1、154 数列求和重点保分 两级优选练A级一、选择题1已知等差数列 an的前 n项和为 Sn，且 S210， S555，则 an100 an98 ( )A8 n6 B4 n1 C8 n3 D4 n3答案 A解析 设等差数列 an的公差为 d，则 Sn na1 d，由 S210， S555，可得n n 12Error!得Error! 所以 an a1( n1) d4 n1，则 an100 an98 2 an1 8 n6.故选 A.2已知等差数列 an的前 n项和为 Sn，且满足 1，则数列 an的公差是( )S33 S22A1 B2 C4 D6答案 B解析 由 1 得 a1 d 1，所以 d2.故
2、选 B.S33 S22 a1 a2 a33 a1 a22 2a1 d2 d23若两个等差数列 an和 bn的前 n项和分别是 Sn， Tn，已知 ，则 ( )SnTn 7nn 3 a5b5A. B. 23 278C7 D.214答案 D解析 .故选 D.a5b5 2a52b5 a1 a9b1 b99 a1 a929 b1 b92 S9T9 799 3 2144已知函数 f(n)Error!且 an f(n) f(n1)，则 a1 a2 a3 a100等于( )A0 B100 C100 D102答案 B解析 由题意，得a1 a2 a1001 22 22 23 23 24 24 25 299 21
3、00 2100 2101 2(12)(32)(99100)(101100)100.故选 B.25已知数列 an满足 an1 ，且 a1 ，则该数列的前 2018项的和等于( )12 an a2n 12A1512 B1513 C1513.5 D2018答案 C解析 因为 a1 ，又 an1 ，12 12 an a2n所以 a21，从而 a3 ， a41，12即得 anError!故数列的前 2018项的和 S20181009 1513.5.故选 C.(112)6在数列 an中，已知对任意 nN *， a1 a2 a3 an3 n1，则a a a a 等于( )21 2 23 2nA(3 n1)
4、2 B. (9n1)12C9 n1 D. (3n1)14答案 B解析 因为 a1 a2 an3 n1，所以 a1 a2 an1 3 n1 1( n2)则 n2时， an23 n1 .当 n1 时， a1312，适合上式，所以 an23 n1 (nN *)则数列 a 是首项为2n4，公比为 9的等比数列故选 B.7设直线 nx( n1) y (nN *)与两坐标轴围成的三角形面积为 Sn，则2S1 S2 S2017的值为( )A. B. 20142015 20152016C. D.20162017 20172018答案 D解析 直线与 x轴交于 ，与 y轴交于 ， Sn (2n， 0) (0，
5、2n 1) 12 2n 2n 1 .1n n 1 1n 1n 1原式 1 .故选 D.(112) (12 13) ( 12017 12018) 12018 201720188已知 an为等比数列， Sn是它的前 n项和若 a3a5 a1，且 a4与 a7的等差中项为 ，14 98则 S5等于( )A35 B33 C31 D29答案 C3解析 设等比数列 an的公比是 q，所以 a3a5 a q6 a1，得 a1q6 ，即 a7 .又2114 14 14a4 a72 ，解得 a42，所以 q3 ，所以 q ， a116，故 S5 98 a7a4 18 12 a1 1 q51 q31. 故选 C.
6、16(1 132)1 129已知等比数列 an的前 n项和为 Sn，则下列说法中一定成立的是( )A若 a30，则 a20170，则 a20180，则 S20170 D若 a40，则 S20180答案 C解析 等比数列 an的公比 q0.对于 A，若 a30，则 a1q20，所以 a10，所以a2017 a1q20160，所以 A不成立；对于 B，若 a40，则 a1q30，所以 a1q0，所以a2018 a1q20170，所以 B不成立；对于 C，若 a30，则 a1 0，所以当 q1 时， S20170，a3q2当 q1 时， S2017 0(1 q与 1 q2017同号)，所以 C一定成
7、立，易知 D不a1 1 q20171 q一定成立故选 C.10在数列 an中， an0， a1 ，如果 an1 是 1与 的等比中项，那么 a112 2anan 1 14 a2n 的值是( )a222 a332 a442 a1001002A. B. 10099 101100C. D.100101 99100答案 C解析 由题意，可得 a (2an1 anan1 1)(2 an1 anan1 1)2n 12anan 1 14 a2n0 an1 an1 1 1， ( n1)12 an an 12 an 1an 1 1 1an 1 1an 1 112 1 n1 an ， a1 1 nn 1 ann2
8、 1n n 1 1n 1n 1 a222 a1001002 12 12 13 .故选 C.1100 1101 100101二、填空题11 Sn11111111 _.1n个答案 10n 1 9n 10814解析 an (10n1)，19 Sn11111111 1n个 (101)(10 21)(10 n1)19 (1010 210 n) n19 .1910 10n 19 n 10n 1 9n 108112数列 an满足： a1 ，且 an1 (nN *)，则43 4 n 1 an3an n _.1a1 2a2 3a3 2018a2018答案 2017 23 1342018解析 由题意可知 1 ，又
9、 1 ，所以数列n 1an 1 34 14 nan n 1an 1 14(nan 1) 1a1 14是以 为首项，以 为公比的等比数列，所以 1 ，nan 1 14 14 nan 14n所以 n n ，1a1 2a2 3a3 nan14(1 14n)1 14 13 13 14n则 2018 2017 .1a1 2a2 3a3 2018a2018 13 13 142018 23 134201813设 f(x) ，利用课本中推导等差数列前 n项和的公式的方法，可求得12x 2f(5) f(4) f(0) f(5) f(6)的值为_答案 3 2解析 6(5)1， f(5)， f(4)， f(5)，
10、f(6)共有 11112 项由 f(5)， f(6)； f(4)， f(5)； f(0)， f(1)共有 6对，且该数列为等差数列又 f(0) f(1) ，11 2 12 2 11 2 12 1 2 2 12 1 2 12 22 f(5) f(4) f(6)6 3 .22 214已知数列 an的各项均为正整数，其前 n项和为 Sn，若 an1 Error!且 S310，则S2016_.答案 6720解析 当 a1为奇数时， a2 ，此时若 a2为奇数，则a1 125a3 ， S3 a1 10，解得 a15，此时a2 12 a1 12 12 a1 34 a1 12 a1 34 7a1 54数列
11、an为 5,3,2,5,3,2，.当 a1为奇数时， a2 ，此时若 a2为偶数，则a1 12a33 a21 1 ，3 a1 12 3a1 12 S3 a1 3 a1110，解得 a13，此时数列 an为a1 12 3a1 123,2,5,3,2,5，.当 a1为偶数时， a23 a11，此时 a2为奇数，则 a3 a2 12 ， S3 a13 a11 a1110，解得 a12，此时数列 an为 3a1 1 12 3a12 3a12 1122,5,3,2,5,3，.上述三种情况中，数列 an均为周期数列67232016， S2016672 S36720.B级三、解答题15已知 Sn是数列 an
12、的前 n项和，且满足 Sn2 an n4.(1)证明： Sn n2为等比数列；(2)求数列 Sn的前 n项和 Tn.解 (1)证明：由题意知 Sn2( Sn Sn1 ) n4( n2)，即 Sn2 Sn1 n4，所以 Sn n22 Sn1 ( n1)2，又易知 a13，所以 S1124，所以 Sn n2是首项为 4，公比为 2的等比数列(2)由(1)知 Sn n22 n1 ，所以 Sn2 n1 n2，于是 Tn(2 22 32 n1 )(12 n)2 n 2 n4 1 2n1 2 n n 12.2n 3 n2 3n 8216已知各项均为正数的数列 an的前 n项和为 Sn，满足a 2 Sn n
13、4， a21， a3， a7恰为等比数列 bn的前 3项2n 1(1)求数列 an， bn的通项公式；(2)若 cn ，求数列 cn的前 n项和 Tn.log2bnbn 1anan 1解 (1)因为 a 2 Sn n4，所以 a 2 Sn1 n14( n2)，两式相减得2n 1 2na a 2 an1，所以 a a 2 an1( an1) 2，2n 1 2n 2n 1 2n所以 an1 an1.又 a ( a21) a7，所以( a21) 2( a21)( a25)，解得 a23，又 a 2 a114，所23 2以 a12，所以 an是以 2为首项，1 为公差的等差数列，所以 an n1.故b
14、12， b24， b38，所以 bn2 n.6(2)由(1)得， cn ，n2n 1 n 1 n 2故 Tn c1 c2 cn Error! Error!.(12 24 n2n) 134设 Fn ，则 Fn ，作差得 Fn 12 24 n2n 12 122 223 n2n 1 12 12 122 12n，n2n 1所以 Fn2 .n 22n设 Gn 123 134 1 n 1 n 2 12 13 13 14 1n 1 1n 2 12，所以 Tn2 .1n 2 n 22n (12 1n 2) 32 n 22n 1n 217已知等差数列 an的前 n项和为 Sn，若 Sm1 4， Sm0， Sm2
15、 14( m2，且mN *)(1)求 m的值；(2)若数列 bn满足 log 2bn(nN *)，求数列( an6) bn的前 n项和an2解 (1)由已知得， am Sm Sm1 4，且 am1 am2 Sm2 Sm14，设数列 an的公差为 d，则有 2am3 d14， d2.由 Sm0，得 ma1 20，即 a11 m，m m 12 am a1( m1)2 m14， m5.(2)由(1)知 a14， d2， an2 n6， n3log 2bn，得 bn2 n3 ，( an6) bn2 n2n3 n2n2 .设数列( an6) bn的前 n项和为 Tn，则 Tn12 1 22 0( n1)
16、2 n3 n2n2 ，2Tn12 022 1( n1)2 n2 n2n1 ，得 Tn2 1 2 02 n2 n2n1 n2n1 2 n1 n2n1 ，2 1 1 2n1 2 12 Tn( n1)2 n1 (nN *)1218在等比数列 an中， a10， nN *，且 a3 a28，又 a1， a5的等比中项为 16.(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bnlog 4an，数列 bn的前 n项和为 Sn，是否存在正整数 k，使得7 k对任意 nN *恒成立，若存在，求出正整数 k的最小值；若不存在，1S1 1S2 1S3 1Sn请说明理由解 (1)设数列 an的公比为 q，由题意可得 a3
17、16，a3 a28，则 a28， q2， a14，所以 an2 n1 .(2)bnlog 42n1 ，n 12Sn b1 b2 bn .n n 34 ，1Sn 4n n 3 43(1n 1n 3)所以 1S1 1S2 1S3 1Sn43(11 14 12 15 13 16 1n 1n 3)43(1 12 13 1n 1 1n 2 1n 3) 43 116 43 ( 1n 1 1n 2 1n 3) .229 43 ( 1n 1 1n 2 1n 3)当 n1 时， 12 ；1S1 229当 n2 时， 1S1 1S2 1Sn 3.229 43( 1n 1 1n 2 1n 3)229故存在 k3 时，对任意的 nN *都有 3.1S1 1S2 1S3 1Sn
