1、1第 1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、选择题1.从集合0，1，2，3，4，5，6中任取两个互不相等的数 a， b组成复数 a bi，其中虚数有( )A.30个 B.42个 C.36个 D.35个解析 a bi为虚数， b0，即 b有 6种取法， a有 6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成 6636 个虚数.答案 C2.某校举行乒乓球赛，采用单淘汰制，要从 20名选手中决出冠军，应进行比赛的场数为( )A.18 B.19 C.20 D.21解析 因为每一场比赛都有一名选手被淘汰，即一场比赛对应一个失败者，要决出冠军，就要淘汰 19名选手，故应进行 19场比赛.答案 B3.(2016
2、合肥质检)有 4件不同颜色的衬衣，3 件不同花样的裙子，另有 2套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则有几种不同的选择方式( )A.24 B.14 C.10 D.9解析 第一类：一件衬衣，一件裙子搭配一套服装有 4312 种方式，第二类：选 2套连衣裙中的一套服装有 2种选法.由分类加法计数原理，共有 12214(种)选择方式.答案 B4.某电话局的电话号码为 139，若前六位固定，最后五位数字是由 6或 8组成的，则这样的电话号码的个数为( )A.20 B.25 C.32 D.60解析 依据题意知，后五位数字由 6或 8组成，可分 5步完成，每一步有 2种方法，根据分步
3、乘法计数原理，符合题意的电话号码的个数为 2532.答案 C5.集合 P x，1， Q y，1，2，其中 x， y1，2，3，9，且 PQ.把满足上述条件的一对有序整数对( x， y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是( )A.9 B.14 C.15 D.21解析 当 x2 时， x y，点的个数为 177(个).当 x2 时，由 PQ， x y. x可从 3，4，5，6，7，8，9 中取，有 7种方法.因此满足条件的点共有 7714(个).2答案 B6.用 10元、5 元和 1元来支付 20元钱的书款，不同的支付方法的种数为( )A.3 B.5 C.9 D.12解析 只用一种币值有 2张
4、10元，4 张 5元，20 张 1元，共 3种；用两种币值的有 1张 10元，2 张 5元；1 张 10元，10 张 1元；3 张 5元，5 张 1元；2 张 5元，10 张 1元；1张 5元，15 张 1元，共 5种；用三种币值的有 1张 10元，1 张 5元，5 张 1元，共 1种.由分类加法计数原理得，共有 3519(种).答案 C7.从集合1，2，3，4，10中，选出 5个数组成子集，使得这 5个数中任意两个数的和都不等于 11，则这样的子集有( )A.32个 B.34个 C.36个 D.38个解析 将和等于 11的放在一组：1 和 10，2 和 9，3 和 8，4 和 7，5 和 6
5、.从每一小组中取一个，有 C 2 种，共有 2222232 个.故选 A.12答案 A8.(2016全国卷)如图，小明从街道的 E处出发，先到 F处与小红会合，再一起到位于 G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24 B.18 C.12 D.9解析 由题意可知 E F共有 6种走法， F G共有 3种走法，由乘法计数原理知，共有6318 种走法，故选 B.答案 B二、填空题9.(2017西安质检)如果把个位数是 1，且恰有 3个数字相同的四位数叫作“好数” ，那么在由 1，2，3，4 四个数字组成的有重复数字的四位数中， “好数”共有_个(用数字作答)
6、.解析 当相同的数字不是 1时，有 C 个；当相同的数字是 1时，共有 C C 个，13 1313由分类加法计数原理知共有“好数”C C C 12(个).13 1313答案 1210.如图所示，在连结正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有_个(用数字作答).解析 把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有 8432(个).3第二类，有两条公共边的三角形共有 8个.由分类加法计数原理知，共有 32840(个).答案 4011.如图，矩形的对角线把矩形分成 A， B， C， D四部分，现用 5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂 1种颜色，要求共边的
7、两部分颜色互异，则共有_种不同的涂色方法(用数字作答).解析 区域 A有 5种涂色方法；区域 B有 4种涂色方法；区域 C的涂色方法可分 2类：若 C与 A涂同色，区域 D有 4种涂色方法；若 C与 A涂不同色，此时区域 C有 3种涂色方法，区域 D也有 3种涂色方法.所以共有 5445433260 种涂色方法.答案 26012.有六名同学报名参加三个智力竞赛项目(不一定六名同学都能参加)，(1)每人恰好参加一项，每项人数不限，则有_种不同的报名方法；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，则有_种不同的报名方法；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限，则有_种不同的报名方法(用数字作答).
8、解析 (1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有 3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有报名方法 36729(种).(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有 6种选法，第二个项目有 5种选法，第三个项目只有 4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法 654120(种).(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法 63216(种).答案 (1)729 (2)120 (3)21613.(2017衡水调研)用 0，1，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A.243 B.
9、252 C.261 D.279解析 0，1，2，9 共能组成 91010900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有 998648(个)，有重复数字的三位数有 900648252(个).答案 B14.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为 60的共有( )A.24对 B.30对C.48对 D.60对解析 与正方体的一个面上的一条对角线成 60角的对角线有 8条，故共有 8对.正方4体的 12条面对角线共有 12896(对)，且每对均重复计算一次，故共有 48(对).962答案 C15.一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从 P点处进， Q点处出，沿图中线路游览 A， B， C
10、三个景点及沿途风景，则不重复(除交汇点 O外)的不同游览线路有_种(用数字作答).解析 根据题意，从点 P处进入后，参观第一个景点时，有 6个路口可以选择，从中任选一个，有 6种选法；参观完第一个景点，参观第二个景点时，有4个路口可以选择，从中任选一个，有 4种选法；参观完第二个景点，参观第三个景点时，有 2个路口可以选择，从中任取一个，有 2种选法.由分步乘法计数原理知共有 64248 种不同游览线路.答案 4816.(2016汉中模拟)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如 22，121，3 443，94 249等.显然 2位回文数有 9个：11，22，33，99.3 位回文数有 90个：101，111，121，191，202，999.则(1)4 位回文数有_个；(2)2n1( nN *)位回文数有_个.解析 (1)4 位回文数相当于填 4个方格，首尾相同，且不为 0，共 9种填法，中间两位一样，有 10种填法，共计 91090(种)填法，即 4位回文数有 90个.(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格.结合计数原理，知有 910n种填法.答案 (1)90 (2)910 n
