1、一、矩母函数,矩母函数和特征函数,1定义,称 的数学期望,为随机变量X的矩母函数。,2原点矩的求法,利用矩母函数可求得X的各阶矩，即对 逐次求导，并计算在 点的值：,3和的矩母函数,定理1,设相互独立的随机变量 的 矩母函数分别为 ， ， ，,则其和,的矩母函数为,4. 母函数定义：设X是非负整数值随机变量，分布律PX=k=pk，k=0,1, 则称为X的母函数。,性质：(1)非负整数值随机变量的分布律pk由其母函数P(s)唯一确定(2)设P(s)是X的母函数， 若EX存在，则EX=P(1) 若DX存在，则DX= P(1) +P(1)- P(1)2,(3)独立随机变量之和的母函数等于母函数之积。
2、 (4)若X1,X2,是相互独立同分布的非负整数值随机变量，N是与X1,X2,独立的非负整数值随机变量，则的母函数H(s)=G(P(s) , EY=ENEX1 其中G(s),P(s)分别是N, X1的母函数。,证明：(1),(2),设离散型非负整数随机变量X,Y的分布律 分别为PX=k=pk，PY=k=qk，k=0,1, ， 则Z=X+Y的分布律为PZ=k=ck,其中ck= p0 qk +p1qk-1 + + pk q0 设X,Y,Z的母函数分别为PX(s), PY(s), PZ(s)，即有,(3),(4),欧拉公式：,二、特征函数,1 .特征函数,设X为随机变量，称复随机变量 的数学期望,为
3、X的特征函数，其中t是实数。,还可写成,分布律为P(X=xk)=pk（k=1,2,）的离散型随机变量X，特征函数为概率密度为f(x)的连续型随机变量X，特征函数为,对于n维随机向量X=(X1, X2, , Xn)，特征函数为,性质：(1) 。 (2) 在（-， ）上一致连续。 (3)若随机变量X的n阶矩EXn存在，则, k n当k=1时，EX = ；当k=2时，DX = 。,(4) 是非负定函数。 (5)若X1, X2, , Xn是相互独立的随机变量，则X=X1+X2+Xn的特征函数为(6)随机变量的分布函数与特征函数是一一对应且相互唯一确定。,如果随机变量X为连续型，且其特征函数绝对可积，则
4、有反演公式：,（相差一个负号的傅立叶逆变换）,（相差一个负号的傅立叶变换）,例1,设随机变量X服从参数为 的泊松分布，求X的特征函数。,解,由于,所以,麦克劳林公式,例2,设随机变量X服从a，b上的均匀分布，求X的特征函数。,解,X的概率密度为,所以,例3：设X服从二项分布B(n, p)，求X的特征函数g(t)及EX、EX2、DX。,解: X的分布律为P(X=k)= ，q=1-p，k=0,1,2,n,例4：设XN(0,1)，求X的特征函数。 解:,例5 ：设随机变量X的特征函数为gX(t) ， Y=aX+b，其中a, b为任意实数，证明Y的特征函数gY(t)为 。证：,例6：设随机变量YN( , 2) ，求Y的特征函数为gY(t)。,解：XN(0 , 1) ，X的特征函数为 设Y= X + ，则YN( , 2) ， Y的特征函数为,三、常见随机变量的数学期望、方差、特征函数和母函数,
