1、- 1 -四川省宜宾市 2019 届高三上学期第一次诊断测试数学（文）试题一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.若集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】通过分别判断集合 B 中的元素是否满足集合 A 中的条件即可得到结果【详解】分别将集合 B 中元素代入集合 A 的表达式中，经判断只有 0、1、2 成立，所以 故选 C【点睛】本题考查集合交集的运算，解题时结合题意求出两集合的公共元素即可，属容易题2.已知复数 z 满足 ，i 是虚数单位，则复数 A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简
2、得答案【详解】解：由 ，得 故选：D【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题3.等差数列 的前 n 项和为 ，已知 ，则 A. 13 B. 35 C. 49 D. 63【答案】C【解析】- 2 -【分析】利用等差数列的性质,当 m+n=p+q 时，有 ，对求和数列进行变形，得到，则计算得到结果【详解】解： ，故选：C【点睛】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题4.已知 ， ，则 A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意利用诱导公式得到 ，再根据角的范围、同角三角函数的基本关系，求出 的值即可【详解】解： ， ， ，则 ，故选：A【点睛】本题主要考查同角三角函数的
3、基本关系、诱导公式的应用，属于基础题5.从甲、乙两种棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度 单位： 组成一个样本，得到如图所示的茎叶图 若甲、乙两种棉花纤维的平均长度分别用 ， 表示，标准差分别用 ， 表示，则 - 3 -A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】C【解析】【分析】由茎叶图得：甲的数据相对分散，而乙的数据相对集中于茎叶图的右下方，所以乙的平均数较大，并且乙比较稳定，所以方差较小.【详解】解：由茎叶图得：甲的数据相对分散，而乙的数据相对集中于茎叶图的右下方， 故选：C【点睛】本题考查平均数、标准差的求法，考查茎叶图等基础知识，考查运算求解能力和观察能力，是基础题6.已知 x，y
4、 满足不等式组 ，则 的最大值为 A. 0 B. 5 C. D. 8【答案】D【解析】【分析】由约束条件作出可行域，因为 ，所以 y=-2x+z，所以 z 的几何意义为直线的纵截距，作直线 y=-2x 并对直线平移，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】解：由 x，y 满足不等式组 ，作出可行域如图，- 4 -联立 ，解得 ，化目标函数 为 ，由图可知，当直线 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为 故选：D【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题7.已知函数 是定义在 R 上的奇函数，当 时， ，函数 ，则函数
5、 的大致图象为 A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：因为 ，所以函数 是偶函数，又 是定义在 上的奇函数，所以是奇函数，即可以排除选项 与 ，当 时， ，所示此时 ，所以排除选项 .故选考点：函数的奇偶性；函数的图像.8.按下面的流程图进行计算 若输出的 ，则输入的正实数 x 的值的个数最多为 - 5 -A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】【分析】根据框图知：有 4 种情形的结果的 x 为正值： ； ； ，从而得出输入的正实数x 所有可能取值的个数【详解】解：由程序框图可知：当 ，解得 ；即输入 时，输出结果 205，解得 ；即输入 时，输出结果 205，解
6、得 ，输入 时，输出结果 205解得 ，输入 时，输出结果 205此时可解得 x 为负值，综上，共有 4 个不同的 x 值，故选：B【点睛】本题考查程序框图的应用，能够分析出计数变量的数值，结束循环是解题的关键，属于中档题.9.一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为 的正方形，则该几何体的表面积为 A. 4B. - 6 -C. D. 6【答案】C【解析】【分析】首先把三视图还原为几何体，然后根据三视图的特征求出几何体的高，最后求出侧视图的面积【详解】解：根据几何体的三视图，转换为几何体为：由于正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为 的正
7、方形，故：底面的对角线长为 所以四棱锥的高为 ，故：四棱锥的侧面高为 ，则四棱锥的表面积为故选：C【点睛】本题考查了由三视图还原几何体，四棱锥的表面积公式，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型10.设 ， ， ，则 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】- 7 -由指数函数和对数函数的性质，可得 ，且 ，且 ，所以 ，故选 B.11.已知函数 的一条对称轴为 ，又 的一个零点为 ，且 的最小值为 ，则 等于 A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】因为对称轴与相邻的零点 的距离的最小值为 个周期，所以根据 的最小值为 得出w=1，再根据对称轴为 代入函
8、数中计算 的值得到结果【详解】函数 的对称轴与他相邻的零点 的距离的最小值 个周期，又的一个零点为 ，且 的最小值为 ，则：函数的最小正周期为 故 由于函数的一条对称轴为 ，则： ，所以 = ， ，所以 ，因为 ，所以： 的值为 ，故选：A【点睛】本题考查正弦型函数性质的应用，考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题12.设函数 ， ，其中 ，若存在唯一的整数 使得，则 a 的取值范围是 - 8 -A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】，研究 f(x)的导函数可得函数 f（x）的图像； ，其中 ，且 g（x）过点（1,0） ，若存在唯一的整数 使得 ，数形结合可得且 ，解关于 a
9、的不等式组可得【详解】解：设 ， ，当 时， ，当 时， ，当 时， 取最小值 ，当 时， ，当 时， ，直线 恒过定点 且斜率为 a，做出 和 的图像如图：因为存在唯一的整数 使得 ，故 且 ，解得故选：B【点睛】本题考查函数的整数解问题，考查导数和极值，涉及数形结合的思想和转化的思想，属中档题- 9 -二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.已知向量 ， ，且 ，则 _【答案】3【解析】【分析】根据 即可得出 ，进行数量积的坐标运算即可求出 m【详解】解： ；故答案为：3【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，属于基础题.14.已知甲、乙、丙三位同学在某次
10、考试中总成绩列前三名，有 三位学生对其排名猜测如下： ：甲第一名，乙第二名； ：丙第一名，甲第二名； ：乙第一名，甲第三名成绩公布后得知，三人都恰好猜对了一半，则第一名是_【答案】丙【解析】【分析】根据假设分析，现假设 A 中的说法中“甲是第一名是错误的，乙是第二名是正确的” ，进而确定 B 的说法，即可得到答案.【详解】由题意，假设 A 的说法中“甲第一名”正确，则 B 的说法中“丙第一名”和 C 说法中“乙第一名”是错误，这与 B 中“甲第二名”和 C 中“甲第三名”是矛盾的，所以是错误的；所以 A 中， “甲是第一名是错误的，乙是第二名是正确的” ；又由 B 中，假设“丙是第一名是错误的
11、，甲是第二名是正确的” ，这与 A 中， “甲是第一名是错误的，乙是第二名”是矛盾的，所以 B 中，假设“丙是第一名是正确的，甲是第二名是错误的” ，故第一名为丙.【点睛】本题主要考查了推理与证明的应用，其中解答中通过假设分析，找到预测说法中的矛盾是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.- 10 -15.将一颗质地均匀的骰子 它是一种各面上分别标有 1，2，3，4，5，6 点数的正方体玩具先后抛掷 2 次，记第一次出现的点数为 m，记第二次出现的点数为 n，则 的概率为_【答案】【解析】【分析】基本事件总数 ，利用列举法求出 包含的基本事件 有 14 个，由此能求出
12、的概率【详解】解：将一颗质地均匀的骰子 它是一种各面上分别标有 1，2，3，4，5，6 点数的正方体玩具 先后抛掷 2 次，记第一次出现的点数为 m，记第二次出现的点数为 n，基本事件总数 ，包含的基本事件 有：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 14 个，的概率为 故答案为： 【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题16.如右图所示，在棱长为 2 的正方体 中， 为棱 的中点，点 分别为面 和线段 上的动点，则 周长的最小值为_ 【答案】【解析】- 11 -将面 与面 折成一个平面，设 E 关于 的对称点为 M，E 关于 对称点
13、为N,则 周长的最小值为 . 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17.已知数列 为等比数列，其前 n 项和为 若 ，且 是 ， 是的等比中项求数列 的通项公式；若 ，求数列 的前 n 项和 【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】设出等比数列的公比 q，运用等比中项的性质和通项公式，解方程可得 q，进而得到所求通项公式；求得 ，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和【详解】解： 数列 为公比为 q 的等比数列若 ，且 是 ， 是的等比中项，可得 ，即为 ，解得 舍去 ，则 ；，则前 n 项和 ，两式相减可得，- 12 -化简可得 【点睛】本题考查等
14、比数列的通项公式和性质、求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简整理的运算能力，属于基础题18.在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 求 的值；若 ，求 的面积 S 的最大值【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】由已知利用三角形内角和、同角三角函数基本关系式和倍角公式可得答案；（2）利用基本不等式求 的面积 S 的最大值【详解】解： ，B，C 是三角形的内角，且满足 ，则 ；，b，c 是 的边，且 ，的面积 S 的最大值为 【点睛】本题考查倍角公式的应用，考查三角形的解法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题19.进入 21 世纪，互联网和通讯技术高速发展使
15、商务进入一个全新的阶段，网上购物这一方便、快捷的购物形式已经被越来越多的人所接受 某互联网公司为进一步了解大上购物的情况，对大学生的消费金额进行了调查研究，得到如下统计表：组数 消费金额 元 人数 频率- 13 -第一组 1100第二组 3900第三组 3000 p第四组 1200第五组 不低于 200 元 m求 m，p 的值；该公司从参与调查且购物满 150 元的学生中采用分层抽样的方法抽取 作为中奖用户，再随机抽取中奖用户的 获得一等奖 求第五组至少 1 人获得一等奖的概率【答案】 （1） ， ；（2） .【解析】【分析】设总人数为 n，列方程能求出 m，p 的值依题意第四组抽取获奖的人数
16、为 3，第五组抽取获奖的人数为 设第四组获奖的 3 人分别为 a，b，c，第五组获奖的 2 人分别为 d，e，从第四组、第五组所有获奖人员中抽取 2 人，利用列举法能求出第五组至少一人获一等奖的概率【详解】解： 设总人数为 n，则 ，解得 ， ，解得 依题意：从第四、五组中一共抽取 5 人，且第四组抽取获奖的人数为 3，第五组抽取获奖的人数为 2设第四组获奖的 3 人分别为 a，b，c，第五组获奖的 2 人分别为 d，e，从第四组、第五组所有获奖人员中抽取 2 人的情况有：，其中第五组至少一人获一等奖的情况有：，- 14 -所以第五组至少一人获一等奖的概率为 【点睛】本题考查频数、频率、概率的
17、求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题20.在如图所示的几何体中，已知 ， 平面 ABC， ， ， 若M 是 BC 的中点，且 ， 平面 PAB求线段 PQ 的长度；求三棱锥 的体积 V【答案】 （1）2；（2）2.【解析】【分析】取 AB 的中点 N，连接 MN，PN，推导出四边形 PQMN 为平行四边形，由此能求出线段 PQ 的长度取 AC 的中点 H，连接 QH，推导出四边形 PQHA 为平行四边形，由此能求出三棱锥的体积【详解】解： 取 AB 的中点 N，连接 MN，PN，且 ， 、Q、M、N 确定平面 ，平面 PAB，且平面 平面 ，又 平面 ， ，- 15
18、 -四边形 PQMN 为平行四边形，解： 取 AC 的中点 H，连接 QH，且 PQ=AH=2， 四边形 PQHA 为平行四边形， 平面 ABC， 平面 ABC， ，三棱锥 的体积：【点睛】本题考查线段长的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题21.已知函数 ， 当 时，求曲线 在点 处的切线方程；若函数 在区间 上是单调递减函数，求实数 a 的取值范围【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】首先利用导函数求得切线的斜率，然后利用点斜式确定切线方程即可；将原问题转化为恒成立的问题，利用导函数求得最值即可
19、确定实数 a 的取值范围【详解】解： 由 ，且 有： ，且 ，故切线方程为 即- 16 -，函数 在区间 上是单调递减函数，对 恒成立，令 ，则 ，由于 ，故 ，在 上单调递减， 【点睛】本题主要考查导函数研究函数的切线方程，导函数研究函数的最值，等价转化的数学思想等知识，属于中等题22.在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 为参数 以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 求 l 和 C 的直角坐标方程；设 ，l 和 C 相交于 A，B 两点，若 ，求 的值【答案】 （1）l 的直角坐标方程为 ，或 ；C 的直角坐标方程为；（2） .【解析】【分
20、析】代入法消去参数 t 可得直线 l 的直角坐标方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线 C 的直角坐标方程；将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，利用参数 t 的几何意义可得【详解】解：，由 综上，l 的直角坐标方程为 ，或由 C 的极坐标方程 得 ，- 17 -将 代入 ，得， 在 l 上，【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查了直线参数方程中t 的几何意义，属中档题23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 .（1）当 时，求关于 的不等式 的解集；（2）若当 时， 恒成立，求 的最小值 .【答案】 （1） ；（2）3.【解析】【分析】时不等式化为 ，零点分段法去掉绝对值，化为不等式求解集即可；时不等式恒成立，化为 恒成立；画出 与在 上的图象，利用数形结合法求得 k、b 的取值范围，从而求得的最小值【详解】解: 当 时，不等式化为 ，即 ，或 ，或 ；解得 ，或 ，或 ；综上，原不等式的解集为 ；时，不等式 恒成立，可化为 恒成立；- 18 -画出 与 的图象，如图所示：由图象知当 ，且 时， 的图象始终在 的上方，即 的最小值为 这时 ，【点睛】本题考查了零点分段法求绝对值不等式的解集，考查了不等式恒成立问题，也考查了数形结合思想的应用，是中档题
