1、2018 届江西省临川二中、新余四中高三 1 月联合考试数学（理）试题（解析版）第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 , ，则 （ ）N=x|y= x1 MN=A. B. C. D. x|1x-1 故选 A.2. 已知是虚数单位，则复数 的虚部为（ ）5i2iA. B. C. D. 2i 2 2i 2【答案】D【解析】复数 ，虚部为 2.5i2-i= 5i(2+i)(2-i)(2+i)=10i-55 =-1+2i故选 D.3. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （
2、）n SnA. B. C. D. 2 4 6【答案】C所以 。a2+a4+a6=3a4=6故选 C.4. 设 ， 满足约束条件 ，则目标函数 取最小值时的最优解 是（ ）x z=x+y (x,y)A. B. C. D. (6,0) (3,0) (0,6) (2,2)【答案】B【解析】作出可行域如图所示：标函数 ，即平移直线 ，当直线经过点 A 时，最小.z=x+y，解得 ，即最优解为 .2x+y-6=0y=0 (3,0)故选 B.5. 若 ， ， 则（ ）a=210b=log3 c=log2sin5A. B. C. D. abc bac cab bca【答案】A【解析】 2 0=1，0=log
3、 1b=log 3log =1， log 21=0，a=210 c=log2sin5ab c故选 A6. 同时具备以下性质：“最小正周期是 ；图象关于直线 对称；在 上是增函数；一个对 6,3称中心为 ”的一个函数是（ ）(12,0)A. B. C. D. y=sin(2x+3) y=sin(2x6)【答案】D【解析】由“最小正周期是 ，可得 =2，排除 A；图象关于直线 对称;可得 ：23+=2+k，kZ，=-6+k，kZ，对于 C 选项：= ，不满足，排除 C；3一个对称中心为 ”带入函数 y 中，B 选项不满足。排除 B；(12,0)检验 D. ，当 时， ，满足单调递增y=sin(2x
4、-6) x-6,3 2x-6-2,2故选 D.7. 若二项式 的展开式中 的系数为 ，则 的值为（ ）x3A. B. C. D. 4 3 2 1【答案】C【解析】二项式 的展开式的通项公式为 .令 ，解得 ，则系数为 .r=3解得 .故选 C.8. 若正整数 除以正整数 后的余数为 ，则记为 ，例如 右边程序框图的算法源N m n N=n(modm) 10=4(mod6)于我国古代闻名中外的中国剩余定理 执行该程序框图，则输出的 等于（ ）A. B. C. D. 17【答案】A【解析】根据算法的程序框图知，从 n=11 开始，依次增加 1，对应的正整数要同时满足 n=2（mod3） ，及n=2
5、（mod5）时，即被 3 除余 2，被 5 除余 2，才结束循环，输出 n 的值，满足条件的 n=17.故选 A.9. 公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割比约为，这一数值也可以表示为 ，若 ，则 （ ）m=2sin18mn2cos2271=A. B. C. D. 2 1【答案】C【解析】 ， ,m=2sin18 。n=4m2=44sin218=4cos218 。选 B。10. 已知双曲线 ： 的离心率为 ，左右焦点分别为 ， ，点 在双曲线 上，若C 2 A的周长为 ，则 的面积为（ ）AF1F2 AF1F2A. B. C. D. 215a2
6、【答案】B【解析】点 在双曲线 上，不妨设点 在双曲线 右支上，所以 ，C A C又 的周长为 .AF1F2得 .|AF1|+|AF2|=10a-2c解得 .|AF1|=6a-c,|AF2|=4a-c双曲线 的离心率为 ，所以 ，得 .C 2所以 .|AF1|=2c,|AF2|=c所以 ，所以 为等腰三角形.|AF1|=|F1F2|边 上的高为 .的面积为 .故选 B.11. 已知某几何体的三视图如图所示，正视图是斜边长为 的等腰直角三角形，侧视图是直角边长为 的等1腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】还原几何体如图所示，面 面 ，且 ，P
7、A=PB= 2,AB=CD=2,BC=AD=1连接 AC 和 BD 交于点 O，取 AB 中点为 M， ，PM=1,OM=12,OP= OM2+PM2= 14+1=52.OA=OB=OC=OD=52所以点 O 即为该几何体的外接球的球心，球半径为 ，所以表面积为 ，S=4(52)2=5故选 C.点睛：求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可
8、过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.12. 已知函数 ，若有且只有两个整数 ， 使得 ，且 ，则的取f(x)=lnx+(a2)x2a+4(a0)值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 .f(x)=1x+a-2当 时， ，则 在 上单调递增，且 ，所以 有无数整数解，不符合题意；当 时，即 ,由 ，得 .a-2b0) 2c C交点 满足 ，则该椭圆的离心率等于_M MF1F2=2MF2F1【答案】【解析】试题分析：如下图所示，则可知直线的倾斜角为 ，且过点 ， ，F1 MF1F2=2MF2F1=3 ， ， ，故填： .|MF1|=c |MF2|= 3c
9、31考点：椭圆的标准方程及其性质16. 如图所示，在平面四边形 中， ， ，为 正三角形，则 面积的最大值为AB=1 ACD BCD_【答案】 3+1【解析】在ABC 中，设ACB= ，ACB= ，由余弦定理得：AC2=12+22212cos=54cos，ACD 为正三角形，CD 2=54cos，由正弦定理得： ，1sin=ACsinACsin=sin，CDsin =sin，(CDcos) 2=CD2(1sin2)=CD2sin2=54cossin2=(2cos)20) A AF=(2,0) B C上的动点，直线 ， 的斜率分别为 ， .AB AC k1 k2(1)求抛物线 的方程；(2)若
10、，点 是 ， 处切线的交点，记 的面积为 ，证明 是定值.k2k1=2 D B C BCD S S【答案】(1) (2)32.x2=4y【解析】试题分析：(1) 设 ，由 得 带入抛物线方程，解得 p 值；(2) 设A(x0,y0) AF=(2,0) x0=-2,y0=p2, ， ，利用 ，又 ，得到 ，然后求出 ， ，而B(x1,x124) C(x2,x224) k2-k1=x2-x14 k2-k1=2 x2-x1=8 yD=x1x24 yE=x12+x228，带入易得为定值 32.S=12|DE|(x2-x1)=12(yE-yD)(x2-x1)试题解析：（1）设 ，由题知 ，所以 ，A(x
11、0,y0) F(0,p2) AF=(-x0,p2-y0) =(2,0)所以 代入 （ ）中得 ，即 ，x0=-2,y0=p2, x2=2py p0 4=p2 p=2所以抛物线的方程是 x2=4y（2）过 作 轴平行线交 于点 ，并设 ， ，D y BC E B(x1,x124) C(x2,x224)由（1）知 ，A(-2,1)所以 ，k2-k1=x224-1x2+2-x124-1x1+2=x2-x14又 ，所以 ，k2-k1=2 x2-x1=8直线 ： ，直线 ： ，解得BD y=x12x-x124 CD y=x22x-x224 xD=x1+x22 ,yD=x1x24, 因直线 方程为 ，将
12、代入得 ，BC xD yE=x12+x228所以 S=12|DE|(x2-x1)=12(yE-yD)(x2-x1)=12(x2-x1)28 (x2-x1)=32点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、 “定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21. 已知函数 .f(x)=xe2xlnxax(1)当 时，求函数 在 上的最小值；a=0 f(x) 12,1(2)若对任意 ，不等式 恒成立，求的取值范
13、围；x0 f(x)1【答案】 （1） ;(2) .f(x)min=f(12)=e2+ln2 (,2【解析】试题分析：（1）a=0 时， ， ，进而得当 时，f(x)=(2x+1)e2x-1xf(x)=(4x+4)e2x+1x20 x12,1，进而得函数单调性可得最值；f(x)0（2）由（1）知函数 在 上是增函数，且 ，使得 ，进而函数 在区间 上递减，f(x) (0,+) x00 f(x0)=0 f(x) (0,x0)在 上递增， ，由x0，不等式 f（x）1 恒成立，得 ，由此能求出 a 的取值范围(x0,+) lnx0+2x20e2x00试题解析：（1） 时，a=0， ，f(x)=(2x
14、+1)e2x-1x f(x)=(4x+4)e2x+1x20函数 在 上是增函数， f(x) (0,+)又 ， ， 当 时， ， f(12)=2e-20 x12,1 f(x)0即函数 在区间 上递增， f(x) 12,1 f(x)min=f(12)=e2+ln2（2） ，f(x)=(2x+1)e2x-1x-a由（1）知函数 在 上是增函数，且 ，使得 ，f(x) (0,+) x00 f(x0)=0进而函数 在区间 上递减，在 上递增，f(x) (0,x0) (x0,+)，f(x)min=f(x0)=x0e2x0-lnx0-ax0由 ，得： ，f(x0) =0 (2x0+1)e2x0-1x0-a=
15、0，ax0=(2x20+x0)e2x0-1，f(x0)=1-lnx0-2x20e2x0，不等式 恒成立，x0 f(x)1， ，1-lnx0-2x20e2x01 lnx0+2x20e2x00设 ，则 为增函数，且有唯一零点，设为，h(x0)=lnx0+2x20e2x0 h(x0)则 ，则 ，即 ，h(t)=lnt+2t2e2t=0 -lnt=2t2e2t1tln1t=2te2t令 ，则 单调递增，且 ，g(x)=xex g(x) g(2t)=g(ln1t)则 ，即 ，2t=ln1t e2t=1t在 为增函数，a=(2x0+1)e2x0-1x0 (0,t则当 时，有最大值， ，x0=t amax=
16、(2t+1)e2t-1t =(2t+1)1t-1t=2， 的取值范围 .a2 a (-,2点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若f(x)0 f(x)min0恒成立，转化为 ;f(x)g(x) f(x)ming(x)max22. 已知直线的参数方程为 （ ，为参数） ，曲线 的极坐标方程为 .x=tcosy=1+tsin 0f(x)max f(x)max试题解析：（1）当 时， 等价于 .a=1 f(x)12 |x+1|-|x|12当 时，不等式化为 ，无解；x-1
17、-x-1+x12当 时，不等式化为 ，-1f(x)max因为 ，f(x)=|x+ a|-|x- 1-a| |x+ a-x+ 1-a| =| a+ 1-a|= a+ 1-a当且仅当 时去等号，所以 .x 1-a f(x)max= a+ 1-a因为对任意 ，不等式 的解集为空集，所以 .a0,1 f(x)b b a+ 1-amax以下给出两种思路求 的最大值.g(a)= a+ 1-a思路 1：令 ，所以 .g(a)= a+ 1-a g2(a)=1+2a1-a1+( a)2+( 1-a)2=2当且仅当 ，即 时等号成立 .a= 1-a a=12所以 ，g(a)max= 2所以 的取值范围为 .b ( 2,+)思路 2：令 ，因为 ，所以可设 ，g(a)= a+ 1-a 0a1 a=cos2(02)则 ，g(a)= a+ 1-a=cos+sin= 2sin(+4) 2当且仅当 时等号成立，=4所以 的取值范围 .b ( 2,+)
