1、2018 届甘肃省会宁县第一中学高三上学期第三次月考数学（理）试题（解析版）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 若集合 有且仅有 2 个子集,则实数 的值为（ ）A. B. 或 C. 或 D. 或【答案】B【解析】集合 有且仅有 2 个子集，集合 只有一个元素，若，即 时，方程等价为 ，解得 ，满足条件，若 ，即时，则方程满足 ，即 ， ，解得 或 ，综上或 ，故选 B.2. 设函数 为偶函数，且当 时 ，当 时 ，则（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】函数 为偶函数， ，当 时 ，；当 时 ，
2、，故选 B.3. 若 ,则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】解： ，所以选 A4. （其中 ）的图象如图所示，为了得到 的图像，则只要将 的图像（ ） A. 向右平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度C. 向左平移 个单位长度 D. 向左平移 个单位长度【答案】A【解析】试题分析：由图可知， ，又当 时，所以 ， ，解得 ，又因为 ，所以，为得到 的图象，将 的图象向右平移 个单位即可，应选 A.考点：三角函数图象和性质、平移变换.5. 函数 的图象（ ）A. 关于原点对称 B. 关于直线 对称 C. 关于 轴对称 D. 关于 轴对称【答案】D【解析】 ， ， 为偶
3、函数， 的图象关于 轴对称，故选 D.6. 设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ，则曲线 在点 处的切线的斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】对函数 ，求导可得 ， 在点 处的切线方程为 ， ， ， 在点 处切线斜率为 4，故选 C.7. 由曲线 与直线 所围成的平面图形的面积是（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】D【解析】作出对应的图象如图所示：由 得 ，由三角函数的对称性可得 ，故选 D.点睛：本题主要考查了定积分在求面积中的应用，运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：1、根据已知条件，作出平面图形的
4、草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；2、解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限； 3、具体计算定积分，求出图形的面积8. 设函数 ，且 ，若 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由指数函数和对数函数的单调性可知 在 上单调递减， ，若 ，则 ，故选 A.9. 定义行列式运算 = ，将函数 的图象向左平移 （ ）个单位，所得图象关于 轴对称，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，图象向左平移 （ ）个单位，得，则当 取得最小值 时，函数为偶函数，故选 C.10. 函数 的定义域为 ， ，对任意 ，都有 ，则 的解集为（ ）A. B. C.
5、 D. 【答案】B【解析】解：因为函数 的定义域为 R， ，对任意 恒成立，所以说 的导数恒大于零，则说明函数 是递增函数，而又 f(-1)-2=0,故不等式大于零的解集为11. 若 ， 是第三象限的角，则 （ ）A. B. C. 2 D. -2【答案】A【解析】试题分析： ， 为第三象限， ,考点：同角间的三角函数关系，二倍角公式12. 已知函数 在 上是增函数， ，若 ，则 x 的取值范围是（ ）A. （0,10） B. C. D. 【答案】C【解析】 ， 是偶函数，又 在 上是增函数， 在上是减函数，又 ， ， ， ，故选 C.点睛：本题主要考查函数的奇偶性以及在对称区间上的单调性，本题
6、又是抽象函数，在解不等式时，多考虑应用单调性定义或数形结合；由 ，知 是偶函数，再由 在 上是增函数知 在 上是减函数，再将 转化为 求解.二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填在答题卷相应位置上.13. 若 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是_.【答案】【解析】 ，要使函数在区间 上是增函数，需使，解得 ，故答案为 .14. 如图 中,已知点 在 边上, , , 则 的长为_.【答案】【解析】试题分析：因为 ，所以 ，所以，所以，在 中， ，根据余弦定理得： ，所以 . . . . .考点：三角函数的诱导公式和余弦定理.【方法点晴】本题主要考查了三角函数
7、的诱导公式和三角函数的邮递公式、以及垂直的定义的综合应用，其中根据 ，得 ，则 ，求解 ，利用余弦定理列出方程是解答本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力和推理、运算能力，属于中档试题.15. 已知函数 ，满足对任意 ，都有 成立，则 的取值范围是_.【答案】【解析】因为函数 对任意 ，都有 成立，即函数为减函数，故需满足 ，解得 ，故答案为 .点睛：本题主要考查了指数函数，一次函数以及分段函数的单调性，难度一般，要使分段函数单调递减，必须满足以下几个条件：1、指数函数单调递减，即 ；2、一次函数单调递减，即一次项系数小于0；3、左端的最小值大于等于右端的最大值 .16. 设 是定
8、义在 上且周期为 2 的函数，在区间 上， ，其中若 ，则 的值为_.【答案】【解析】试题分析：由 ，又考点：1、函数的解析式；2、函数的单调性.【方法点晴】本题主要考查函数的解析式和函数的单调性，其中涉及函数与方程思想，具有一定的综合性，属于较难题型.先利用周期性得 ，从而建立方程 ，又利用 ，再建立方程 ，联立两方程解得 ，从而求得 ，解本题时要始终牢牢紧扣函数与方程思想，才能顺利求解.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第 1721 题为必做题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。17. 已知直线 与函数 的图像的两相邻交点
9、之间的距离为 。(1)求 的解析式；(2)将函数 的图像向左平移 个单位得到函数 的图像，求函数 的最大值及 取得最大值时 的取值集合。【答案】 （1） ；（2） 最大值为 2， 取得最大值时 的取值集合为【解析】略18. 在 中，角 所对的边为 ，已知 .（1）求 的值；（2）若 的面积为 ，求 的值.【答案】 （1） ；（2） 或【解析】试题分析：（1）利用正弦定理对已知条件化简可求 ，利用三角形的大边对大角可求 ；（2 ）利用余弦定理可求 ， 之间的关系，进而结合三角形的面积可 ，再把 ， 的关系代入可求 ，的值.试题解析：（1） ， ， 或 ， ，所以（2 ）由 ，解得 或 ，又， ，
10、由 或 19. 设函数 ，其中 为实数若 在 上是单调减函数，且在 上有最小值，求 的取值范围；【答案】【解析】试题分析： 在 上是单调减函数等价于 在 上恒成立，利用分离参数可得 的范围，对 进行求导， ，将导函数的零点和 1 进行比较，可分为和 两种情形，通过导数判断单调性.试题解析： 在 上恒成立，则 ， ，故： ，若 ，则 在 上恒成立，此时， 在上是单调增函数，无最小值，不合题意；若 ，则 在 上是单调减函数，在 上是单调增函数， ，满足，故 的取值范围为： 点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用之导数与单调性的关系，导数与最值的关系，属于基础题；函数在某区间内单调递减等价于该函数的
11、导数在该区间内小于等于 0 恒成立，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段通过分离参数可转化为 或 恒成立，即 或 即可，利用导数知识结合单调性求出 或 即得解.20. 某公司对营销人员有如下规定：年销售额 (万元)在 8 万元以下，没有奖金；年销售额 (万元)， 时，奖金为 万元，且 ， ，且年销售额越大，奖金越多；年销售额超过 64 万元，按年销售额的 10%发奖金(1)求奖金 y 关于 x 的函数解析式；(2)若某营销人员争取奖金 (万元)，则年销售额 (万元)在什么范围内？【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）奖金 关于 的函数解析式是一个分段函数，其中 在 为增函数，可求
12、得 值，再利用分段函数的形式写出奖金 关于 的函数解析式即可；（2）年奖金分为两段：， ，分别利用对于的解析式，解出相应的 ，即可得到年销售额的取值范围.试题解析：(1)依题意 在 上为增函数，所以 解得 ，所以(2)易知 ，当 时，要使 ，则 ，解得 ，所以，当 时，要使 则 ，所以 ，综上所述，当年销售额 (万元)时，奖金 (万元)21. 设 为实数，函数(1)求 的单调区间与极值；(2)求证：当 且 时，【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由已知易得 ，令 ，得 ，列表讨论能求出的单调区间区间及极值；（2）构造 ，对其求导，由（1）知当时， 最小值为 ，于是对任意
13、 ，都有 ，所以 在 内单调递增由此能够证明 .试题解析：（1）解：由 知， 令 ，得 .于是，当 变化时， 和 的变化情况如下表：0 +单调递减 单调递增故 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 在 处取得极小值，极小值为 （）证明：设 ，于是 ，由（1）知，对任意 ,都有 ，所以 在 R 内单调递增，于是，当 时，对任意 ，都有 ，而 ，从而对任意 ，都有 ，即 故22. 已知在平面直角坐标系 内，点 在曲线 ： （ 为参数， ）上运动，以 为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 （1）写出曲线 的标准方程和直线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线 相交于 两点，试求 面积的最大值【答案】 （
14、1） ；（2）【解析】试题分析：()对于曲线 ，理平方关系消去参数 即可；对于极坐标方程 利用三角函数的和角公式后再化成直角坐标方程，再利用消去参数 得到直线的直角坐标方程()欲求 面积的最大值，由于 一定，故只要求 边上的高最大即可，根据平面几何的特征，当点在过圆心且垂直于 的直线上时，距离 最远，据此求面积的最大值即可试题解析：()消参数 得曲线 的标准方程： .由题得： ，即直线的直角坐标方程为： .()圆心到的距离为 ，则点 到的最大距离为 ， .考点：极坐标23. 设 .(1)求不等式 的解集 ；(2)若关于 不等式 有解，求参数的取值范围【答案】 （1） ；（2 ）【解析】试题分析：（1） ,如图,函数 的图象与直线 相交于横坐标为 的两点 ,由此得 .（2）由（1）知 的最小值为 ,则不等式 有解，必须且只需 ,解得 ,所以取值范围是 .试题解析：（1） ,如图,函数 的图象与直线 相交于横坐标为的两点,由此得 .（2）由（1）知 的最小值为 ,则不等式 有解，必须且只需 ,解得 ,所以取值范围是 .考点：1. 分段函数的图象和性质；2.数形结合思想.【名师点睛】含绝对值的函数问题，往往利用绝对值的概念，转化成分段函数，结合函数的图象，进一步确定相关问题的答案.本题能较好地考查数形结合思想、转化与化归思想及基本运算能力.
