1、概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能，为此作为临考前的高三学生，务必首先要掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法，其次要熟悉一些基本题型，明确解题中的易误点，还应了解一些常用结论，最后还要掌握一些的应试技巧。本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和结论及解题中的易误点，按章节进行了系统的整理，最后阐述了考试中的一些常用技巧，相信通过对本资料的认真研读，一定能大幅度地提升高考数学成绩。集合与简易逻辑一集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设 P、Q 为两个非空实数集合，定义
2、集合 P+Q= ，若 ，|,abPQ0,25，则 P+Q 中元素的有_个。6,2（答：8）（2）设 ， ， ，(,)|,UxyR(,)|20Axym(,)|Bxyn那么点 的充要条件是_)3,(BCAu（答： ） ；5,1m（3）非空集合 ，且满足“若 ，则 ”，这样的 共有_个5,4321SSaSa6S（答：7）二遇到 时，你是否注意到“极端”情况： 或 ；同样当 时，你ABAB是否忘记 的情形？要注意到 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如A集合 ， ，且 ，则实数 _.|10xa2|30Bxa（答： ）10,2三对于含有 个元素的有限集合 ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的
3、个数依次nM为 如，2，1， .2n满足 集合 M 有_个。,345（答：7）四集合的运算性质： ；ABA ； ；u ；B ；uU ；()CAUC .如：设全集 ，若 ， ， ，5,43212BA4)(BACU5,1)()(BCAU则 A_，B_.（答： ， ）2,3,4五研究集合问题，一定要理解集合的意义抓住集合的代表元素。如： 函xylg|数的定义域； 函数的值域； 函数图象上的点集，如xylg|xyxlg|),(（1）设集合 ，集合 N ，则 _|2M2,MN（答： ） ；4,)（2）设集合 ， ， ，则|(1,)3,4aR |(,3),5aR_N（答： ）)2,(六数轴和韦恩图是进行交
4、、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如：已知函数 在区间 上至少存在一个实数 ，使12)(4)(2 pxpxf ,c，求实数 的取值范围。0)(cf（答： ）3(,)2七.复合命题真假的判断。 “或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假” ；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真” ；“非命题”的真假特点是“真假相反” 。如：在下列说法中：“ 且 ”为真是“ 或 ”为真的充分不必要条件；pqpq“ 且 ”为假是“ 或 ”为真的充分不必要条件；“ 或 ”为真是“非 ”为假的必要不充分条件；“非 ”为真是“
5、 且 ”为假的必要不充分条件。其中正确的是_（答：）八四种命题及其相互关系。若原命题是“若 p 则 q”，则逆命题为“若 q 则 p”；否命题为“若p 则q” ；逆否命题为“若q 则 p”。提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或” 、 “且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或” ；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“ ”判断AB其真假，
6、这也是反证法的理论依据。（5）哪些命题宜用反证法？如：（1） “在ABC 中，若 C=900，则A 、B 都是锐角”的否命题为_（答：在 中，若 ，则 不都是锐角） ；C90,AB（2）已知函数 ，证明方程 没有负数根。2(),1xfa)(xf九充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾） ，由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若，则 A 是 B 的充分条件；若 ，则 A 是 B 的必要条件；若 A=B，则 A 是 BB的充要条件。如：（1）给出下列命题： 实数 是直线 与 平行的充要条件；0a12yax32yax 若 是 成
7、立的充要条件；,bRb 已知 ， “若 ，则 或 ”的逆否命题是“若 或Ryx,0xyx0y0x则 ”；0y“若 和 都是偶数，则 是偶数”的否命题是假命题 。abba其中正确命题的序号是_（答：） ；（2）设命题 p： ；命题 q: 。若p 是q 的必要而|43|1x0)1()2(axx不充分的条件，则实数 a 的取值范围是 （答： ）10,2十一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为 的axb形式，若 ,则 ；若 ,则 ；若 ,则当 时， ；当 时，0abxa0bxa0bxR。如x已知关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式)32()()31,(的解集为_0
8、)2()3(ba（答： ）|3x十一一元二次不等式的解集（联系图象） 。尤其当 和 时的解集你会正确表示吗？0设 , 是方程 的两实根，且 ，则其解集如下表：12x20axbc12x0abc2xabc20abc0或1|2x或1|212|12|x|aR |ba0R R 如解关于 的不等式： 。x01)(2x（答：当 时， ；当 时， 或 ；当 时， ；当 时，a1a1xa011xa；当 时， ）十二对于方程 有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数 是否为 0，其02cbx次若 ，则一定有 。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项0a042ac中含有参数时，你是否注意到同样的情形？如：（1） 对一
9、切 恒成立，则 的取值范围是_21Rxa（答： ）；(1,2（2）关于 的方程 有解的条件是什么？( 答： ，其中 为 的值域)，特别x)fxkkD(fx地，若在 内有两个不等的实根满足等式 ，则实数 的范围是0,2cos23in1xk_.（答： ）0,1)十三一元二次方程根的分布理论。方程 在 上有两根、在2()0()fxabca),(k上有两根、在 和 上各有一根的充要条件分别是什么？ (,)mn),(k,（0()2fkba、 、 ） 。根的分布理论成立的前提0()2fmnba()0fk是开区间，若在闭区间 讨论方程 有实数解的情况，可先利用在开区间 上,nm0)(xf ),(nm实根分布
10、的情况，得出结果，再令 和 检查端点的情况如实系数方程 的一根大于 0 且小于 1，另一根大于 1 且小于 2，则 的取20xb 1ab值范围是_（答：（ ，1） ）4十四二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程 的20axbc两个根即为二次不等式 的解集的端点值，也是二次函数20()axbc的图象与 轴的交点的横坐标。2yaxbc如（1）不等式 的解集是 ，则 =_3(4,)a（答： ） ；18（2）若关于 的不等式 的解集为 ，其中 ，则关于x02cbxa ),(),(nm0nm的不等式 的解集为_x02bc（答： ） ；),1(),(（3）不等式 对 恒成立，则实数 的
11、取值范围是_231x1,2xb（答： ） 。概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结函 数一映射 : A B 的概念。在理解映射概念时要注意： 中元素必须都有象且唯一；Bf中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如：（1）设 是集合 到 的映射，下列说法正确的是 A、 中每一个元素在MN M中必有象 B、 中每一个元素在 中必有原象 C、 中每一个元素在 中的原NMN象是唯一的 D、 是 中所在元素的象的集合（答：A） ；（2）点 在映射 的作用下的象是 ，则在 作用下点 的原象为点),(baf ),(baf)1,3(_（答：（2，1） ） ；（3）若 ， ， ，则 到 的映射有 个， 到 的映
12、4,321A,cbaB,RABB射有 个， 到 的函数有 个（答：81,64,81） ；（4）设集合 ，映射 满足条件“对任意的 ，,01,2345MN:fMNxM是奇数 ”，这样的映射 有_个()xffy (a0) O k x1 x2 x （答：12） ；（5）设 是集合 A 到集合 B 的映射，若 B=1,2，则 一定是_2:xfBA（答： 或1 ）.二函数 : A B 是特殊的映射。特殊在定义域 A 和值域 B 都是非空数集！据此可知函数图像与 轴的垂线至多有一个公共点，但与 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意y个。如：（1）已知函数 ， ，那么集合 中所含元()fxF(,)|(),(
13、,)|1xfxFxy素的个数有 个（答： 0 或 1） ；（2）若函数 的定义域、值域都是闭区间 ，则 421y 2,b（答：2）三同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为 ，值域为4，1 的“天一函数 ”共有_个2yx（答：9）四求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：1根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数 中logax且 ，三角形中 ,
14、最大角 ，最小角 等。如0,xa0A33（1）函数 的定义域是_24lg3xy(答： )；0,2)(,3,4（2）若函数 的定义域为 R，则 _274kxyk(答： )；0,4（3）函数 的定义域是 ， ，则函数 的定义域是()fx,ab0()Fxfx_(答： )；,a（4）设函数 ，若 的定义域是 R，求实数 的取值范围；2()lg1)fxx()fx若 的值域是 R，求实数 的取值范围()fxa（答： ； ）1012根据实际问题的要求确定自变量的范围。3复合函数的定义域：若已知 的定义域为 ,其复合函数 的定义域由不()fxab()fgx等式 解出即可；若已知 的定义域为 ,求 的定义域，相
15、当于当()agxbg()f时，求 的值域（即 的定义域） 。 如,（1）若函数 的定义域为 ，则 的定义域为_)(xfy2,1)(log2xf（答： ） ；42|x（2）若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为_2(1)f,)()f（答：1,5） 五求函数值域（最值）的方法：1配方法二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间 上的最,mn值；二是求区间定（动） ，对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系） ，如（1）求函数 的值域25,1,2yx（答：4,8） ；（2）当 时，函数 在 时取得最大
16、值，则 的取值,0(3)(4)(xaxf 2a范围是_（答： ） ；21（3）已知 的图象过点（2,1） ，则 的值域为()3(24)xbf121()()()Fxffx_（答：2, 5）2换元法通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如（1） 的值域为_2sin3cos1yx（答： ） ；174,8（2） 的值域为_（答： ）(3,)（3） 的值域为_sincosincyxxA（答： ） ；1,2（4） 的值域为_249（答： ） ；,343函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的
17、就是三角函数的有界性，如求函数 ， ， 的值域2sin1y3xy2sin1coy（答： 、 （0,1） 、 ） ；1(,23(,24单调性法利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求 ， ， 的值域1(9)yx229sin1siyx53logxy（答： 、 、 ） ；80(,)91,2,05数形结合法函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如（1）已知点 在圆 上，求 及 的取值范围(,)Pxy21y2yxx（答： 、 ） ；3,5,（2）求函数 的值域22()(8)yx（答： ） ；10,)（3）求函数 及 的值域2261345x2261345y
18、xx（答： 、 ）,)(6,2注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在 轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在 轴的同侧。x6判别式法对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式： 型，可直接用不等式性质，如2bykx求 的值域3（答： ）3(0,2 型，先化简，再用均值不等式，如2bxymn（1）求 的值域2（答： ） ；1(,2（2）求函数 的值域3xy（答： ） 10,2 型，通常用判别式法；如2xmny已知函数 的定义域为 R，值域为0，2，求常数 的值238log1
19、x ,mn（答： ）5 型，可用判别式法或均值不等式法，如2xnym求 的值域1（答： ）(,31,)7不等式法利用基本不等式 求函数的最值，其题型特征解析式是2(,)abaR和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如设 成等差数列， 成等比数列，则 的取值范围是_.12,xay12,xy21)(ba（答： ） 。(,04,)8导数法一般适用于高次多项式函数，如求函数 ， 的最小值。32()40fxx3,（答：48）提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？六分段函数的概念。分段函数是在其
20、定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值 时，一定首先要判0()fx断 属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内0x不同子集上各关系式的取值范围的并集。如（1）设函数 ，则使得 的自变量 的取值范围是_2(1).)4()xf()1fxx（答： ） ；(,20,1（2）已知 ，则不等式 的解集_(0()1)xf (2)5xfx（答： ）3(,2七求函数解析式的常用方法：1待定系数法已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：；顶点式： ；零点式： ，要2()fxabc2()fxamn12()(f
21、xax会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式） 。如已知 为二次函数，且 ，且 f(0)=1,图象在 x 轴上截得的线段f (xff长为 2 ,求 的解析式 。()（答： ）21()fx2代换（配凑）法已知形如 的表达式，求 的表达式。如()fgx()fx（1）已知 求 的解析式,sin)co1(2xf2（答： ） ；242,2fx（2）若 ，则函数 =_2)(f)1(xf（答： ） ；23x（3）若函数 是定义在 R 上的奇函数，且当 时， ，那么)(xf ),0()1()3xf当 时， =_)0,(x（答： ）.3这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即 的定义域应是
22、的值域。()f()gx3方程的思想已知条件是含有 及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式()fx的进行赋值，从而得到关于 及另外一个函数的方程组。如（1）已知 ，求 的解析式()2)32fxff（答： ） ；2()3fx（2）已知 是奇函数， 是偶函数，且 + = ,则 = _()fx)(xg()fxg1()fx（答： ） 。21x八反函数：1存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个 值，都有唯一的 值与之对应，故yx单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有 有反函数；周期()0)fx函数一定不存在反函数。如函数 在区间1, 2上存在反函数的充要条件是23yxaA、 B、 C
23、、 D、,12,1,2a,1a2,（答：D）2求反函数的步骤：反求 ；互换 、 ；注明反函数的定义域（原来函数的值域） 。xxy注意函数 的反函数不是 ，而是 。如()yf1()f1()yfx设 .求 的反函数01)(2xf )(f（答： ） 1()(1)fx3反函数的性质：反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。如单调递增函数 满足条件 = x ，其中 0 ，若 的反函数 的定)(xf )3(af a)(xf)(1xf义域为 ，则 的定义域是_a4,1（答：4,7）.函数 的图象与其反函数 的图象关于直线 对称，注意函数()yfx1()yfxyx的图象与 的图象相同。
24、如()yfx1y（1）已知函数 的图象过点 (1,1),那么 的反函数的图象一定经过点_f 4f（答：（1,3） ） ；（2）已知函数 ，若函数 与 的图象关于直线 对132)(xf ()ygx)1(xfy xy称，求 的值(3)g（答： ） ； 72 。如1()()fabfa（1）已知函数 ，则方程 的解 _)24(log3x4)(1xfx（答：1） ；（2）设函数 f(x)的图象关于点（ 1,2）对称，且存在反函数 ，f (4)0，则1() 1(4)f（答：2）互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。如已知 是 上的增函数，点 在它的图象上， 是它的反函数，那么fxR1,3AB1f
25、x不等式 的解集为 _12log（答：（2,8） ） ；设 的定义域为 A，值域为 B，则有 ，()fx 1()fxB1()fx，但 。(A11()fx九函数的奇偶性。1具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数 ， 为奇函数，其中 ，则 的值是 )(xf2sin(3)25,3x)2,0(（答：0） ；2确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：定义法：如判断函数 的奇偶性_（答：奇函数） 。2|4|9xy利用函数奇偶性定义的等价形式： 或 （ ） 。如()0fx()1f
26、x()0f判断 的奇偶性_.（答：偶函数）1()2xf图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 轴对称。y3函数奇偶性的性质：奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.若 为偶函数，则 .如()fx()(|)fxfx若定义在 R 上的偶函数 在 上是减函数，且 =2，则不等式,0)31(f的解集为_.2)(log81f（答： ）(0,.5)(2,)若奇函数 定义域中含有 0，则必有 .故 是 为奇函数的既不充()fx(0)f()ffx分也不必要条件。如若 为奇
27、函数，则实数 _（答：1）.2()1xaf a定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差） ”。如设 是定义域为 R 的任一函数， ， 。判断)(xf ()2fxF()2fxG与 的奇偶性； 若将函数 ，表示成一个奇函数 和一个偶函FG10lg)(f g数 之和，则 _)(h)(g（答： 为偶函数， 为奇函数； ）)(x)(x)(x12复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.既奇又偶函数有无穷多个（ ，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.()0f十函数的单调性。1确定函数的单调性或单调区间的常用方法：在解答题中常用：定义法（取值作差变形定号）
28、、导数法（在区间内，若总有 ，则 为增函数；反之，若 在区间 内为增函数，则(,)ab()0fx()fx()fx(,)ab，请 注意两者的区别所在。如0fx已知函数 在区间 上是增函数，则 的取值范围是_3a1,(答： ）)；0,3在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意 byax型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为 ，减区间为0)b (,)b.如,(ba（1）若函数 在区间（，4 上是减函数，那么实数 的取2)1()(2xaxf a值范围是_(答： ）)；3（2）已知函数 在区间 上为增函数，则实数 的取值范围_()2fx,a（答： ）；1(,)2（3）若函数 的值域
29、为 R，则实数 的取值范围是log40,1af ax且_(答： 且 ）)；04a1复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如函数 的单调递增区间是_21logyx(答：（1,2）)。2特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数 在区间2()log3afxx上为减函数，求 的取值范围（答： ）；二是在多个单调区间之间不一定(,aa(1,23)能添加符号“ ”和“或 ”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示 3你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（比较大小；解不等式；求参数范围）.如已知奇函数 是定义在 上的减函数,若 ，求实数 的取)(xf)2( 0)12()(mff
30、m值范围。（答： ）13m十一常见的图象变换1函数 的图象是把函数 的图象沿 轴向左平移 个单位得axfy)0(xfyxa到的。如设 的图像与 的图像关于直线 对称， 的图像由 的图像()2,)fg(fx()h()gx向右平移 1 个单位得到，则 为_)h(答： )2lo12函数 ( 的图象是把函数 的图象沿 轴向右平移 个单位得axfy0xfyxa到的。如（1）若 ，则函数 的最小值为_2(19)43fxx()fx(答：2)；（2）要得到 的图像，只需作 关于_轴对称的图像，再向_平lg(yylg移 3 个单位而得到(答： ；右)；y（3）函数 的图象与 轴的交点个数有_个()l(2)1fx
31、x(答：2)3函数 + 的图象是把函数 助图象沿 轴向上平移 个单位得ya0fyya到的；4函数 + 的图象是把函数 助图象沿 轴向下平移 个单位得xf)(x到的；如将函数 的图象向右平移 2 个单位后又向下平移 2 个单位,所得图象如果与原aby图象关于直线 对称, 那么x01)(ARbaB,1)(CD0(答：C)5函数 的图象是把函数 的图象沿 轴伸缩为原来的 得到的。axfy)(xfyxa1如（1）将函数 的图像上所有点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变） ，再将此图()f 13像沿 轴方向向左平移 2 个单位，所得图像对应的函数为_x(答： )；36fx（2）如若函数 是偶函数，则函数
32、的对称轴方程是_(1)yfx(2)yfx(答： )126函数 的图象是把函数 的图象沿 轴伸缩为原来的 倍得到的. af)0(fya十二函数的对称性。1满足条件 的函数的图象关于直线 对称。如fxfbx2abx已知二次函数 满足条件 且方程 有等根，)0()(2a)3()5(ff xf)(则 _)(xf(答： )； 212点 关于 轴的对称点为 ；函数 关于 轴的对称曲线方程为(,)y(,)xyxfy；xfy3点 关于 轴的对称点为 ；函数 关于 轴的对称曲线方程为,x,f； f4点 关于原点的对称点为 ；函数 关于原点的对称曲线方程为(,)y(,)xyxf； xfy5点 关于直线 的对称点为
33、 ；曲线 关于直线,ya(),a(,)0fxy的对称曲线的方程为 。特别地，点 关于直线 的对yxa(),0fyax(,)xyyx称点为 ；曲线 关于直线 的对称曲线的方程为(,)(,)0fxyf；点 关于直线 的对称点为 ；曲线 关于直线 的对称0y(,0f曲线的方程为 。如,f己知函数 ,若 的图像是 ,它关于直线 对称图像是3(),()2xx)1xfy1Cyx关于原点对称的图像为 对应的函数解析式是_2,C3C则（答： ） ；21x6曲线 关于点 的对称曲线的方程为 。如(,)0fxy(,)ab(2,)0faxby若函数 与 的图象关于点（-2，3）对称，则 _2xg (g（答： ）27
34、67形如 的图像是双曲线，其两渐近线分别直线 (由分母(,)aycdcx dxc为零确定)和直线 (由分子、分母中 的系数确定 )，对称中心是点 。如x(,)a已知函数图象 与 关于直线 对称，且图象 关于点C 2:1)1yxayxC（2，3）对称，则 a 的值为_（答：2）8 的图象先保留 原来在 轴上方的图象，作出 轴下方的图象关于 轴的对|()|fx()fx x称图形，然后擦去 轴下方的图象得到； 的图象先保留 在 轴右方的图象，擦去(|)f ()fxy轴左方的图象，然后作出 轴右方的图象关于 轴的对称图形得到。如yyy（1）作出函数 及 的图象；2|log(1)|x2log|1|（2）
35、若函数 是定义在 R 上的奇函数，则函数 的图象关于_)(f )()(ffF对称 （答： 轴） y提醒：（1）从结论可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像 与 的对称性，需证两方面：证明1C2上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在 上；证明 上任意点关于对称中心1C 2（对称轴）的对称点仍在 上。如1C（1）已知函数 。求证：函数 的图像关于点 成中心)()(Raxf)(xf (,1)Ma对称图形；（2）设曲线 C 的方程是 ,将 C 沿 轴, 轴正方向分别
36、平行移动 单位长度y3xy,ts后得曲线 。 写出曲线 的方程11（答： ） ；证明曲线 C 与 关于点 对称。3()()xtts12,tA十三函数的周期性。1类比“三角函数图像”得：若 图像有两条对称轴 ，则 必是周期函数，且一周期()yfx,()xab()yfx为 ；2|Tab若 图像有两个对称中心 ，则 是周期函数，且一()yfx(,0),()AaBb()yfx周期为 ；2|Tab如果函数 的图像有一个对称中心 和一条对称轴 ，则函数f , ba必是周期函数，且一周期为 ；()f 4|T如已知定义在 上的函数 是以 2 为周期的奇函数，则方程 在 上至少R()fx ()0fx2,有_个实
37、数根（答：5）2由周期函数的定义“函数 满足 ，则 是周期为 的周期函xaf(0)a数”得：函数 满足 ，则 是周期为 2 的周期函数；()fxxaf()若 恒成立，则 ；1(0)afT若 恒成立，则 .()()fxxa如(1) 设 是 上的奇函数， ，当 时， ，则,)()2(xfxf10xf)(等于_)5.47(f(答： )；5.0(2)定义在 上的偶函数 满足 ，且在 上是减函数，若 是R()fx()(ff3,2,锐角三角形的两个内角，则 的大小关系为_sin,cos_(答： )；(sin)(cosff（3）已知 是偶函数，且 =993， = 是奇函数，求 的值()fx(1)f()gx1
38、)f05(答：993)；（4）设 是定义域为 R 的函数，且 ，又 ，2fxfx2f则 =206f(答： )十四指数式、对数式：， ， ， ， ， ， ， ，mna1mna0log10al1alg251loglnex， ， ， 。如log(,)baNbNlaNolcbllmnaab（1） 的值为_235l4og9A(答：8)；（2） 的值为_2log8()(答： )164十五指数、对数值的大小比较：（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0 或 1） ；（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。 十六函数的应用。 （1）求解数学应用题的一般步骤：审题认真读题，确切
39、理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；建模通过抽象概括，将实际问题转化为相应的数学问题，别忘了注上符合实际意义的定义域；解模求解所得的数学问题；回归将所解得的数学结果，回归到实际问题中去。 （2）常见的函数模型有：建立一次函数或二次函数模型；建立分段函数模型；建立指数函数模型；建立 型。byax十七抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：1借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ：正比例函数型： - ；()0)fxk()()fxyfy幂函数型： -
40、， ；2(fxyx指数函数型： - ， ； ()xfa)()fy()(ffy对数函数型： - ， ； log(fxyxf三角函数型： - 。如已知 是定义在 R 上的()tanfx()1fyf)(奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为 T，则 _（答：0）22利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：如（1）设函数 表示 除以 3 的余数，则对任意的 ，都有()fxNx,xyNA、 B、3f()()fyfyC、 D、f（答：A） ；（2）设 是定义在实数集 R 上的函数，且满足 ，如果)(x )(1()2(xffxf， ，求3lg)1(f 15lgf )201(f（答
41、：1） ；（3）如设 是定义在 上的奇函数，且 ，证明：直线 是函)(xf )()2(xfxfx数 图象的一条对称轴；)(xf（4）已知定义域为 的函数 满足 ，且当 时， 单调R)(xf 4ff 2)(f递增。如果 ，且 ，则 的值的符号是_42102(1)(21（答：负数）3利用一些方法（如赋值法（令 0 或 1，求出 或 、令 或 等） 、递推ffyx法、反证法等）进行逻辑探究。如（1）若 ， 满足 ，则 的奇偶性是_xR()f()(fxyf)y()x（答：奇函数） ；（2）若 ， 满足 ，则 的奇()fx偶性是_（答：偶函数） ；（3）已知 是定义在 上的奇函数，当()fx(3,) 0
42、3时， 的图像如右图所示，那么不等式 ()cosfxAO 1 2 3 xy的解集是_（答： ） ；(,1)(0,3)22（4）设 的定义域为 ，对任意 ，都有 ，且 时，()fxR,xyR()xffyyx，又 ， 求证 为减函数； 解不等式 .0f12()f 2(5)（答： ） 0,14,5概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结平面向量一向量有关概念：1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移） 。如：已知 A（1,2） ，B（4,2） ，则把向量 按向量 （1,3）平移后得到的向量是ABa_（答：（3,
43、0） ）2零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作： ，注意零向量的方向是任意的；03单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 共线的单位向量是AB)；|AB4相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 、 叫做平行向量，记作：ab ， 规定零向量和任何向量平行。ab提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有 )；0三点 共线 共线；ABC、 、 ABC、6相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 的相反向量是 。如aa下列命题：（1）若 ，则 。 （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，ab终点相同。 （3）若 ，则 是平行四边形。 （4）若 是平行四边形，则D ABCD。 （5）若 ，则 。 （6）若 ，则 。其中正确的是_ABD,c/,abc/（答：（4） （5） ）二向量的表示方法：1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 ，注意起点在前，终点在后；2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 ， ， 等；abc3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 ，xyi为基底，则平面内的任一
