1、1第三节 圆的方程考纲传真 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想(对应学生用书第 114 页)基础知识填充1圆的定义及方程定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程 (x a)2( y b)2 r2(r0) 圆心( a， b)，半径 r一般方程x2 y2 Dx Ey F0，(D2 E24 F0)圆心 ，(D2， E2)半径12D2 E2 4F2. 点与圆的位置关系点 M(x0， y0)与圆( x a)2( y b)2 r2的位置关系：(1)若 M(x0， y0)在圆外，则( x0 a)2( y0 b)2 r2.(2)若
2、M(x0， y0)在圆上，则( x0 a)2( y0 b)2 r2.(3)若 M(x0， y0)在圆内，则( x0 a)2( y0 b)2 r2.知识拓展1二元二次方程 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F0 表示圆的充要条件是Error!2以 A(x1， y1)， B(x2， y2)为直径端点的圆的方程为( x x1)(x x2)( y y1)(y y2)0.基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径( )(2)方程( x a)2( y b)2 t2(tR)表示圆心为( a， b)，半径为 t 的一个圆( )(3)方程 A
3、x2 Bxy Cy2 Dx Ey F0 表示圆的充要条件是A C0， B0， D2 E24 AF0.( )(4)若点 M(x0， y0)在圆 x2 y2 Dx Ey F0 外，则 x y Dx0 Ey0 F0.( )20 20解析 由圆的定义及点与圆的位置关系，知(1)(3)(4)正确(2)中，当 t0 时，表示圆心为( a， b)，半径为| t|的圆，不正确答案 (1) (2) (3) (4)2(教材改编)方程 x2 y2 ax2 ay2 a2 a10 表示圆，则 a 的取值范围是( )2A a2 或 a B a023 23C2 a0 D2 a23D 由题意知 a24 a24(2 a2 a1
4、)0，解得2 a .233(2016全国卷)圆 x2 y22 x8 y130 的圆心到直线 ax y10 的距离为 1，则 a( )A B 43 34C D23A 圆 x2 y22 x8 y130，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线 ax y10 的距离 d 1，解得 a .|a 4 1|a2 1 434(2017西安质检)若圆 C 的半径为 1，其圆心与点(1,0)关于直线 y x 对称，则圆 C 的标准方程为_x2( y1) 21 两圆关于直线对称则圆心关于直线对称，半径相等，则圆 C 的圆心为(0,1)，半径为 1，标准方程为 x2( y1) 21.5圆 C 的圆心在 x 轴上，并且
5、过点 A(1,1)和 B(1,3)，则圆 C 的方程为_. 【导学号：00090274】(x2) 2 y210 设圆心坐标为 C(a,0)，点 A(1,1)和 B(1,3)在圆 C 上，| CA| CB|，即 ， a 1 2 1 a 1 2 9解得 a2，所以圆心为 C(2,0)，半径| CA| ， 2 1 2 1 10圆 C 的方程为( x2) 2 y210.(对应学生用书第 115 页)求圆的方程(1)(2015全国卷)已知三点 A(1,0)， B(0， )， C(2， )，则 ABC 外接圆的3 3圆心到原点的距离为( )A B 53 213C D253 43(2)(2016天津高考)已
6、知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， )在圆 C 上，且圆53心到直线 2x y0 的距离为 ，则圆 C 的方程为_455(1)B (2)( x2) 2 y29 (1)法一：在坐标系中画出 ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得| AB| AC| BC|2(也可以借助图形直接观察得出)，所以 ABC 为等边三角形设 BC 的中点为 D，点 E 为外心，同时也是重心所以| AE| |AD| ，从而23 233|OE| ，故选 B|OA|2 |AE|21 43 213法二：设圆的一般方程为 x2 y2 Dx Ey F0，则Error! 解得Error!所以 ABC 外接圆的圆心为
7、.(1，233)因此圆心到原点的距离 d .12 (233)2 213(2)因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C(a,0)，且 a0，所以圆心到直线 2x y0 的距离 d ，解得 a2，2a5 455所以圆 C 的半径 r| CM| 3，4 5所以圆 C 的方程为( x2) 2 y29.规律方法 1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程2待定系数法求圆的方程：若已知条件与圆心( a， b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于 a， b， r 的方程组，从而求出 a， b， r 的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的
8、一般方程，依据已知条件列出关于 D， E， F 的方程组，进而求出 D， E， F 的值温馨提醒：解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质变式训练 1 (1)(2018郑州模拟)经过点 A(5,2)， B(3，2)，且圆心在直线2x y30 上的圆的方程为_. 【导学号：00090275】(2)(2018青岛模拟)圆心在直线 x2 y0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 ，则圆 C 的标准方程为_3(1)x2 y24 x2 y50(或( x2) 2( y1) 210) (2)( x2) 2( y1) 24 (1)法一：圆过 A(5,2)， B
9、(3，2)两点，4圆心一定在线段 AB 的垂直平分线上易知线段 AB 的垂直平分线方程为 y (x4)12设所求圆的圆心为 C(a， b)，则有Error!解得 a2，且 b1.因此圆心坐标 C(2,1)，半径 r| AC| .10故所求圆的方程为( x2) 2( y1) 210.法二：设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F0( D2 E24 F0)，则Error! 解得 D4， E2， F5，所求圆的方程为 x2 y24 x2 y50.(2)设圆 C 的圆心为( a， b)(b0)，由题意得 a2 b0，且 a2( )2 b2，解得3a2， b1，故所求圆的标准方程为( x2) 2( y1
10、) 24.与圆有关的最值问题已知 M(x， y)为圆 C： x2 y24 x14 y450 上任意一点，且点 Q(2,3)(1)求| MQ|的最大值和最小值；(2)求 的最大值和最小值y 3x 2解 (1)由圆 C： x2 y24 x14 y450，可得( x2) 2( y7) 28，圆心 C 的坐标为(2,7)，半径 r2 .2又| QC| 4 ， 2 2 2 7 3 2 2| MQ|max4 2 6 ，2 2 2|MQ|min4 2 2 .2 2 2(2)可知 表示直线 MQ 的斜率 k.y 3x 2设直线 MQ 的方程为 y3 k(x2)，即 kx y2 k30.由直线 MQ 与圆 C
11、有交点，所以 2 ，|2k 7 2k 3|1 k2 2可得 2 k2 ，3 3 的最大值为 2 ，最小值为 2 .y 3x 2 3 3母题探究 1 (变化结论)在本例的条件下，求 y x 的最大值和最小值解 设 y x b，则 x y b0.当直线 y x b 与圆 C 相切时，截距 b 取到最值， 2 ， b9 或 b1.|2 7 b|12 1 2 25因此 y x 的最大值为 9，最小值为 1.母题探究 2 (变换条件)若本例中条件“点 Q(2,3)”改为“点 Q 是直线 3x4 y10上的动点” ，其它条件不变，试求| MQ|的最小值解 圆心 C(2,7)到直线 3x4 y10 上动点
12、Q 的最小值为点 C 到直线3x4 y10 的距离，| QC|min d 7.|23 74 1|32 42又圆 C 的半径 r2 ，| MQ|的最小值为 72 .2 2规律方法 1.处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，数形结合求解2某些与圆相关的最值可利用函数关系求解根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、函数的性质、基本不等式求最值是比较常用的变式训练 2 已知实数 x， y 满足方程 x2 y24 x10.(1)求 的最大值和最小值；yx(2)求 y x 的最大值和最小值；(3)求 x2 y2的最大值和最小值
13、解 原方程可化为( x2) 2 y23，表示以(2,0)为圆心， 为半径的圆3(1) 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，yx所以设 k，即 y kx.yx当直线 y kx 与圆相切时，斜率 k 取最大值或最小值，此时 ，解得|2k 0|k2 1 3k (如图 1)3所以 的最大值为 ，最小值为 .yx 3 3图 1 图 2 图 3(2)y x 可看作是直线 y x b 在 y 轴上的截距，当直线 y x b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时 ，解得 b2 (如图 2)|2 0 b|2 3 66所以 y x 的最大值为2 ，最小值为2 .6 6(3)x2 y2表示圆上的一点与原
14、点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图 3)又圆心到原点的距离为 2， 2 0 2 0 0 2所以 x2 y2的最大值是(2 )274 ， x2 y2的最小值是(2 )274 .3 3 3 3与圆有关的轨迹问题(2018烟台模拟)已知圆 x2 y24 上一定点 A(2,0)， B(1,1)为圆内一点， P， Q为圆上的动点(1)求线段 AP 中点的轨迹方程；(2)若 PBQ90，求线段 PQ 中点的轨迹方程解 (1)设 AP 的中点为 M(x， y)，由中点坐标公式可知， P 点坐标为(2 x2,2 y)因为 P 点在圆 x2 y24 上，所以
15、(2 x2) 2(2 y)24，故线段 AP 中点的轨迹方程为( x1) 2 y21.(2)设 PQ 的中点为 N(x， y)，在 Rt PBQ 中，|PN| BN|.设 O 为坐标原点，连接 ON(图略)，则 ON PQ，所以| OP|2| ON|2| PN|2| ON|2| BN|2，所以 x2 y2( x1) 2( y1) 24.故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2 y2 x y10.规律方法 求与圆有关的轨迹问题的四种方法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解(2)定义法：根据圆的定义列方程求解(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与
16、已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解变式训练 3 (2018武威模拟)设定点 M(3,4)，动点 N 在圆 x2 y24 上运动，以OM、 ON 为两边作平行四边形 MONP，求点 P 的轨迹解 如图所示，设 P(x， y)， N(x0， y0)，则线段 OP 的中点坐标为 ，线段 MN 的中(x2， y2)点坐标为 .由于平行四边形的对角线互相平分，(x0 32 ， y0 42 )7故 ， .x2 x0 32 y2 y0 42从而Error!又 N(x3， y4)在圆上，故( x3) 2( y4) 24.因此所求轨迹为圆：( x3) 2( y4) 24，但应除去两点 和 (点 P 在直线 OM 上的情况)(95， 125) ( 215， 285)
