1、2018 届吉林省辽源市田家炳高级中学等五校高三上学期期末联数学（理）试题（解析版）一、选择题 （本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1. 已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】集合 P=xx10=x|x1，CRP=x|x1，Q=x0x2 ，则（C RP）Q=x|1x2故选：C2. 下列命题中的假命题是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】A. ，x=1;满足。B. 不正确，当 x=0 时， 。C. ，当 x= 时, 。正确。D. ，是正确的。故答案为：B。3. 已知两条直线 ，两个平面 ，给出下面四个命题： ； ， ； ， ； 。其中正确命
2、题的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，则两条直线可以相交。故不正确的。 ， ，有可能其中一条直线 n 在平面内。故不正确的。 ， ，根据线面垂直的判定定理得到结论正确。 ，则 ,又因为 ，故 。结论正确；故正确的是。故答案为：B。4. 某几何体的三视图如图，则几何体的体积为A. 8+16 B. 8-16 C. 168 D. 8+8【答案】B【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个半圆柱切去一个三棱柱所得的组合体，半圆柱的底面半径为 2，高为 4，故体积 V= 224=8，三棱柱的体积 V= 424=16，故组合体的体积 V=816，故答案为：B。5. 已知变量 x，
3、y 满足约束条 ，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据题意得到可行域是封闭的三角形区域，交点为 目标函数化简为，根据图像得到当目标函数过点 A 时取得最大值；代入得到 11.故答案为:D .6. 已知等比数列 的前 项和 ，则数列 的前 12 项和等于（ ）A. 66 B. 55 C. 45 D. 65【答案】A【解析】已知 ， ，两式子做差得到 ，故 ，故 是等差数列，首项为 0，公差为 1，则前 12 项和为 66.故答案为：66.故答案为选择：A。7. 如图所示，向量 在一条直线上，且 则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据向量加法的三角形法
4、则得到 化简得到 。故答案为：D。8. 函数 图象的大致形状是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据表达式知道 ，故函数是奇函数，排除 CD；当 x1 时，故排除 A 选项，B 是正确的。故答案为：B。9. 已知随机变量 X 服从正态分布 N（3，2） ，且 P（x6）=0.9，则 P（0x3）=（ ）A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7【答案】A【解析】P（x6）=0.9 ，P（x6）=1 0.9=0.1P（x0）=P （x6）=0.1 ，P（0x3）=0.5 P（x0）=0.4故答案为：A。10. 已知函数 的图象与 轴的两个相邻交点的距离等于 ，若将函数
5、的图象向左平移 个单位得到函数 的图象，则在下列区间中使 是减函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数 f（x）=sinx cosx（0）的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于 ，函数 f（x）=sin4x cos4x=2sin（4x ）；若将函数 y=f（x）的图象向左平移 个单位得到函数 y=g（x）=2sin（4x+ ）的图象令 2k+ 4x+ 2k+ ，可得 kZ，当 k=0 时，故函数 g（x）的减区间为 。故答案为 B 。11. 设 为双曲线 的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线 的左、右支交于点 ，若 ，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【
6、答案】A【解析】|PQ|=2|QF|，PQF=60， PFQ=90，设双曲线的左焦点为 F1，连接 F1P，F1Q，由对称性可知，F 1PFQ 为矩形，且 故 。故答案为：A。12. 设函数 是奇函数 （xR）的导函数， ，且当 时， ，则使得 0 成立的的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设 g（x）= ，则 g（x）的导数为：g（x）= ， 当 x 0 时，xf （x）f（x）0，即当 x0 时，g（x）恒大于 0，当 x 0 时，函数 g（x）为增函数，f（ x）为奇函数函数 g（x）为定义域上的偶函数又 g（1）= =0，f（x）0，当 x 0 时， 0，当
7、x0 时， 0，当 x 0 时，g（x）0=g（1） ，当 x0 时，g（x）0=g（1），x 1 或 1x0故使得 f（x）0 成立的 x 的取值范围是（1，0）（1 ，+），故答案为：A。点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集。二、 填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分 ，共 20 分）13. 设向量 ， ，若- 与 垂直，则 的值为_【答案】【解析】根据题意得到- 与 垂直，得到
8、代入公式得到 故答案为： 。14. 若函数 的两个零点是 1 和 2，则不等式 的解集是 _【答案】【解析】f （x）=x2+ax+b 的两个零点是2， 31，2 是方程 x2+ax+b=0 的两根，由根与系数的关系知 f（x）=x2x2不等式 a（2x）0，即（4x 2+2x2）02x2+x10，解集为 故答案为 .点睛：此题体现了一元二次不等式的解法，解决一元二次不等式的解法的问题，常常需要向方程或图象方面转化，而数形结合正是它们转化的纽带，求解不等式联系方程的根，不等中隐藏着相等15. 设 n= dx，则二项式 展开式中常数项为 _【答案】60【解析】n= dx 故得到 n=6, = 常
9、数项 k=2，代入得到 60.故答案为：60.点睛：这个题目考查的是二项式定理的应用，和积分的应用。一般二项式的小题，考查的有求某些项的和，求某一项的系数，或者求某一项。要分清楚二项式系数和，和系数和。求和时注意赋值法的应用。16. 已知 a，b，c 分别是ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边，若 ，三内角 A，B，C 成等差数列，则该三角形的外接圆半径等于_；【答案】2【解析】设ABC 的外接圆的半径为 R，A， B， C 成等差数列A+C=2B，且 A+B+C=180，所以 B=60，由正弦定理得，2R= =4，则 R=2.故答案为：2.三、 解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。
10、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 ）17. ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cosC（acosB+bcosA）=c （）求 C；（）若 c= ，ABC 的面积为 ，求ABC 的周长【答案】(1) C= (2) ABC 的周长为 + 【解析】试题分析：（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知可得2cosCsinC=sinC，结合范围 C（0，） ，解得 cosC= ，可得 C 的值 （2）由三角形的面积公式可求ab=3，利用余弦定理解得 a+b 的值，即可得解ABC 的周长解析：（） 在 ABC 中，0C， sinC0 利用正弦定理化
11、简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC ，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即 2cosCsin（A+B）=sinC,2cosCsinC=sinC cosC= ，C= （）由余弦定理得 3=a2+b22ab ， （a+b）23ab=3，S= absinC= ab= ， ab=16，（a+b）248=3，a+b= ，ABC 的周长为 + .点睛：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题一般三角形的题目已知两角和一对边则用正弦定理，用两边和夹角用余弦定理。18. 记
12、 为差数列 的前 n 项和，已知， .(1)求 的通项公式；(2)令 ， ，若 对一切 成立，求实数 的最大值.【答案】(1) (2) 实数 的最大值为【解析】试题分析：（1）根据等差数列的公式得到通项；（2）由第一问得到 ，故得到前 n项和， 是递增数列， ，进而得到结果。解析：(1)等差数列 中， ， . ，解得 . ， . (2) ，是递增数列， ， ， 实数 的最大值为 . 点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和 的关系，求 表达式，一般是写出 做差得通项，但是这种方法需要检验 n=1 时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减
13、，裂项求和，分组求和等。19. 如图，ABCD 是边长为 3 的正方形，DE 平面 ABCD，AFDE，DE=3AF，BE 与平面 ABCD 所成角为60（）求证：AC平面 BDE；（）求二面角 FBED 的余弦值【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（）因为 DE平面 ABCD，所以 DEAC因为 ABCD 是正方形，所以 ACBD，从而 AC平面 BDE；（）建立空间直角坐标系 D-xyz，分别求出平面 BEF 的法向量为 和平面 BDE 的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值试题解析：（1）证明：因为 DE平面 ABCD，AC 平面 ABCD，所以 DEAC 因为 ABCD 是正
14、方形，所以 ACBD又 BD，DE 相交且都在平面 BDE 内，从而 AC平面 BDE （2）因为 DA，DC，DE 两两垂直，所以建立空间直角坐标系 D-xyz，如图所示因为 DE平面 ABCD，所以 BE 与平面 ABCD 所成角就是DBE已知 BE 与平面 ABCD 所成角为 60，所以DBE60，所以由 AD3 可知 DE3 ，AF 由 A（3，0，0） ，F （3，0， ） ，E（0，0，3 ） ，B（3，3，0） ，C（0，3，0） ，得（0，3， ） ，（3，0，2 ） 设平面 BEF 的法向量为 n（x，y，z） ，则即 令 z ，则 n（4，2， ） 因为 AC平面 BDE，
15、所以为平面 BDE 的法向量 m（3，3，0） ，所以 cosn，m 因为二面角为锐角，所以二面角 F-BE-D 的余弦值为 考点：1用空间向量求平面间的夹角；2直线与平面垂直的判定20. 某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是 且各阶段通过与否相互独立 (1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率； (2)设该选手在竞赛中回答问题的个数为 ，求 的分布列与均值【答案】(1) (2) 的分布列为： 1 2 3PE=2 【解析】试题分析：（1）选手在复赛阶段被淘汰的概率 P=P（A ）
16、，分别求出 P（A）= ，P（B）= ，代入公式P=P（A ）=P（A）P（ ）得到结果。 （2）根据题意得到 P（=1）= ，P（=2）= ，P（=3）= ，再根据期望公式得到结果。解析：（1）解：记“该选手通过初赛”为事件 A，“该选手通过复赛”为事件 B，“该选手通过决赛”为事件 C，则 P（A）= ，P（B）= ，P（C）= 那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率 P=P（A ）=P（A）P（ ）= （2）解： 可能取值为 1，2，3 P（=1）=1 = ， P（=2）= P（=3）= + = 故 的分布列为： 1 2 3PE=1 +2 +3 =2 21. 已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距为 ，离心率为（1）求椭圆 C 的方程；
