1、2018 届福建省泉港区第一中学高三上学期期中考试 数学（理）（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.已知全集 UZ，A1，0，1，2 ，B x|x2=x，则 A B 为（ ）A.-1，2 B.-1，0C. 0，1 D.1，22. 命题“ nfNnf且, ”的否定形式是( )A 且 B 000, nfNnf或C ff且, D 或3. 设a n是公比为 q 的等比数列，则“q1”是“a n为递增数列 ”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4.若| |=3，| |=1 且（ + ） =-2，
2、则 cos ， =（ ）A. - B. - C. - D. 5. 等比数列a n中，a 42，a 55，则数列lg a n的前 8 项和等于( )A4 B5 C6 D76. 已知 则（ ）A. Cba B. bc a C. bac D. abc7. 已知函数 f（x ）满足 f（- x）=-f （x），且 f（x+2）=f （x），当 0x1 时，f （x）=2x（1- x），则 f（-）=（ ）A. - B. - C. D. 8. 曲线 在 x=1 处的切线的倾斜角为 ，则 cos+sin 的值为（ ）A. B. C. D. 9. 若 abc,则函数 fxabxcxa的两个零点分别位于区间(
3、 )A. 和 内 B. ,和 ,内 C. ,c和 ,内 D. 和 c内10. 函数 ()fx= os)的部分图像如图所示，则 ()fx的单调递减区间为( )(A) 13,),4kkZ (B) 13(2,),4kkZ(C)(2, (D) ,11. 在锐角三角形 CA中， 1tan2， D为边 C上的点， DA与 C的面积分别为2和 4过 D作 于 ， FA于 ，则 F（ ）13. 156.B 157. 145.12.已知函数 f（x ）= ，关于 x 的方程 f 2（x ）-2 af（x）+a-1=0（aR）有 3 个相异的实数根，则 a 的取值范围是（ ）A. （，+） B. （-，） C.
4、（0，） D. 二、填空题：(本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡相应位置) 13.若 209,TxdT则 常 数 的 值 为 _.14. 15.已知 0a, xy满足约束条件13()xya,若 2zxy的最小值为 1,则 a 16数列 an满足 an+1(1) n an 2n1 ，则a n的前 60 项和为_三、解答题：(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. （本小题满分 12 分）设数列 na的前 项和为 nS，且 *21()naN ()求证数列 na是等比数列，并求 n的通项公式； ()设数列 的前 n 项和为 nT，
5、求 的表达式；18. （本小题满分 12 分）已知向量 (cosin,si)xxa， (cosin,23cos)xxb，设函数 ()fxab()xR的图象关于直线 对称，其中 ， 为常数，且 1(). （）求函数 f的最小正周期； （）若 ()yx的图象经过点 (,0)4，求函数 ()fx在区间 30,5上的取值范围. 19. （本小题满分 12 分）如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA 1,BAA 1=60.()证明 ABA 1C;()若平面 ABC平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与平面BB1C1C 所成角的正弦值.20. （本小题满分 12 分
6、）已知抛物线2:(0)Eypx，直线 3xmy与 E交于 A， B两点，且6OAB，其中 为坐标原点.（1）求抛物线 E的方程；（2）已知点 C的坐标为（-3,0），直线 CA、 B的斜率分别为 1k， 2，证明：221mk为定值.21 （本小题满分 12 分） 已知函数 xbaxfln ，且 01xf，其中 ba,为常数(1) 若函数 xf的图像在 1的切线经过点 5,2，求函数的解析式；(2) 已知 0a，求证： 0)2(af；(3) 当 xf存在三个不同的零点时，求 的取值范围22. 请考生从 22、23 两题任选 1 个小题作答，满分 10 分如果多做，则按所做的第一题记分作答时，先用
7、 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中22. （本小题满分 10 分以直角坐标系的原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 M的直角坐标为 (1,0)，若直线 l的极坐标方程为 2cos()104，曲线 C的参数方程是24xty（ 为参数） .（1）求直线 l和曲线 C的普通方程；（2）设直线 和曲线 交于 ,AB两点，求 1MB.23. （本小题满分 10）已知函数 ()2gxa（ R）（1）当 3a时，解不等式 4；（2）令 ()2)fxg，若 ()1fx在 R上恒成立，求实数 的取值范围.泉港一中 2017-2018 学年上学期期中考试高三
8、数学（理科）试题参考答案（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知全集 UZ，A1，0，1，2 ，B x|x2=x，则 A B 为（ D ）A.-1，2 B.-1，0C. 0，1 D.1，22. 命题“ nfNnf且, ”的否定形式是( B )A 且 B 000, nfNnf或C ff且, D 或3. 设a n是公比为 q 的等比数列，则“q1”是“a n为递增数列 ”的( D )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4.若| |=3，| |=1 且（
9、 + ） =-2，则 cos ， =（ C ）A. - B. - C. - D. 5. 等比数列a n中，a 42，a 55，则数列lg a n的前 8 项和等于( A )A4 B5 C6 D76. 已知 则（ C ）A. Cba B. bc a C. bac D. abc7.已知函数 f（x）满足 f（-x ）=- f（x），且 f（x +2）=f （x ），当 0x1 时，f（x）=2x(1-x），则 f（- ）=（ A ）A. - B. - C. D. 8.曲线 在 x=1 处的切线的倾斜角为 ，则 cos+sin 的值为（ A ）A. B. C. D. 9.若 abc,则函数 fxab
10、xcxa的两个零点分别位于区间( B )A. 和 内 B . ,和 ,内 C. ,c和 ,内 D. 和 c内10. 函数 ()fx= os)的部分图像如图所示，则 ()fx的单调递减区间为( C )(A) 13,4kkZ (B) 13(2,),4kkZ(C) (2,), (D) , 11.在锐角三角形 CA中， 1tan2， D为边 C上的点， DA与D的面积分别为 2和 4过 作 于 ， F于 ，则 F（ B ） 13. 156.B 157. 145.12.已知函数 f（x ）= ，关于 x 的方程 f 2（x ）-2 af（x）+a-1=0（aR）有 3 个相异的实数根，则 a 的取值范围
11、是（ D ）A. （，+ ） B. （-，） C. （0，） D. 二、填空题：(本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡相应位置) 13.若 209,TxdT则 常 数 的 值 为 _3_.14. 已知 |a， ba，则在 方向上的投影为_4_15.已知 0, xy满足约束条件13()xya,若 2zxy的最小值为 1,则 a 1/2 16数列 an满足 an+1(1) n an 2n1 ，则a n的前 60 项和为_1830_三、解答题：(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 设数列 na的前 项和为 nS，且 *21()n
12、aN ()求证数列 是等比数列，并求 的通项公式； ()设数列 n的前 n 项和为 nT，求 n的表达式；解：（）由 21nnSa得 112nnSa，二式相减得： 112nnnaa， 1na，数列 n是公比为 2 的等比数列， 3 分又 11112, 2nSaa . 5 分（） n， 012213(),nnnT 12 ()2nn ， 8 分得 22112nnnn 2， 2()nnT. 12 分18.（本小题满分 12 分）已知向量 (cosin,si)xxa， (cosin,23cos)xxb，设函数()fxab()xR的图象关于直线 对称，其中 ， 为常数，且 1(). （）求函数 f的最小
13、正周期； （）若 ()yx的图象经过点 (,0)4，求函数 ()fx在区间 30,5上的取值范围.【答案】 （）因为 22sincos3sincofxcos23xi()6x. 2 分 由直线 是 ()yfx图象的一条对称轴，可得 si(2)16，3 分 所以 262kZ，即 1)23kZ4 分 又 1(,)， ，所以 ，故 56. 5 分 所以 fx的最小正周期是 65. 6 分 （）由 ()y的图象过点 (,0)4，得 ()04f，即 52sin2sin6，即 2. 7 分 故 ()()3fx， 8 分 由 05，有 566x，9 分 所以 15sin()1236x，得， 52sin()23
14、6x11 分 故函数 )f在 0,上的取值范围为 1,. 12 分19. 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA 1,BAA 1=60.()证明 ABA 1C;()若平面 ABC平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值.解：() 取 AB 中点 E,连结 CE, 1A, E, AB= 1A, 1B= 06, 1是正三角形, 3 分 1EAB, CA=CB, CEAB, 1CEA=E,AB 面 1CA, AB 1; 5 分 ()由( )知 ECAB, 1EAB, 又面 ABC面 AB,面 ABC面 1AB=AB,EC面 1A
15、B,EC 1EA, 6 分EA,EC, 1E两两相互垂直,以 E 为坐标原点,的方向为 x轴正方向,| A|为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系 Oyz, 7 分 有题设知 A(1,0,0), 1(0, 3,0),C(0,0, ),B(-1,0,0),则 BC=(1,0,3), 1B= A=(-1,0, ), 1C=(0,- , 3), 设 n= (,)xyz是平面 B的法向量, 则 10C,即 30xzy,可取 n=( 3,1,-1), 9 分 cos,An= 1|= 5, 11 分直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 105 12 分 20. 已知抛物线2:(0)Eypx
16、，直线 3xmy与 E交于 A， B两点，且 6OAB，其中 为坐标原点.（1）求抛物线 的方程；（2）点 C的坐标为（-3,0），记直线 CA、 B的斜率分别为 1k， 2，证明：221mk为定值.试题解析：（1）解：设 1(,)xy， 2(,)，联立方程组 3ypxm，消元得260yp，所以 2ypm， 26p.2 分又112122()964yOABxp，6 分所以p，从而抛物线 E的方程为2yx.5 分（2）因为1136ykxm，2236ykm，所以 116y， 22y，6 分因此22116()()k22121()3()mmyy8 分2 221126yA又 12yp， 123yp，9 分
17、所以22 221 649mmk.11 分即221为定值.12 分来21 已知函数 xbaxfln ，且 01xf，其中 ba,为常数(1) 若函数 f的图像在 1的切线经过点 5,2，求函数的解析式；(2) 已知 0a，求证： 0)2(af；(3) 当 xf存在三个不同的零点时，求 的取值范围21.（1）解：在 01xf中，取 1x得 0fbafba 2 分2 xx 5121 afxfln 4 分（2） ln2l2l)(332aaaf令： lnln3xxg，则 242 1x6 分1,0x时， ,0xg单调递减，时， 02ln1l21所以 0a时， 0)(2f 8 分（3） 22 )1(xaxf 当 0a时，在 ,上， 0f， f递增，xf至多一个零点，不符题意； 9 分当 21时，在 ,上， xf， f递减，xf至多一个零点，不符题意； 10 分
