1、兰州市 2018 年高三实战考试理科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则 （ ）A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A2. 已知在复平面内，复数对应的点是 ，则复数的共轭复数 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】复数对应的点是复数的共轭复数故选 D.3. 等比数列 中各项均为正数， 是其前 项和，满足 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设等比数列 的公比为 . ，即 . 或 （舍去）故选 D.4. 在如图所示的正方形中随机投掷 100
2、00 个点，若曲线 的方程为 ，则落入阴影部分的点的个数的估计为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意，阴影部分的面积为 ，正方形的面积为 1.正方形中随机投掷 10000 个点，落入阴影部分的点的个数的估计值为故选 B.点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；5. 已知非零单位 向量满足 ，则与 的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设与 的夹角为. ，即 . ，则 . 为非零单位向量 ，即
3、 .故选 D.6. 已知点 为双曲线 的左右焦点，点 在双曲线上， 为等腰三角形，且顶角为 ，则该双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由点 在双曲线上， 为等腰三角形，且顶角为 ，得 ， ，过点作 轴，垂足为 ，则 ，如图所示：在 中， ， ，则 ， ，即 ，代入双曲线方程得 ，即 .点 为双曲线的左右顶点双曲线的方程为故选 B.7. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点为 ，准线为 为抛物线上一点， 为垂足，若直线 的斜率 ，则线段 的长为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】抛物线的方程为焦点 ，准线的方程为 .直线 的斜率直线 的方程为 ，当 时，
4、，即 . 为垂足 点的纵坐标为 ，代入到抛物线方程得， 点的坐标为 .故选 C.8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的九章算术中提出多项式求值的秦九韶算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，依次输入的的值为 ，则输出的 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】初始值 ， ，程序运行过程如下：， ， ，不满足 ，执行循环；， ， ，不满足 ，执行循环；， ， ，满足 ，退出循环；输出 故选 C9. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示：其中，底面为直角三
5、角形， ， ，高为 .该几何体的体积为故选 A.10. 设 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 .故选 A.11. 已知函数 ，如果 时，函数 的图象恒过在直线 的下方，则 的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】令 ，则 ，即 .当 时， 在 上单调递增，则当 时， ，满足题设；当 时， 在 上不单调，因此存在实数 不满足题设，所以 D 不正确.故选 B.点睛：本题的解答过程是巧妙构造函数，先运用求导法则求出函数的导数，再运用分类整合思想分析推断不等式成立的条件，进而求得实数的取值范围，使得问题获解.12. 已知 是定义在 上的可导函数，若在 上 有
6、恒成立，且 为自然对数的底数） ，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设 ，则 .在 上 有恒成立 在 上恒成立，即 在 上为减函数. ，故 A，B 不正确.故选 C.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如 构造 ， 构造 ， 构造， 构造 等第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知变量 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若 关于 的回归方程为 ，则 _【答案】【解析】由题意得 ，代入到线性回归方程 ，得 .故答案
7、为 .14. 若变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值是_【答案】【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示：由 得 ，平移直线 ，由图象可知当直线 经过点 时，直线 的截距最大，此时最大.由 得 ，即 ，代入目标函数得 ，即 的最大值是 .故答案为 .点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求” ：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 的展开式中，常数项的
8、值为_ （用数字作答）【答案】【解析】 , , 常数项为 .16. 已知数列 满足 ，若 ，则数列 的通项 _【答案】【解析】 ，即数列 是以 为首项，公比为 的等比数列故答案为 .点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （一）必做题17. 已知向量 ，函数 .（1）求函数 的图
9、象对称轴的方程；（2）求函数 在 上的最大值和最小值.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）根据三角恒等变换可得 ，再令 ， ，即可得函数的图象对称轴的方程；（2）根据 ，可得 ，再结合三角函数图象即可得函数 在上的最大值和最小值.试题解析：（1）由已知，对称轴的方程为 ， ，即 .（2） ， .18. 如图所示，四边形 是边长为的菱形， 平面 平面 ，.（1）求证：（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】试题分析：（I）连接 ，根据菱形的性质可知 ，结合 ，可得 平面 ，垂直同一个平面的两条直线平行，故 四点共面，故 .（2）以 为坐标原点，分别以 ，的方向为 轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系 .计算直线 的方向向量和平面 的法向量，利用线面角公式求得线面角的正弦值.试题解析：（）证明：连接 ，因为 是菱形，所以 .因为 平面 ， 平面 ，所以 .因为 ，所以 平面 .因为 平面 ， 平面 ，所以 .所以 ， ， ， 四点共面.因为 平面 ，所以 .（）如图，以 为坐标原点，分别以 ， 的方向为 轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系 .可以求得 ， ， ， ， .所以 ， .设平面 的法向量为 ，则 即不妨取 ，则平面 的一个法向量为 .因为 ，所以 .所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
