1、2018 届天津市第一中学高三上学期第一次月考 数学（理）本试卷分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟学生务必讲答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。1、选择题：1. 2)(i （ ）A3.iB23. iC21. iD21.2.对任意的实数 x，若 表示不超过 x的最大整数，则 yx是 y的（ ）.A充分不必要条件 .B必要不充分条件 .充要条件 .既不充分也不必要条件3. 把函数 )(sinRxy的图象上所有的点向左平移 3个单位长度，再把所有图象上所有 点的横坐标缩短到原来的 21倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数是 （
2、 ）xyA),3si(.RxyB),62sin(.RCnD34. 已知双曲线 )0,(12bayx的左焦点为 F，离心率为 2，若经过 F和 )40(，P两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 （ ）14.2yxA18.2yxB184.2yxC148.2yxD5. 已知函数 )(xf是 ),上的奇函数，且 )(xf的图象关于 x对称，当 ,0x时，12)(xf,则 2018(7f的值为 （ ）.A.B .C .D6. 若函数 )cos(sin)xaexf在 )2,4(上单调递增，则实数 a的取值范围是 （ ）1,.(A1,.B 1.，C )1.(，D7. 已知函数 1)(2xae
3、xfx经过点 )2,0(，且与 )(xg的图象关于直线 032yx对称，QP,分别是函数 ,g上的动点，则 PQ的最小值是（ ）5.A5.B 5.C 52.D8. 已知函数 xeaxfln)(与 xegln)(2的图象有三个不同的公共点，其中 e为自然对数的底数，则实数 的取值范围为（ ）eaA.1.aB eaC. 13.aD或2、填空题：9. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ， 则该几何体的体积是 .10. 已知 nx)31(的展开式中含有 2x项的系 数是54，则 .11. 在极坐标系中，点 A在圆 04sinco2上，则点 P的坐标为 )10(， ，则 P的最小值 为 .12.
4、曲线 2xy与直线 xy所围成的封闭图 形的面积为 .13. 已知函数 )(f是定义在 R 上的奇函数， 在区间 )0,(上单调递减，且 0)1(f，若实数 a满足 logl55aff，则实数 的取值范围为 .14. 若关于 x的不等式 xe的解集为 )0(,nm，且 ),(n中只有两个整数，则实数 的取值范围为 . 15.已知函数 1cos2sin6)42sin()( xxxxf， R（I）求 的最小正周期；（II）求 )(xf在区间 2,0上的最大值和最小值.16.在锐角 ABC中， ,的对边分别为 cba,，且 AcBbCos,os成等差数列.（I）求角 的值；（II）若 3a且 b，求
5、 的取值范围.17.一对父子参加一个亲子摸奖游戏，其规则如下：父亲在装有红色、白色球各两个的甲袋子里随机取两个球，儿子在装有红色、白色、黑色球各一个的乙袋子里随机取一个球，父子俩取球相互独立，两人各摸球一次合在一起称为一次摸奖，他们取出的三个球的颜色情况与他们获得的积分对应如下表：所取球的情况 三个球均为红色 三个球均不同色 恰有两球为红色 其他情况所获得的积分 180 90 60 0（I）求一次摸奖中，所获取的三个球中恰有两个是红球的概率；（II）设一次摸奖中，他们所获得的积分为 X，求 的分布列及均值（数学期望） )(XE.（III）按照以上规则重复摸奖三次，求至少有两次获得积分为 60
6、的概率.18. 已知 axxf2ln（I）当 5a时，求曲线 fy在点 1,f处的切线方程及 xf的单调区间（II）设 21,xBA是曲线 x图象上的两个相异的点，若直线 AB的斜率 1k恒成立，求实数 的取值范围19. 已知数列 na的前 项和为 nS， 21,4311nnaSa（ N且 2n） ，数列 nb满足：4371b且 1b（ N且 2）（I）求数列 n的通项公式（II）求证：数列 na为等比数列（III）求数列 nb的前 项和的最小值20. 已知函数 021lnaxxf（I）讨论函数 在 ，0上的单调性（I I）设函数 xf存在两个极值点，并记作 21,x，若 421xff，求正数
7、 a的取值范围（III）求证：当 1a时， exf（其中 e为自然对数的底数）参考答案：1. 选择题 1. D 2.B 3.C 4. 5.D 6. A 7. 8.B二.填空题9. 12 10.4 11.1 12. 6 13. 5,10， 14. 23,4e三.解答题15.（I） xxxxf cossini2cos4s2ini所 以 xf的最小正周期为 T（II）因为 f在区间 830， 上是增函数，在区间 283， 上是减函数，又 20f，2,283ff故函数 xf在区间 0， 上的最大值为 2，最小值为 216. （I ）因为 AcBbCaos,cos成等差数列，所以 BbAcCacos2s
8、o由正弦定理得 BAcsin2ini 即 s2ssin因为 1co,0B又 ，所以 3（II） sinibAa， Asin230,Aba2C,又 B是锐角三角形， 6A36, 2sin1b17. （I）解：设所取三个球恰有两个是红球为事件 A，则事件 包含两类基本事件：父亲取出两个红球，儿子取出一个不是红球，其概率为 91324C父亲取出两球为一红一白，儿子取出一球为红球其概率为 921324C故 3192AP（II）解： X可以取 0,68，取各个值得概率分别为：110324C, 9219324CXP62424XP, 1870故 的分布为： 1809600P231187X的均值为： 5018
9、73609180XE（III）由二项分布的定义知，三次摸奖中恰好获得 个积分的次数 31，BY则 2731322CYPYP18. （I）当 5a时， 052, xxxf分别解 不等式 0,xf与 ,xf，可得函数 xf的单调递增区间为 ， 210，单调递减区间为 21，（II） xfgxffxff 012112 在 ，0上单调递增由 0,g在 ， 上恒成立，可得 3a19. （I）由 211nnaS得 211nnS，即 21na（ 且 Nn）则数列 a为以 2为公差的等差数列，所以 443a（II）因为 31bn，所以 11bnn ，所以 24326314211 nbab nnnn111 nn
10、n所以 31abn01ab所以（III）所以数列 nab是以 10-为首项， 3为公比的等比数列（III）由（II）得1nn所以11304230nnab21142 nnn 2031n当 时， 031b当 n时， 452当 3时， 97所以数列 nb从第 3项起的各项均大于 0，故数列 nb的前 2项之和最小记数列 n的前 项和为 nT，则 34-105-43220. （I） 22, 121axaxxf 当 2a时， 0,02, f，函数 f在 ，0上是增函数当 0时，由 ,xf得 2a，计算得出 ax21（负值舍去）ax2所以当 ,x时， 022，从而 0,xf，函数 xf在 2,0上是减函数
11、；当2x时， ，从而 ,，函数 在 上是增函数综上，当 a时，函数 xf在 ， 上是增函数；当 a时，函数 xf在 a2， 上是减函数，在 ,上是增函数（II）由（I）知，当 2时， 0,xf，函数 xf无极值点要使函数 xf存在两个极值点，必有 2a，切极值点必为 a21，a2又由函数定义域知 1x，则有 1即 a化为 02，所以1所以，函数 f存在两个极值点时，正数 a的取值范围是 ,10由 式可以知道， 2021x axaxff 2121 lnln2121221lnaxxax224laa1ln2不等式 421xff化 为0ln2a令 ,t所以 1,0,t当 0,1时， 2ln2lntttg，所以 0tg，不合题意当 t时， 0122, ttttg所以 在 1,0上是减函数，所以 021lngt ，适合题意，即 2,1a综上，若 42xff，此时正数 a的取值范围是 ,（III）当 a时， 21lnx不等式 1xef可化为 1xe所以要证不等式 1f，即证 1lnx，即证 xe1ln设 xhln，则 2, xh在 ,0上， 0,h， 是减函数；在 ， 上，0,x， 是增函数，所以 h设 xe1，则 是减函数，所以 1所以 h，即 xe1ln所以当 1a时，不等式 1f
