1、1课时作业 49 抛物线一、选择题1(2018云南昆明一中模拟)已知点 F是抛物线 C： y24 x的焦点，点 A在抛物线 C上，若| AF|4，则线段 AF的中点到抛物线 C的准线的距离为( )A4 B3C2 D1解析：由题意易知 F(1,0)， F到准线的距离为 2， A到准线的距离为| AF|4，则线段AF的中点到抛物线 C的准线的距离为 3，故选 B.2 42答案：B2(2018陕西高三质检(一)设双曲线 1( a0， b0)的渐近线与抛物线x2a2 y2b2y x21 相切，则该双曲线的离心率 e( )A. B.3 5C. D36解析：本题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置
2、关系、双曲线的离心率由题意得双曲线的一条渐近线方程为 y x，代入抛物线方程，整理得baax2 bx a0，因为双曲线的渐近线与抛物线相切，所以 b24 a20，所以b24 a2，所以 c25 a2，所以离心率 e ，故选 B.c2a2 5答案：B3(2018湖南岳阳二模)若直线 y2 x 与抛物线 x22 py(p0)相交于 A， B两点，p2则| AB|等于( )A5 p B10 pC11 p D12 p解析：将直线方程代入抛物线方程，可得 x24 px p20，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x24 p， y1 y29 p，直线过抛物线的焦点，| AB| y1 y
3、2 p10 p，故选 B.答案：B4(2018合肥二模)已知抛物线 y22 px(p0)上一点 M到焦点 F的距离等于 2p，则直线 MF的斜率为( )A B132C D34 33解析：设 M(x0， y0)，易知焦点为 F ，由抛物线的定义得| MF| x0 2 p，所以(p2， 0) p2x0 p，故 y 2 p p3 p2，解得 y0 p，故直线 MF的斜率 k ，选32 20 32 3 3p32p p2 3A.答案：A5(2018甘肃省五掖市高三第一次考试)过抛物线 y24 x的焦点 F的直线 l与抛物线交于 A， B两点，若 A， B两点的横坐标之和为 ，则| AB|( )103A.
4、 B. C5 D.133 143 163解析： p2，| AB|2 .103 163答案：D6(2018广东汕头一模，8)过抛物线 C： x22 y的焦点 F的直线 l交抛物线 C于A、 B两点，若抛物线 C在点 B处的切线斜率为 1，则| AF|( )A1 B2C3 D4解析： x22 y， y ， y x，x22抛物线 C在点 B处的切线斜率为 1， B ，(1，12)抛物线 x22 y的焦点 F的坐标为 ，(0，12)直线 l的方程为 y ，12| AF| BF|1.故选 A.答案：A7(2018东北三省四市联考(一)若点 P为抛物线 y2 x2上的动点， F为抛物线的焦点，则| PF|
5、的最小值为( )A2 B.12C. D.14 183解析：本题考查抛物线的定义抛物线 y2 x2上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，所以最小距离是 ，又 2p ，则 ，即| PF|的最小值为 ，故选 D.p2 12 p2 18 18答案：D8(2018甘肃省五掖市高三第一次考试)已知抛物线 y28 x的焦点到双曲线E： 1( a0， b0)的渐近线的距离不大于 ，则双曲线 E的离心率的取值范围是( )x2a2 y2b2 3A(1， B(1,22C ，) D2，)2解析：抛物线 y28 x的焦点为(2,0)，双曲线的一条渐近线方程为 bx ay0，由题知 ，化简得 b23 a2，又 c2 a
6、2 b2， c24 a2， e2，又|2b|a2 b2 3e1， e(1,2答案：B9(2018广州毕业班测试(二)已知点 A(4,4)在抛物线 y22 px(p0)上，该抛物线的焦点为 F，过点 A作该抛物线准线的垂线，垂足为 E，则 EAF的平分线所在的直线方程为( )A2 x y120 B x2 y120C2 x y40 D x2 y40解析：本题考查抛物线的定义、直线的方程因为点 A(4,4)在抛物线 y22 px(p0)上，所以 168 p，解得 p2，所以抛物线的方程为 y24 x，所以焦点为 F(1,0)，准线方程为 x1， E(1,4)由抛物线的定义可得| AF| AE|，所以
7、 EAF的平分线所在的直线就是线段 EF的垂直平分线因为 kEF 2，所以 EAF的平分线所在的直线的4 0 1 1斜率为 ，所以所求方程为 y4 (x4)，即 x2 y40，故选 D.12 12答案：D10(2017新课标全国卷)已知 F为抛物线 C： y24 x的焦点，过 F作两条互相垂直的直线 l1， l2，直线 l1与 C交于 A， B两点，直线 l2与 C交于 D， E两点，则|AB| DE|的最小值为( )A16 B14C12 D104解析：因为 F为 y24 x的焦点，所以 F(1,0)由题意直线 l1， l2的斜率均存在，且不为 0，设 l1的斜率为 k，则 l2的斜率为 ，1
8、k故直线 l1， l2的方程分别为 y k(x1)， y (x1)1k由Error! 得 k2x2(2 k24) x k20.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x21，2k2 4k2所以| AB| |x1 x2|1 k2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 .1 k22k2 4k2 2 4 4 1 k2k2同理可得| DE|4(1 k2)所以| AB| DE| 4(1 k2)4 1 k2k24（ 11 k2)1k284（ k2 ）84216，1k2当且仅当 k2 ，即 k1 时，取得等号1k2故选 A.答案：A二、填空题11(2018山西五校联考)抛物线
9、x210 y的焦点在直线 2mx my10 上，则m_.解析：抛物线的焦点为 ，代入直线方程 2mx my10，可得 m .(0， 52) 25答案：2512(2018湖南省东部六校质检)已知椭圆的中心在原点，离心率 e ，且它的一个12焦点与抛物线 y24 x的焦点重合，则此椭圆方程为_5解析：依题意，可设椭圆的标准方程为 1( ab0)，由已知可得抛物线的焦点x2a2 y2b2为(1,0)，所以 c1，又离心率 e ，解得 a2， b2 a2 c23，所以椭圆方程为ca 12 1.x24 y23答案： 1x24 y2313(2017天津卷，12)设抛物线 y24 x的焦点为 F，准线为 l
10、.已知点 C在 l上，以C为圆心的圆与 y轴的正半轴相切于点 A.若 FAC120，则圆的方程为_解析：本题主要考查抛物线的几何性质，圆的方程由抛物线的方程可知 F(1,0)，准线方程为 x1，设点 C(1， t)， t0，则圆 C的方程为( x1) 2( y t)21，因为 FAC120， CA y轴，所以 OAF30，在 AOF中， OF1，所以 OA ，即 t ，3 3故圆 C的方程为( x1) 2( y )21.3答案：( x1) 2( y )21314(2017山东卷)在平面直角坐标系 xOy中，双曲线 1( a0， b0)的右支x2a2 y2b2与焦点为 F的抛物线 x22 py(
11、p0)交于 A， B两点若| AF| BF|4| OF|，则该双曲线的渐近线方程为_解析：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)由Error! 得 a2y22 pb2y a2b20， y1 y2 .2pb2a2又 | AF| BF|4| OF|， y1 y2 4 ，即 y1 y2 p，p2 p2 p2 p，即 ， ，2pb2a2 b2a2 12 ba 226 双曲线的渐近线方程为 y x.22答案： y x22能力挑战15(2017新课标全国卷文科)设 A， B为曲线 C： y 上两点， A与 B的横坐标之x24和为 4.(1)求直线 AB的斜率；(2)设 M为曲线 C上一点， C在 M
12、处的切线与直线 AB平行，且 AM BM，求直线 AB的方程解析：(1)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2， y1 ， y2 ， x1 x24，x214 x24于是直线 AB的斜率 k 1.y1 y2x1 x2 x1 x24(2)由 y ，得 y .x24 x2设 M(x3， y3)，由题设知 1，解得 x32，于是 M(2,1)x32设直线 AB的方程为 y x m，故线段 AB的中点为 N(2,2 m)，| MN| m1|.将 y x m代入 y 得 x24 x4 m0.x24当 16( m1)0，即 m1 时， x1,222 .m 1从而| AB| |x1 x2|4 .2 2 m 1由题设知| AB|2| MN|，即 4 2( m1)，解得 m7.2 m 1所以直线 AB的方程为 y x7.
