1、17.5 直线、平面垂直的判定及其性质课 时 跟 踪 检 测 基 础 达 标1(2017 届南昌模拟)设 a， b是夹角为 30的异面直线，则满足条件“a ， b ，且 ”的平面 ， ( )A不存在 B有且只有一对C有且只有两对 D有无数对解析：过直线 a的平面 有无数个，当平面 与直线 b平行时，两直线的公垂线与b确定的平面 ，当平面 与 b相交时，过交点作平面 的垂线与 b确定的平面 .故选 D.答案：D2(2018 届青岛质检)设 a， b是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则能得出 a b的是( )A a ， b ， B a ， b ， C a ， b ， D a ， b ， 解
2、析：对于 C项，由 ， a 可得 a ，又 b ，得 a b，故选 C.答案：C3如图，在 Rt ABC中， ABC90， P为 ABC所在平面外一点， PA平面 ABC，则四面体 P ABC中直角三角形的个数为( )A4 B3C3 D1解析：由 PA平面 ABC可得 PAC， PAB是直角三角形，且 PA BC.又 ABC90，所以 ABC是直角三角形，且 BC平面 PAB，所以 BC PB，即 PBC为直角三角形，故四面体 P ABC中共有 4个直角三角形答案：A4(2017 届贵阳市监测考试)如图，在三棱锥 P ABC中，不能证明 AP BC的条件是( )2A AP PB， AP PCB
3、 AP PB， BC PBC平面 BPC平面 APC， BC PCD AP平面 PBC解析：A 中，因为 AP PB， AP PC， PB PC P，所以 AP平面 PBC，又 BC平面PBC，所以 AP BC，故 A能证明 AP BC；C 中，因为平面 BPC平面 APC， BC PC，所以BC平面 APC， AP平面 APC，所以 AP BC，故 C能证明 AP BC；由 A知 D能证明AP BC；B 中条件不能判断出 AP BC，故选 B.答案：B5(2018 届吉林实验中学测试)设“ a， b， c是空间的三条直线， ， 是空间的两个平面” ，则下列命题中，逆命题不成立的是( )A当
4、c 时，若 c ，则 B当 b 时，若 b ，则 C当 b ，且 c是 a在 内的射影时，若 b c，则 a bD当 b ，且 c 时，若 c ，则 b c解析：A 的逆命题为：当 c 时，若 ，则 c .由线面垂直的性质知c ，故 A正确；B 的逆命题为：当 b 时，若 ，则 b ，显然错误；C 的逆命题为：当 b ，且 c是 a在 内的射影时，若 a b，则 b c.由三垂线逆定理知b c，故 C正确；D 的逆命题为：当 b ，且 c 时，若 b c，则 c .由线面平行判定定理可得 c ，故 D正确答案：B6如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， M， N分别是 BC1， CD1
5、的中点，则下列说法错误的是( )A MN与 CC1垂直 B MN与 AC垂直C MN与 BD平行 D MN与 A1B1平行3解析：如图，连接 C1D， BD， AC，在三角形 C1DB中， MN BD，故 C正确； CC1平面 ABCD， CC1 BD， MN与 CC1垂直，故 A正确； AC BD， MN BD， MN与 AC垂直，故 B正确； A1B1与 BD不平行， MN BD， MN与 A1B1不平行，故 D错误故选 D.答案：D7如图所示，四边形 ABCD中， AD BC， AD AB， BCD45， BAD90.将ADB沿 BD折起，使平面 ABD平面 BCD，构成三棱锥 A BC
6、D，则在三棱锥 A BCD中，下列结论正确的是( )A平面 ABD平面 ABCB平面 ADC平面 BDCC平面 ABC平面 BDCD平面 ADC平面 ABC解析：因为在四边形 ABCD中， AD BC， AD AB， BCD45， BAD90，所以 BD CD.又平面 ABD平面 BCD，且平面 ABD平面 BCD BD，故 CD平面 ABD，则 CD AB.又 AD AB， AD CD D， AD平面 ADC， CD平面 ADC，故 AB平面 ADC.又 AB平面 ABC，所以平面 ADC平面 ABC.答案：D8如图， PA O所在平面， AB是 O的直径， C是 O上一点， AE PC，
7、AF PB，给出下列结论： AE BC； EF PB； AF BC； AE平面 PBC，其中真命题的序号是_4解析： AE平面 PAC， BC AC， BC PAAE BC，故正确； AE PC， AE BC， PB平面 PBCAE PB， AF PB， EF平面 AEFEF PB，故正确；若 AF BCAF平面 PBC，则 AF AE与已知矛盾，故错误；由可知正确答案：9设 a， b为不重合的两条直线， ， 为不重合的两个平面，给出下列命题：若 a 且 b ，则 a b；若 a 且 a ，则 ；若 ，则一定存在平面 ，使得 ， ；若 ，则一定存在直线 l，使得 l ， l .上面命题中，所有
8、真命题的序号是_解析：中 a与 b也可能相交或异面，故不正确垂直于同一直线的两平面平行，正确中存在 ，使得 与 ， 都垂直中只需直线 l 且 l 就可以答案：10如图，直三棱柱 ABC A1B1C1，侧棱长为 2， AC BC1， ACB90， D是 A1B1的中点， F是 BB1上的动点， AB1， DF交于点 E.要使 AB1平面 C1DF，则线段 B1F的长为_解析：设 B1F x，因为 AB1平面 C1DF， DF平面 C1DF，所以 AB1 DF.由已知可以得 A1B1 ，2设 Rt AA1B1斜边 AB1上的高为 h.则 DE h.12又 2 h ，2 22 2 2所以 h ， D
9、E .233 33在 Rt DB1E中， B1E .(22)2 (33)2 66由面积相等得 x，得 x .66 x2 (22)2 22 125即线段 B1F的长为 .12答案：1211(2018 届河南省八市重点高中质量检测)如图，过底面是矩形的四棱锥 F ABCD的顶点 F作 EF AB，使 AB2 EF，且平面 ABFE平面 ABCD，若点 G在 CD上且满足 DG GC.求证：(1)FG平面 AED；(2)平面 DAF平面 BAF.证明：(1)因为 DG GC， AB CD2 EF， AB EF CD，所以 EF DG， EF DG.所以四边形 DEFG为平行四边形，所以 FG ED.
10、又因为 FG平面 AED， ED平面 AED。所以 FG平面 AED.(2)因为平面 ABFE平面 ABCD，平面 ABFE平面 ABCD AB， AD AB， AD平面 ABCD，所以 AD平面 BAF，又 AD平面 DAF，所以平面 DAF平面 BAF.12(2018 届延边质检)已知矩形 ABCD与正三角形 AED所在的平面互相垂直， M， N分别为棱 BE， AD的中点， AB1， AD2.(1)证明：直线 AM平面 NEC；(2)求异面直线 AM与 CN的成角余弦值解：(1)证明：如图所示，6取 EC的中点 F，连接 FM， FN，则 FM BC， FM BC， AN BC， AN
11、BC，12 12所以 FM AN且 FM AN，所以四边形 AMFN为平行四边形，所以 AM NF.因为 AM平面 NEC， NF平面 NEC，所以直线 AM平面 NEC.(2)由(1)知， AM NF， CNF是异面直线 AM与 CN所成的角，平面 AED平面 ABCD， NE AD， NE平面 ABCD， NE NC，又 NE AD ，32 3又 CD平面 AED， CD DE， CE ，12 22 5 CN .CE2 NE2 5 3 2又 NF FC CE ，12 52cos CNF ，NF2 CN2 CF22NFCN 2252 2 105即异面直线 AM与 CN的成角余弦值为 .105
12、能 力 提 升1.如图，梯形 ABCD中， AD BC， ABC90， AD BC AB234， E， F分别是AB， CD的中点，将四边形 ADFE沿直线 EF进行翻折，给出下列四个结论： DF BC； BD FC；平面 BDF平面 BCF；平面 DCF平面 BCF.则上述结论可能正确的是( )A BC D解析：对于，因为 BC AD， AD与 DF相交但不垂直，所以 BC与 DF不垂直，则不成7立；对于，设点 D在平面 BCF上的射影为点 P，当 BP CF时就有 BD FC，而AD BC AB234 可使条件满足，所以正确；对于，当点 D在平面 BCF上的射影 P落在 BF上时， DP平
13、面 BDF，从而平面 BDF平面 BCF，所以正确；对于，因为点 D在平面 BCF上的射影不可能在 FC上，所以不成立答案：B2如图，在四棱锥 S ABCD中，平面 SAD平面 ABCD.四边形 ABCD为正方形，且点 P为 AD的中点，点 Q为 SB的中点(1)求证： CD平面 SAD；(2)求证： PQ平面 SCD；(3)若 SA SD，点 M为 BC的中点，在棱 SC上是否存在点 N，使得平面 DMN平面ABCD？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由解：(1)证明：因为四边形 ABCD为正方形，所以 CD AD.又因为平面 SAD平面 ABCD，且平面 SAD平面 AB
14、CD AD，所以 CD平面 SAD.(2)证明：如图，取 SC的中点 R，连接 QR， DR.由题意知： PD BC且 PD BC.12在 SBC中，点 Q为 SB的中点，点 R为 SC的中点，所以 QR BC且 QR BC，12所以 PD QR，且 PD QR，所以四边形 PDRQ为平行四边形，所以 PQ DR.又因为 PQ平面 SCD， DR平面 SCD，所以 PQ平面 SCD.(3)存在点 N为 SC的中点，使得平面 DMN平面 ABCD.8证明如下：如图，连接 PC， DM交于点 O，连接 DN， PM， SP， NM， ND， NO，因为 PD CM，且 PD CM，所以四边形 PMCD为平行四边形，所以 PO CO.又因为点 N为 SC的中点，所以 NO SP.易知 SP AD，因为平面 SAD平面 ABCD，平面 SAD平面 ABCD AD，并且 SP AD，所以 SP平面 ABCD，所以 NO平面 ABCD.又因为 NO平面 DMN，所以平面 DMN平面 ABCD.
