的通项公式 ，因此采用裂项相消法求和试题解析：（1）（2）考点：数列求通项求和20. 已知椭圆 经过点 ，且离心率为 .（1）求椭圆 的方程；（2）设点 在 轴上的射影为点 ，过点 的直线与椭圆 相交于 ， 两点，且 ，求直线的方程.【答案】 （）椭圆 的方程为 （）直线的方程为【解析】试题
13、分析：（）本问考查求椭圆标准方程，根据点 在椭圆上，代入得 ，又离心率 ，于是可以求出 的值，得到椭圆标准方程；（）点 在 轴上的射影 的坐标为，过点 N 的直线分两种情况进行讨论，当斜率为 0 时，经分析，不满足 ，当的斜率不为 0 时，可设方程为 ，与椭圆方程联立，消元，得到关于 的一元二次方程，设 ，由 ，得 ，于是可以根据前面的关系式求出 的值，得到直线方程.试题解析：（）由已知可得 ， ，解得 ， ，所以椭圆 的方程为 （）由已知 N 的坐标为 ，当直线斜率为 0 时，直线为 轴，易知 不成立 当直线斜率不为 0 时，设直线的方程为 ，代入 ，整理得， ，设 ， 则， ，由 ，得 ，
14、由解得 所以直线的方程为 ，即 21. 在 中，角 所对的边分别是 ，且满足 .（）求角 的大小；（）若 ，且 ，求 的面积.【答案】 （） ；（）【解析】试题分析：（1）由正余弦定理化简可得 ，从而可得角 的大小：（2）由 ，根据正弦定理，可得三角形时等腰直角三角形，结合 可求出 ，进而可求出 的面积.试题解析：（）由正弦定理得 两边同除以 得由余弦定理得 是三角形的内角 （）由正弦定理可得 解得 【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.22. 在 中,角 所对的边分别为 ,且 .(1)求 的大小;(2)设 的平分线 交 于 ,求 的值.【答案】(1) ；（2） .【解析】 【试题分析】 （1）先正弦定理将已知 ,然后运用余弦定理求解；（2）先借助正弦定理求出 ，然后运用余弦二倍角求出 ，进而运用平方关系求出 .解：(1) , .(2) 在 中,由正弦定理: ,得 ,.
