1、1课时作业(四十一) 第 41 讲 直线、平面垂直的判定与性质时间 / 45 分钟 分值 / 100 分基础热身1.2017临沂三模 已知直线 a,b,平面 , ,若 a ,b ,则“ a b”是“ ”的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.2017广东五校一联 设 m,n 是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,下列命题中正确的是 ( )A. 若 ,m ,n ,则 m nB. m ,m n,n ,则 C. 若 m n,m ,n ,则 D. 若 ,m ,n ,则 m n3.已知互相垂直的平面 , 交于直线 l,若直线 m,n 满足 m ,
2、n ,则 ( )A. m l B. m n C. n l D. m n图 K41-14.如图 K41-1 所示,已知 PA平面 ABC,BC AC,则图中直角三角形的个数为 . 5.设直线 l平面 ,直线 m平面 ,给出下列四个命题: 若 m ,则 l m; 若 ,则l m; 若 l m,则 ; 若 ,则 l m.其中真命题的序号是 . 能力提升26.已知 m 和 n 是两条不同的直线, 和 是两个不重合的平面,那么下面给出的条件中一定能推出 m 的是( )A. ,且 m B. m n,且 n C. ,且 m D. m n,且 n 7.在矩形 ABCD 中, AB=1,BC= .将 ABD 沿
3、矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折,在翻折过2程中( )A. 存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直B. 存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直C. 存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直D. 对任意位置,三对直线“ AC 与 BD”“AB 与 CD”“AD 与 BC”均不垂直图 K41-28.如图 K41-2 所示,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中, M 为 AB 的中点,则点 C 到平面A1DM 的距离为( )A. a B. a63 66C. a D. a22 129.2017大连一模 下列命题中错误的是 ( )A. 如果平面 外的直线
4、 a 不平行于平面 ,则平面 内不存在与 a 平行的直线B. 如果平面 平面 ,平面 平面 , =l ,那么直线 l平面 C. 如果平面 平面 ,那么平面 内所有直线都垂直于平面 D. 一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,则必与另一个平面相交图 K41-3310.2017成都石室中学二诊 如图 K41-3 所示,在正四棱锥 S-ABCD 中, E,M,N 分别是BC,CD,SC 的中点,动点 P 在线段 MN 上运动时,给出下列四个结论:EP AC;EP BD;EP 平面 SBD;EP 平面 SAC.其中恒成立结论的序号为 ( )A. B. C. D. 图 K41-411.如图 K41-4
5、 所示, PA圆 O 所在的平面, AB 是圆 O 的直径, C 是圆 O 上的一点, E,F 分别是点 A 在 PB,PC 上的正投影,给出下列结论: AF PB;EF PB;AF BC;AE 平面 PBC.其中正确结论的序号是 . 图 K41-512.如图 K41-5 所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,侧棱 AA1底面 ABC,底面是以 ABC 为直角的等腰直角三角形, AC=2a,BB1=3a,D 是 A1C1的中点,点 F 在线段 AA1上,当 AF= 时,CF平面 B1DF. 13.(15 分)2017渭南二检 如图 K41-6 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD
6、 是矩形,且AD=2,AB=1,PA平面 ABCD,E,F 分别是线段 AB,BC 的中点 .(1)证明: PF FD;(2)若 PA=1,求点 E 到平面 PFD 的距离 .图 K41-6414.(15 分)2017济南二模 如图 K41-7 所示,三角形 PCD 所在的平面与等腰梯形 ABCD 所在的平面垂直, AB=AD= CD,AB CD,CP CD,M 为 PD 的中点 .12(1)求证: AM平面 PBC;(2)求证:平面 BDP平面 PBC.图 K41-75难点突破15.(10 分)2017郑州二模 如图 K41-8 所示,在高为 1 的等腰梯形 ABCD 中, AM=CD= A
7、B=1,M13为 AB 的一个三等分点 .现将 AMD 沿 MD 折起,使平面 AMD平面 MBCD,连接 AB,AC.(1)在 AB 边上是否存在点 P,使 AD平面 MPC?(2)当点 P 为 AB 边的中点时,求点 B 到平面 MPC 的距离 .图 K41-8课时作业(四十一)1. C 解析 由 a , ,得 a 或 a ,又 b ,所以 a b;反之若 a b,则 也成立 .2. B 解析 若 ,m ,n ,则 m 与 n 相交、平行或异面,故 A 错误;m ,m n,n ,又 n , ,故 B 正确;若 m n,m ,n ,则 与 平行或相交,故 C 错误;若 ,m ,n ,则 m
8、n 或 m,n 异面,故 D 错误 .3. C 解析 =l ,l ,又 n ,n l.4. 4 解析 PA 平面 ABC,PA AB,PA AC,PA BC,则 PAB, PAC 为直角三角形 .又 BC AC,且 AC PA=A,BC 平面 PAC,BC PC.因此 ABC, PBC 也是直角三角形 .65. 解析 因为 l ,m ,所以 l m, 为假命题;因为 l , ,所以 l ,又 m ,所以 l m, 为真命题;由 l m,直线 m平面 ,不能推出直线 l 垂直于平面 ,所以不能得到 , 为假命题;对于 ,直线 l 与 m 还可以相交或异面, 为假命题 .6. B 解析 ,且 m
9、m ,或 m ,或 m 与 相交,故 A 不正确;m n,且 n m ,故 B 正确; ,且 m m ,或 m ,或 m 与 相交,故 C 不正确 ;由 m n,且 n ,知 m 或 m 或 m 与 相交,故 D 不正确 .7. B 解析 当 AC=1 时,因为 CD=1,AD= ,所以 AC2+CD2=AD2,即 AC CD,又2BC CD,BC AC=C,所以 CD平面 ACB,所以 CD AB.故选 B.8. A 解析 设点 C 到平面 A1DM 的距离为 h,则由已知,得 DM=A1M= = a,A1D= a,2+(2)2 52 2= a = a2.112 2 (52)2-(22)2
10、64连接 CM,CA1,则 S CDM= a2,由 = ,得12 三棱 锥 -1三棱 锥 1-h= S CDMa,131 13即 a2h= a2a, 64 12所以 h= a,即点 C 到平面 A1DM 的距离为 a,故选 A.63 639. C 解析 如果平面 外的直线 a 不平行于平面 ,则 a 与 相交,则 内不存在与a 平行的直线,故 A 正确;如图所示, , =a , , =b , =l ,在 内取一点 P,过 P 作 PA a 于 A,作 PB b 于 B,由面面垂直的性质可得 PA l,PB l,则 l ,故 B 正确;如果平面 平面 ,那么平面 内的直线 l 与平面 有三种位置
11、关系: l ,l ,l与 相交,故 C 错误;7一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,则必与另一个平面相交,故 D 正确 .故选 C.10. A 解析 如图所示,记 AC 与 BD 的交点为 O,连接 EM,EN.对于 ,在正四棱锥 S-ABCD 中, AC BD,SO底面 ABCD,SO AC.SO BD=O,AC 平面 SBD.E ,M,N 分别是 BC,CD,SC 的中点, EM BD,MN SD,而EM MN=M, 平面 EMN平面 SBD,AC 平面 EMN,AC EP.故 正确 .对于 ,由异面直线的定义可知,当点 P 不与点 M 重合时, EP 与 BD 是异面直线, EP B
12、D 不恒成立,因此 不正确 .对于 ,由 可知,平面 EMN平面 SBD,EP 平面 SBD,因此 正确 .对于 ,由 可得, EM平面 SAC,若 EP平面 SAC,则 EP EM,与 EP EM=E 矛盾,因此当 P与 M 不重合时, EP 与平面 SAC 不垂直,即 不正确 .故选 A.11. 解析 由题意知 PA平面 ABC,PA BC.又 AC BC,PA AC=A,BC 平面PAC,BC AF.AF PC,BC PC=C,AF 平面 PBC,AF PB,AF BC.又AE PB,AE AF=A,PB 平面 AEF,PB EF.故 正确 .12. a 或 2a 解析 由题意易知 B1
13、D平面 ACC1A1,所以 B1D CF.要使 CF平面 B1DF,只需 CF DF 即可 .令 CF DF,设 AF=x,则 A1F=3a-x.由 Rt CAFRt FA1D,得 = ,11即 = ,23-整理得 x2-3ax+2a2=0,解得 x=a 或 x=2a.813. 解:(1)证明:连接 AF,则 AF= ,又 DF= ,AD=2,DF 2+AF2=AD2,DF AF.PA 平面2 2ABCD,DF PA,又 PA AF=A,DF 平面 PAF,又 PF平面 PAF,DF PF.(2)连接 EP,ED,EF.S EFD=S 矩形 ABCD-S BEF-S ADE-S CDF=2-
14、= ,5434V 三棱锥 P-EFD= S EFDPA= 1= .13 13 34 14设点 E 到平面 PFD 的距离为 h,则由 V 三棱锥 E-PFD=V 三棱锥 P-EFD,得 S PFDh= h= ,解得13 13 62 14h= ,即点 E 到平面 PFD 的距离为 .64 6414. 证明:(1)取 PC 的中点 N,连接 MN,BN,如图所示 .N 为 PC 的中点, M 为 PD 的中点, MN CD,MN= CD,又 AB CD,AB= CD,12 12MN AB,MN=AB, 四边形 ABNM 是平行四边形 .AM BN,又 AM 平面 PBC,BN平面 PBC,AM 平
15、面 PBC.(2)在等腰梯形 ABCD 中,取 CD 的中点 T,连接 AT,BT.AB= CD,AB CD,12AB DT,AB=DT, 四边形 ABTD 为平行四边形 .又 AB=AD, 四边形 ABTD 为菱形, AT BD.同理,四边形 ATCB 为菱形, AT BC,又 AT BD,BC BD. 平面 PCD平面 ABCD,平面 PCD平面 ABCD=CD,CP CD,CP 平面 ABCD,又 BD平面 ABCD,CP BD,又 BC BD,BC CP=C,BD 平面 PBC,又 BD平面 BDP, 平面 BDP平面 PBC.915. 解:(1)当 AP= AB 时,有 AD平面 M
16、PC.理由如下 .13如图所示,连接 BD 交 MC 于 N,连接 NP.在梯形 MBCD 中, DC MB, = = . 12 在 ADB 中, = ,AD PN.12AD 平面 MPC,PN平面 MPC,AD 平面 MPC.(2) 平面 AMD平面 MBCD,平面 AMD平面 MBCD=DM,AM平面 AMD,AM DM,AM 平面 MBCD.V 三棱锥 P-MBC= S MBC = 21 = .13 2 13 12 1216在 MPC 中, MP= AB= ,MC= ,PC= = ,12 52 2 (12)2+12 52S MPC= = ,12 2 (52)2-(22)2 64 点 B 到平面 MPC 的距离 d= = = .3三棱 锥 -31664 63
