1、112 命题及其关系、充分条件与必要条件知识梳理1命题2四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系2(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题，在四种形式的命题中真命题的个数只能是 0,2,4.(3)写一个命题的其他三种命题时，需注意：对于不是“若 p，则 q”形式的命题，需先改写；当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提；对于有多个并列条件的命题，应把其中一个作为大前提3充要条件(1)集合与充要条件3(2)充分条件与必要条件的两个特征对称性：若 p是 q的充分条件，则 q是 p的必要条件，即“ pq”“qp”传递性：若 p是 q的充分(必要)
2、条件， q是 r的充分(必要)条件，则 p是 r的充分(必要)条件，即“ pq且 qr”“pr”(“pq且 qr”“pr”)诊断自测1概念思辨(1)“x22 x31”是“ x0”的充分不必要条件. ( )答案 (1) (2) (3) (4)2教材衍化(1)(选修 A21P 8T2)命题“若 x， y都是偶数，则 x y也是偶数”的逆否命题是( )A若 x y是偶数，则 x与 y不都是偶数B若 x y是偶数，则 x与 y都不是偶数C若 x y不是偶数，则 x与 y不都是偶数D若 x y不是偶数，则 x与 y都不是偶数答案 C解析 若命题为“若 p，则 q”，命题的逆否命题为“若非 q，则非 p”
3、，所以原命题的逆否命题是“若 x y不是偶数，则 x与 y不都是偶数” 故选 C.(2)(选修 A21P 10T4)x23 x20 是 x1 的_条件答案 充分不必要解析 若 x23 x20，则 x1 且 x2，此时充分性成立，当 x2 时，满足x1，但此时 x23 x20 成立，即必要性不成立，即 x23 x20 是 x1 的充分不必要条件3小题热身(1)(2017浙江高考)已知等差数列 an的公差为 d，前 n项和为 Sn，则“ d0”是“S4 S62 S5”的( )4A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案 C解析 解法一：数列 an是公差为 d的等差
4、数列， S44 a16 d， S55 a110 d， S66 a115 d， S4 S610 a121 d,2S510 a120 d.若 d0，则 21d20d,10a121 d10a120 d，即 S4 S62S5.若 S4 S62S5，则 10a121 d10a120 d，即 21d20d， d0.“ d0”是“ S4 S62S5”的充分必要条件故选 C.解法二： S4 S62S5S4 S4 a5 a62(S4 a5)a6a5a5 da5d0，“ d0”是“ S4 S62S5”的充分必要条件故选 C.(2)(2017山东潍坊高三期末)命题“若 x5，则 x28 x150” ，那么它的逆命题
5、、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题有( )A0 个 B1 个 C2 个 D3 个答案 B解析 原命题“若 x5，则 x28 x150”为真命题，又当 x28 x150 时，x3 或 5.故其逆命题：“若 x28 x150，则 x5”为假命题又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题，否命题为假命题故选 B.题型 1 四种命题的关系及真假判断 已知：命题“若函数 f(x)e x mx在(0，)上是增函数，则 m1” ，则 典 例 1下列结论正确的是( )A否命题是“若函数 f(x)e x mx在(0，)上是减函数，则 m1”，是真命题B逆命题是“若 m1，则函数 f(x)e x mx在
6、(0，)上是增函数” ，是假命题C逆否命题是“若 m1，则函数 f(x)e x mx在(0，)上是减函数” ， 是真命题D逆否命题是“若 m1，则函数 f(x)e x mx在(0，)上不是增函数” ，是真命题本题用四种命题中真假性的等价关系进行判断答案 D解析 由 f(x)e x mx在(0，)上是增函数，则 f( x)e x m0 在(0，)上恒成立， m1.因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若 m1，则函数 f(x)e x mx在(0，)5上不是增函数”是真命题故选 D.(2018黄梅期末)给出下列命题： 典 例 2命题“若 b24 acb0，则 0”的逆否命题；3a3b“若 m1，则
7、mx22( m1) x( m3)0 的解集为 R”的逆命题其中真命题的序号为_分清原命题的条件与结论写出所要命题，进行判断答案 解析 命题“若 b24 acb0，则 0”是真命题，它的逆否命题也是真命题；3a3b命题“若 m1，则 mx22( m1) x( m3)0 的解集为 R”的逆命题是“若mx22( m1) x( m3)0 的解集为 R，则 m1”是假命题，不等式的解集为 R时，Error!的解集为，逆命题是假命题；真命题有.方法技巧四种命题关系及真假判断的方法1由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若 p，则 q”的形式，应先改写成“若 p，则 q”的形
8、式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变例如典例 2.2判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例见教材衍化 2.3根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假例如冲关针对训练 2.冲关针对训练1(2018陕西模拟)原命题为“若 z1， z2互为共轭复数，则| z1| z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A真，假，真 B假，假，真C真，真，假 D假，假，假答案 B6解析 先证原命题为真：当 z1， z2互为共轭复数时，设 z1 a
9、bi(a， bR)，则z2 a bi，则| z1| z2| ，原命题为真，故逆否命题为真；再证逆命题为假：a2 b2取 z11， z2i，满足| z1| z2|，但是 z1， z2不互为共轭复数，逆命题为假，故否命题也为假故选 B.2(2017沐阳县期中)以下四个命题中是真命题的有_(填序号)命题“若 xy1，则 x， y互为倒数”的逆命题；命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题；命题“若 A B B，则 AB”的逆否命题答案 解析 对于，命题“若 xy1，则 x， y互为倒数”的逆命题是“若 x， y互为倒数，则 xy1” ，它是真命题；对于，命题“面积相等的两个三角形全等”的否命题是“面
10、积不相等的两个三角形不全等” ，它是真命题；对于，命题“若 A B B，则 AB”是假命题，它的逆否命题也是假命题；综上，正确的命题是.题型 2 充分条件与必要条件的判定角度 1 利用定义判断充分、必要条件(2018赣中南五校联考)已知 ， 均为第一象限角，那么 是 典 例sin sin 的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件利用定义结合特殊值法进行判断答案 D解析 由 ， 均为第一象限角，可取 2 ， ，有 ，但3 3sin sin ，即 不是 sin sin 的充分条件；又由 ， 均为第一象限角，可取 ， 2 ，有 sin sin 成立，但 不是 si
11、n sin 的3 6必要条件，综上所述， 是 sin sin 的既不充分也不必要条件故选 D.角度 2 等价转化法判断充分、必要条件(2018阳山模拟)“ a1 或 b2”是“ a b3”的( ) 典 例A必要不充分条件 B既不充分也不必要条件C充要条件 D充分不必要条件用等价转化法答案 A解析 由题意得：命题“若 a1 或 b2，则 a b3”与命题“若 a b3，则 a1 且 b2”互为7逆否命题判断命题“若 a1 或 b2，则 a b3”的真假只要判断命题“若 a b3，则a1 且 b2”的真假即可因为命题“若 a b3，则 a1 且 b2”显然是假命题所以命题“若 a1 或 b2，则
12、a b3”是假命题， a1 或 b2 推不出 a b3.同理“若 a1 且 b2，则 a b3”是真命题，命题“若 a b3，则 a1 或 b2”是真命题 a b3 a1 或 b2.“ a1 或 b2”是“ a b3”的必要不充分条件故选 A.角度 3 集合法判断充分、必要条件(2017天津高考)设 R，则“ ”是“sin 典 例 | 12| 12 ”的( )12A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件用集合法答案 A解析 0 ，sin | 12| 12 12 12 12 6 12， kZ，(2k 76， 2k 6) ， kZ，(0，6) (2k 76， 2k
13、6)“ 112用数形结合法答案 A解析 因为函数 f(x)过点(1,0)，所以函数 f(x)有且只有一个零点函数y2 x a(x0)没有零点函数 y2 x(x0)与直线 y a无公共点由数形结合，可得a0 或 a1.8观察选项，根据集合间关系 a|a1故选 A.方法技巧充分条件和必要条件的三种判断方法1定义法：可按照以下三个步骤进行(1)确定条件 p是什么，结论 q是什么；(2)尝试由条件 p推结论 q，由结论 q推条件 p；(3)确定条件 p和结论 q的关系见角度 1典例2等价转化法：对于含否定形式的命题，如綈 p是綈 q的什么条件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求 q是 p的什么条
14、件见角度 2典例3集合法：根据 p，q 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断设 Ax|p(x)，Bx|q(x)，若 AB，则 p是 q的充分条件或 q是 p的必要条件；若 AB，则 p是 q的充分不必要条件，若 AB，则 p是 q的充要条件见角度 3典例冲关针对训练1(2018石家庄模拟)命题 p：| x|0，若綈 p是綈 q的充分不必要条件，则 a的取10值范围为_答案 1,6解析 綈 p是綈 q的充分不必要条件， q是 p的充分不必要条件对于 p，| x a|0)，且綈 p|1x 13 |是綈 q的必要而不充分条件，则实数 m的取值范围为_答案 9，)解析 解法一：由 2，得2 x10，
15、|1x 13 |綈 p对应的集合为 x|x10或 x10或 x0)，得 1 m x1 m(m0)，綈 q对应的集合为 x|xm1 或 x0，设 B x|xm1 或 x0綈 p是綈 q的必要而不充分的条件， BA，Error!且不能同时取得等号解得 m9，实数 m的取值范围为9，)解法二：綈 p是綈 q必要而不充分条件， q是 p的必要而不充分条件，即 p是 q的充分而不必要条件，由 x22 x1 m20( m0)，得 1 m x1 m(m0) q对应的集合为x|1 m x1 m， m0，设 M x|1 m x1 m， m0，又由 2，得2 x10，|1x 13 | p对应的集合为 x|2 x1
16、0设 N x|2 x10，由 p是 q的充分而不必要条件知 NM，Error!且不能同时取等号，解得 m9.实数 m的取值范围为9，)基础送分 提速狂刷练一、选择题1下列命题中是真命题的是( )“若 x2 y20，则 x， y不全为零”的否命题；“正多边形都相似”的逆命题；“若 x3 是有理数，则 x是无理数”的逆否命题 A B C D答案 B12解析 对于，其否命题是“若 x2 y20，则 x， y全为零” ，这显然是正确的，故为真命题；对于，其逆命题是“若两多边形相似，则它们一定是正多边形” ，这显然是错误的，故为假命题；对于，原命题为真，故逆否命题也为真因此是真命题的是.故选 B.2(2
17、018河南八市联考)命题“若 ab，则 a cb c”的否命题是( )A若 a b，则 a c b c B若 a c b c，则 a bC若 a cb c，则 ab D若 ab，则 a c b c答案 A解析 否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若 ab，则 a cb c”的否命题是“若 a b，则 a c b c”故选 A.3(2018曲阜模拟)已知 p：函数 f(x)| x a|在(，1)上是单调函数， q：函数 g(x)log a(x1)( a0且 a1)在(1，)上是增函数，则綈 p是 q的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 C解析
18、易知 p成立 a1， q成立 a1，所以綈 p成立 a1，则綈 p是 q的充要条件故选 C.4下列命题正确的是( )A若 p q为真命题，则 p q为真命题B “a0， b0”是“ 2”的充分必要条件ba abC命题“若 x23 x20，则 x1 或 x2”的逆否命题为“若 x1 或 x2，则x23 x20”D命题 p： xR， x2 x10， b0，则 2，又当 a0， b0”是“ 2”的充分不必要条件，故 B错误；命题“若 x23 x20，则ba abx1 或 x2”的逆否命题为“若 x1 且 x2，则 x23 x20” ，故 C错误，易知 D正确故选 D.5 “a0时， a11；当 a0
19、)，则 a， b之间的关系是( )A b B ba2 a2 b2 b2答案 A解析 f(x)2 x3，且| f(x)1|0)， ( b1， b1)，( 2 a2 ， 2 a2 )Error!14解得 b .故选 A.a29(2018江西一联)已知 i为虚数单位， a为实数，复数 z(12i)( ai)在复平面内对应的点为 M，则“ a0”是“点 M在第四象限”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 B解析 复数 z(12i)( ai) a22 aii a2(12 a)i在复平面内对应的点为 M(a2,12 a)若 a0，则 a20，但 12 a的正负不
20、确定，所以点 M是否在第四象限也是不确定的；若点 M在第四象限，则Error!解得 a ，此时可推出 a0.所以“ a0”是12“点 M在第四象限”的必要不充分条件故选 B.10(2017湖北七市联考)已知圆 C：( x1) 2 y2 r2(r0)设 p：00时， A x|a0时，有Error!解得 1m； s(x)： x2 mx10.如果xR， r(x)与 s(x)有且仅有一个是真命题，则实数 m的取值范围是 _答案 (，2 ，2)2解析 由 sinxcos x sin ，2 (x4)得 sinxcos x的最小值为 .2若 xR 时，命题 r(x)为真命题，则 m0 恒成立，则 m241时， a2 a，此时集合 N x|2 a ；94当 a 或 a .94 14
