1、临川二中、新余四中 2018 届高三年级联考数学试题（文科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由 ， 得： ， ，则 ，故选 C.2. 已知 ，是虚数单位，若 与 互为共轭复数，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 与 互为共轭复数， ， ，则 ，故选 C.3. 若 ，且 为第三象限角，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：因为 ，所以 ，又 为第三象限的角，所以 ，故选
2、B考点：1、两角差的正弦公式；2、同角三角形函数间的基本关系4. 设 ： 在 内单调递增， ： ，则 是 的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 在 内单调递增， ，解的 ，故则 是 的必要不充分条件，故选 B.5. 已知数列 为等差数列， 为前 项和，公差为 ，若 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：若 为等差数列， ，则 为等差数列公差为 ,故选 B.考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前 项和公式.6. 如图，网格纸上小正方形的边长均为 ，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该
3、几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】该几何体可以看作是三棱柱割出一个三棱锥形形成的，故7. 已知实数 ， 满足条件 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】作出实数 ， 满足条件 表示的平面区域：得到如图的阴影部分，由 ，解得 ，设 ，将直线 进行平移，当经过点 A 时，目标函数达到最小值， ，故选 C.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最
4、后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8. 宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的， 分别为 ， ，则输出的 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由程序框图可得， 时， ，继续循环； 时，继续循环； 时， ， 继续循环；结束输出 .点睛：循环结构的考查是高考热点，有时会问输出结果，或是判断框的条件是什么，这类问题容易错在审题不清，计数变量加错了，没有理解计数变量是在计算结果之前还是计算结果之后，最后循环进来的数是什么等问题，防止出错的最好的办法是
5、按顺序结构写出每一个循环，这样就会很好的防止出错.9. 已知点 ， 分别是椭圆 的左，右焦点，过 且垂直于 轴的直线与椭圆交于 ，两点，若 是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】点 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，过 且垂直于 轴的直线与椭圆交于A、B 两点， ， ， ， ， 是锐角三角形， ， ，整理，得 ， ，两边同时除以 ，并整理，得 ，解得，或 ， （舍） ， ，椭圆的离心率的取值范围是 ，故选 B.10. 已知函数 和函数 在区间 上的图象交于 ， ， ，则 的面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数 和函数 在区间
6、上的图象交于 A，B，C 三点，令，可得 ，或 ， ，再结合 ，解得 ， ，可得 、 、 ， 的面积是 ，故选 D.11. 对正整数 ，有抛物线 ，过 任作直线交抛物线于 ， 两点，设数列 中，且 （其中 ， ） ，则数列 的前项 和 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设直线方程为 ，代入抛物线方程得 ，设 ， ，则 ，由根与系数的关系得， ，代入式得 ，故，（ ， ） ，故数列 的前 项和为 ，故选 D.12. 已知函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称，若函数 与函数 在区间上同时单调递增或同时单调递减，则实数 的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为
7、函数 与 的图象关于 轴对称，所以 ，函数 与函数在区间 上同时单调递增或同时单调递减，所以函数 和函数 在 上单调性相同，因为 和函数 的单调性相反，所以 在 上恒成立，即在 上恒成立，即 在 上恒成立，得 ，即实数 的取值范围是，故选 B.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量 ， ，则与 的夹角的大小为_【答案】【解析】设与 的夹角的大小为，则 ，又 ， ，即与 的夹角的大小为 ，故答案为 .14. 在 中， ， ， ，则 _【答案】【解析】试题分析：考点：正余弦定理解三角形15. 三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上，已知 ，
8、， 两两垂直，且 ， ，则当三棱锥的体积最大时，球 的表面积为_【答案】【解析】由题意 ，当且仅当 时，三棱锥的体积最大，如图所示，将 视为正四棱柱的一部分，则 ，即 ，可得 ，故球的表面积是：，故答案为 .16. 已知函数 的定义域是 ， （为小于 的常数）设 且 ，若的最小值大于 ，则的范围是_【答案】【解析】由 ，得 ，作出导函数的图象如图：设与直线 平行的直线与函数 的切点为 （ ） ，由 ，得 ，则 ，解得 ，则 ， ，在直线 中，取 ，得 ，由 ，得 ，的范围是 ，故答案为 点睛：本题考查函数的最值及其几何意义，考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查数学转化思想方法，是中档
9、题；求出原函数的导函数，作出图象，再求出与直线 平行的直线与函数的切点的坐标，建立不等式即可.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 中， ， 且 .（1）求的值及数列 的通项公式；（2）设 ，且数列 的前 项和为 ，求 【答案】(1) ， ；(2) .【解析】 【试题分析】 （1）先借助题设条件 9 求出递推式 中的参数，再运用叠加法求出数列的通项公式 ；（2）依据题设中定义的数列 的通项公式及所求偶数项和的特征，运用整体思维的方法求出进 借助公式分析求解：（1） ，且 ， ，解得 ， ， ；（2） ，18. 我市为增强市民
10、的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者现从符合条件的志愿者中随机抽取 100 名按年龄分组：第 1 组 ，第 2 组 ，第 3 组 ，第 4 组 ，第 5 组 ，得到的频率分布直方图如图所示（1）分别求第 3，4，5 组的频率（2）若从第 3，4，5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加广场宣传活动，应从第 3，4，5 组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，我市决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验，求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率【答案】(1)答案见解析；(2)应从第 3，4，5 组中分别抽取 3 人，2 人，1 人；(3) .【解析】试题分析：
11、（1）通过计算频率可得：第 组 ，第 组 ，第 组 ；（2）结合树状图可以列举从 名志愿者中抽取 名志愿者共 种基本事件，其中至少有一名志愿者被抽中的有 种基本事件，从而第 组至少有一名志愿者被抽中的概率 试题解析：（1）第 组的人数为 , 第 组的人数为 ,第 组的人数为 ,因为第 组共有 名志愿者, 所以利用分层抽样的方法在 名志愿者中抽取 名志愿者, 每组抽取的人数分别为: 第 组 ;第 组 ;第 组 所以应从第 组中分别抽取 人, 人, 人（2）记第 组 名志愿者为 ,第 组 名志愿者为 第 组 名志愿者为 ,则从 名志愿者中抽取 名志愿者有:,共 种其中第 组的 名志愿者为 至少有一
12、名志愿者被抽中的有:, 共 种所以第 组至少有一名志愿者被抽中的概率 考点：1、频率分布直方图；2、古典概型19. 如图，多面体 是由三棱柱 截去一部分而成， 是 的中点.（1）若 ， 平面 ， ，求点 到面 的距离；（2）若 为 的中点， 在 上，且 ，问为何值时，直线 平面 ？【答案】(1) ；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）由 ， ，可得 面 ，即点 到面 的距离等于 ；（2）当 时，直线 平面 ，理由如下：取 的中点 ，连接 ，可得 ，当时，四边形 为平行四边形，即 .试题解析：（1）多面体 是由三棱柱 截去一部分后而成， 是 的中点，平面 ， ， 面 ，则 ， ， ，又 ，
13、 是 的中点， ， ，可得 ，即 ， 面，点 到面 的距离（2）当 时，直线 平面 ，理由如下：设 ，则 ，取 的中点 ，连接 ，可得， 是梯形 的中位线， ，当 时，四边形 为平行四边形，即 ， 面 ，直线 平面 ，此时点睛：本题主要考查了点到面的距离，直线与平面平行的判定，属于基础题；在求点到面的距离中主要采用证明线面垂直找出距离或者等体积法；线面平行主要通过一下几种方式：1、利用三角形中位线；2、 构造平行四边形；3、利用面面平行等 .20. 已知椭圆 ： 的离心率为 ，点 是椭圆 的上顶点，点 在椭圆 上（异于 点） （1）若椭圆 过点 ，求椭圆 的方程；（2）若直线： 与椭圆 交于
14、、 两点，若以 为直径的圆过点 ，证明：存在 ， 【答案】(1) ；(2)证明见解析.【解析】 （）依题意， ， ， ，解得 ， ，故椭圆 的方程为 .（）由椭圆的对称性，不妨假设存在 ，使得 .由题意得， ，椭圆 ： ，联立直线与椭圆 的方程可得： ，解得 ，所以 ，因为 ， ， ，即 .记 ，又 ， ，所以函数 存在零点，存在 ，使得 .【点睛】先列方程组求出 写出椭圆的标准方程，根据直线与椭圆相交，联立方程组后代入整理，求出点 的横坐标，得出 ，由于 ，把 替换为 ，得出 ，借助 ，得出关于 的方程，构造函数利用零点原理说明函数存在零点，从而说明实数 存在.21. 已知函数 .（1）求函数 的单调区间；（2）若存在两条直线 、 都是曲线 的切线，求实数的取值范围；（3）若 ，求实数的取值范围.【答案】(1) 的递减区间为 ，递增区间为 ； (2) ；(3) .【解析】试题分析：（） ，对 a 进行分类讨论：当 时， ，则函数 的单调递减区间是 当 时，令 ，得 的单调递减区间是 ，
