1、第四章 函数本章主要从关系的角度讲授函数的 基本概念和函数的运算。要求学生能够 掌握函数的基本概念，能够判断给定函 数的类型（满射、入射、双射），能够 对于给定的函数进行运算。,函数是一个基本的数学概念，在通常的函数定义中，y=f(x)是在实数集合上讨论，我们这里把函数概念予以推广，把函数看作是一种特殊的关系。例如，计算机中把输入、输出间的关系看成是一种函数；类似地，在开关理论、自动机理论和可计算性理论等领域中，函数是有着极其广泛的应用。,学习函数这一章的要求,一、学习目的与要求通过本章的学习，使学生掌握函数的概念、复合函数和逆函数基数的概念。同时对关系一章的内容起到复习的作用。,二、知识点
2、1函数的概念，定义域、值域、定义域与前域的关系、值域与陪域的关系，入射函数、满射函数、双射函数。 2复合函数、逆函数的概念，复合函数与关系复合的联系与区别，逆函数与逆关系的联系与区别。 3基数的概念、可数集合的概念、可数集合的基数、无限集合的比较。,三、要求 1识记入射、满射、双射，定义域、定义域与前域的关系、值域与陪域的关系。 2领会复合函数与关系复合的联系与区别，逆函数与逆关系的联系与区别，可数集合、可数集合的基数、无限集合的比较。,4-1 函数的概念,定义4-1.1 设X，Y为任何两个集合，如果 f 为X到Y的关系（fXY），且对每一 xX，都有唯一的 yY，使 f 。则称 f 是X到Y
3、的函数（functions），记为 f：XY，当X=X1Xn时，称 f 为n元函数。函数也称映射（mapping）或变换(transformation）。若f ，则x称为自变元，y称为在f作用下x的象， f记作y=f(x)。由所有xX的象构成的象集合称为函数的值域ran f，即 ran f=f(X)=f(x)|xXY,前域（定义域）dom X，值域(象集合)ran f，陪域（共域）Y由函数的定义可知，函数是特殊的关系，特殊点有以下两点：（1） 函数的定义域是X，而不是X的真子集。即任意xX都有象yY存在（象存在性）。（2） 一个x只能对应唯一的一个y （象唯一性）。函数的定义式还可以写成：f=
4、 | xX yY f(x)=y,例1 设X=1，5，p，张明，Y=2，q，7，9，G f=， 即：f(1)=2，f(5)=q，f(p)=7，f(张明)=G， 故：dom f=X,Rf=2,q,7,G,例2 设A是房子的集合，B是不同颜色油漆的集合，那么，油漆房子的一种颜色的分配方案是A到B的一个函数， 即f：AB 其中dom f=A,ran f B。,例3 判别下列关系中哪个能构成函数。,a. f=|x1,x2 N,且x1+x210,因为x1不能取定义域中所有的值，且x1对应很多x2，故这个关系不能构成函数。,b. f=|y1,y2 R,且y22=y1,因为一个y1对应两个y2，故也不是函数。
5、,c. f=|x1,x2 N, x2 为小于x1 的素数个数,能够成为函数。,定义4-1.2 设函数 f:AB，g:CD，如果A=C，B=D，且对所有xA和xC，都有f(x)=g(x)，则称函数f等于函数g, 记为f=g。如果AC，BD，且对每一xA，f(x)g(x) 。则称 函数f包含于函数g，记为fg。,因为函数是序偶的集合，故两个函数相等可用集合相等的概念予以定义。,从函数的定义可以知道，X Y的子集并不能都成为X到Y的函数。,例如，设X=a,b,c,Y=0,1, XY=, XY有26个可能的子集，但其中只有23个子集定义为从X到Y的函数。,f0=, f1=, f2=, f3=, f4=
6、, f5=, f6=, f7=,设X和Y都为有限集，分别有m个和n个不同元素，由于从X到Y任意一个函数的定义域是X，在这些函数中每一个恰有m个序偶。另外任何元素x X，可以有Y的n个元素中任何一个作为它的象，故共有nm个不同的函数。在上例中n=2,m=3,故应有23个不同的函数。今后我们用符号YX表示从X到Y的所有函数的集合，甚至当X和Y是无限集时，也用这个符号。,Y中的每一元素都有原象,下面讨论函数的几类特殊情况：,设f：XY ，如果对任意 yY，均有 xX，使 y=f(x)，即ran f=Y，则称 f为X到Y的满射函数(surjection)，满射函数也称到上映射。,定义4-1.3 对于f
7、：XY的映射中，如果ran f=Y，即Y的每一个元素是X中一个或多个元素的象点，则称这个映射为满射（或到上映射）。,例如，A=a,b,c,d,B=1,2,3,如果f：AB为 f(a)=1,f(b)=1,f(c)=3,f(d)=2 则f是满射的。,Y中元素若有原象 则原象唯一,定义4-1.4 从X到Y的映射中，X中没有两个元素有相同的象，则称这个映射为入射（或一对一映射）。,设f：XY，如果对任意x1，x2X , x1x2 蕴涵 f(x1) f(x2)。则称 f 为X到Y的单射函数(injection)， 单射函数也称一对一的函数或入射函数。,例如，函数f：a,b2,4,6为 f(a)=2,f(
8、b)=6，则这个函数是入射，但不是满射。,Y中的每一元素都有原象且原象唯一,定义4-1.5 如果f既是X到Y的单射，又是X到Y的满射，则称 f 为X到Y的双射函数（bejection）。双射函数也称一一对应。,例如，令a,b表示实数的闭区间，即a,b=x|a x b,令f：0,1 a,b，这里f(x)=(b-a)x+a，这个函数是双射函数。,证明思路：a.先证f:XY是入设它是一个满设若f是入设，则X = f(X)(一对一映射源的个数=象的个数)。因为 f(X) = Y (由定理条件X=Y，象的个数=Y的元素个数)和f(X)Y 。又因为Y是有限集合，故f(X) =Y。 f:XY是满设，b.再证f:XY是一个满设它是入设 若f是满设（f(X) =Y），则X = Y = f(X)。又因为X是有限集合，源的个数=象的个数，所以f:XY是入设。此定理不适用于无限集合上的映射。,定理4-1.1 令X和Y为有限集，若X和Y的元素个数相同，即X = Y ，则有f:XY是入设 当且仅当 它是一个满设。,练习：151页 (1),
