1、 1 广西钦州市高新区2016-2017 学年高三年级上学期12月份考试 理 科 数 学 试 题 (时间：120 分钟 满分：150分) 一选择题（本大题共12 小题，每小题 5分，共 60分） 1已知集合 0,1,2 A ， 1, Bm ，若 A B B ，则实数 m的值是（ ） A0 B0或2 C2 D0或1 或 2 2已知命题 p ： “存在 0 1, x ，使得 0 2 (log 3) 1 x ” ，则下列说法正确的是（ ） A p 是假命题； p ： “任意 1, ) x ，都有 0 2 (log 3) 1 x ” B p 是真命题； p ： “不存在 0 1, ) x ，使得 0
2、2 (log 3) 1 x ” C p 是真命题； p ： “任意 1, ) x ，都有 0 2 (log 3) 1 x ” D p 是假命题； p ： “任意 0 ( ,1) x ，都有 0 2 (log 3) 1 x ” 3定义运算 , , ab ad bc cd ，若 2 1, 2 , z ii ，则复数 z 对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4.已知公差不为0的等差数列 n a 满足 1 3 4 , a a a 成等比数列， n S 为数列 n a 的前 n项和，则 32 53 SS SS 的值为( ) A. 2 B. 3 C.2 D.3 5.“ 2 ,
3、0 x x a R ”的否 定形式 是( ) A 2 ,0 x x a R B 2 ,0 x x a R C 2 ,0 x x a R D 2 ,0 x x a R 6.已知函数 2 2016 2016 log 1 2016 xx f x x x ，则关于 x的不等式 3 1 0 f x f x 的 解集为( ) 2 A 1 , 4 B 1 , 4 C 0, D ,0 7设变量x，y满足约束条件 ，则 z=2x+y的最小值为（ ） A 7 B 6 C 1 D 2 8下列函数中在 上为减函数的是（ ） Ay=tanx B Cy=sin2x+cos2x Dy=2cos 2 x1 9已知数列 n a
4、 是等差数列， 1 tan 225 a ， 51 13 aa ，设 n S 为数列( 1) n n a 的前 n项和，则 2015 S （ ） A 2015 B 2015 C 3024 D 3022 10如图，焦点在 x轴上的椭圆 22 2 1 3 xy a （ 0 a ）的左、右焦点分别为 1 F ， 2 F ， P 是椭圆上 位于第一象限内的一点，且直线 2 FP与 y 轴的正半轴交于 A点， 1 APF 的内切圆在边 1 PF 上的切点 为 Q，若 1 | | 4 FQ ，则该椭圆的离心率为（ ） A 1 4B 1 2C 7 4D 13 411 N 为圆 22 1 xy 上的一个动点，平
5、面内动点 00 ( , ) M x y 满足 0 1 y 且 0 30 OMN (O为 坐标原点)，则动点 M 运动的区域面积为（ ） A. 8 23 3 B. 4 3 3 C. 2 3 3 D. 4 3 3 12设函数 2 1 1 ln 3 1 f x x g x ax x ， ，若对任意 1 0 ) x ， ，都存在 2 x R，使得 3 12 f x g x ，则实数 a的最大值为（ ） A 9 4B 2 C. 9 2D4 二填空题（本大题共 4小题，每小题 5分， 共 20分）13.过球O表面上一 点 A引三条长度相等的弦 AB、 AC 、 AD，且两两夹角都为 60 ，若球半 径为
6、R ，则弦 AB的长度为_.（用 R 表示） 14.某地区为了绿化环境进行大面积植树造林，如右图，在区 域 ( , ) | 0, 0 x y x y 内植树，第一颗树在点 1 (0,1) A ，第二颗树在点 1 (1,1) B ，第三颗树在点 1 (1,0) C ，第四颗树在点 2 (2,0) C ，接着按图中箭 头方向每隔一个单位种一颗树，那么 （1）第 n颗树所在点的坐标是 (10,10) ，则 n _; （2）第 2016颗树所在点的坐标是_ 15已知关于 x的不等式ln 1 0 x ax 有且只有一个整数解，则实数 a的取值范围是_ 16.已知等边三角形 ABC 的边长为43 ， ,
7、DE分别 , AB AC为的中点，沿 DE 将 ABC 折成直二 面角，则四棱锥 A DECB 的外接球的表面积为_. 三解答题：(本大题共6小题，请写出必要的文字说明和解答过程，共 70分) 17已知函数 ( ) sin(4 ) cos(4 ) 44 f x x x . （1）求函数 () fx的最大值； （2）若直线xm 是函数 () fx的对称轴，求实数 m的值. 18.已知数列 n a 满足对任意的 * n N ，都有 0 n a ，且 2 3 3 3 1 2 1 2 nn a a a a a a （1）求 1 a ， 2 a 的值； （2）求数列 n a 的通项公式 n a ； （3
8、）设数列 2 1 nn aa 的前 n项和为 n S ，不等式 1 log 1 3 na Sa 对任意的正整数 n 恒成立，求 C 2 C 1 B 1 x y A 1 O 4 实数 a的取值范围 19.（本小题满分12分） 已知数列 n a 的首项 11 2 2 , , 1,2,3,. 31 n n n a a a n a . （1）证明：数列 1 1 n a 是等比数列； （2）求数列 n n a 的前 n 项和 n S 19. （本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 SABCD 的底面是正方形，SD 平面 ABCD，SD=2a， 2 AD a 点E是SD上的点，且 (0 2) DE a （
9、）求证：对任意的 (0,2 ，都有 AC BE （） 设二面角CAED的大小为 ， 直线BE 与平面ABCD所成的角为 ，若 tan tan 1 g ， 求 的值. 21. （本小题满分 12 分） 设函数 1 x f x e . ()证明:当 x-1时, 1 x fx x ; ()设当 0 x 时, 1 x fx ax ,求a 的取值范围. 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22在直角坐标系中，圆 1 C ： 22 xy 经过伸缩变换 3 2 xx yy 后得到曲线 2 C 以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度， 建立
10、极坐标系，直线的极坐标方程为 10 sin 2 cos （1）求曲线 2 C 的直角坐标方程及直线的直角坐标方程； 5 （2）在 2 C 上求一点 M ，使点 M 到直线的距离最小，并求出最小距离 23已知函数 a x x f （）若 m x f 的解集为 5 , 1 ，求实数 m a, 的值； （）当 2 a 且 2 0 t 时，解关于 x的不等式 2 x f t x f 6 参考答案 1B2.C3.B 4.C5.C 6.A7. A 8.B 9.D10.D11.A12.A 13. R a 3 6 2 14. （1）110；（2） (8,44) 15、 1 ln 2 ,1) 2 16、 52
11、17 （ 1）最大值是2 ；（ 2） 4 16 k m () k Z 18 （ ）证明见解析； （）120 19. （1） 1 2 1 n n n a a a ， 1 1 1 1 1 1 2 2 2 n n n n a a a a ， 1 1 1 1 1 ( 1) 2 nn aa ， 又 1 2 3 a ， 1 11 1 2 a ， 数列 1 1 n a 是以为 1 2 首项， 1 2 为公比的等比数列 （2）由（）知 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 nn n a ，即 11 1 2 n n a ， 2 n n nn n a 设 23 1 2 3 2 2 2 n T 2 n n ， 则
12、 23 1 1 2 2 2 2 n T 1 1 22 nn nn ， 由 得 2 1 1 1 2 2 2 n T 1 1 1 11 (1 ) 11 22 1 1 2 2 2 2 2 1 2 n n n n n n n n n ， 1 1 2 22 n nn n T 7 又1 2 3 ( 1) 2 nn n 数列 n n a 的前 n项和 2 2 ( 1) 4 2 2 2 2 2 2 nnn n n n n n n S 20. （）证法1：如图1，连接BE、BD，由地面ABCD 是正方形可得ACBD。 SD平面ABCD， BD是BE在平面ABCD上的射影， ACBE （）解法1：如图1，由 SD
13、平面ABCD知，DBE= , SD平面ABCD，CD 平面ABCD, SDCD。 又底面ABCD是正方形， CDAD，而SD AD=D，CD平面SAD. 连接 AE、CE，过点D 在平面 SAD内作 DEAE于 F，连接 CF，则 CFAE， 故CDF是二面角C-AE-D的平面角，即CDF= 。 在RtBDE中， BD=2a，DE= a tan 2 DE BD 在RtADE中, 2 2 , , 2 AD a DE a AE a 从而 2 2 2 AD DE a DF AE 在 Rt CDF 中， 2 2 tan CD DF . 由 tan tan 1 ，得 2 22 2 . 1 2 2 2 2
14、 . 由 (0,2 ，解得 2 ，即为所求. 8 证法2：以D为原点， , DA DC DS的方向分别作为 x，y，z轴的正方向建立如 图2 所示的空间直角坐标系，则 D（0，0，0 ）， A（ 2 ，0，0 ）， B（ 2a， 2a，0）， C（0， 2a，0）， E（0，0 a ）， ( 2 , 2 ,0), ( 2 , 2 , ) AC a a BE a a a 22 2 2 0 0 AC BE a a a ， 即 AC BE 。 （I） 解法2： 由（I）得 ( 2 ,0, ), (0, 2 , ), ( 2 , 2 , ) EA a a EC a a BE a a a 设平面 ACE
15、 的法 向量为n=(x，y，z)，则由 n EA EC ，n 得 0, 2x z 0, z 2 n( , , 2) 0, 2y z 0, n EA n EC 即 取 ，得 。 易知平面ABCD与平面 ADE的一个法向量分别为 (0,0,2 ) DC a DS a 与 （0，2 ,0） . 22 sin ,cos 4 2 2 DC n DS BE DS BE DC n . 0 ， ,0 2 ， 2 22 tan tan sin cos 2 2 4 2 2 . 由于 (0,2 ，解得 2 ，即为所求。 21.解：(I)当 1 x 时, 1 ) ( x x x f 当且仅当 . 1 x e x 令
16、. 1 ) ( . 1 ) ( x x e x g x e x g 则 当 0 ) ( 0 x g x 时 , , 0 ) ( 在 x g 是增函数; 当 0 , ) ( , 0 ) ( 0 在 时 x g x g x 是减函数. 于是 ) (x g 在x=0处达到最小值,因而当 R x 时, . 1 ), 0 ( ) ( x e g x g x 即 9 所以当 . 1 ) ( , 1 x x x f x 时 、 (II)由题设 . 0 ) ( , 0 x f x 此时 当 1 ) ( , 0 1 , 1 , 0 ax x x f ax x a x a 则 若 时 不成立; 当 0 , ( )
17、 ( ) ( ) , a h x axf x f x x 时令 则 1 ) ( ax x x f 当且令当 . 0 ) ( x h ). ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( x f ax x axf x af x f x af x af x h (i)当 2 1 0 a 时,由(I)知 ), ( ) 1 ( x f x x ), ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( x f x f x a x axf x af x h , 0 ) ( ) 1 2 ( x f a , 0 ) ( 在 x h 是减函数, . 1 ) ( , 0 ) 0 ( ) ( ax x x f
18、h x h 即 (ii)当 2 1 a 时,由(I)知 ). (x f x ), ( ) ( ) ( ) ( x f ax x axf x af x h ) ( ) ( ) ( ) ( x f x af x axf x af ). ( ) 1 2 ( x f ax a 当 a a x 1 2 0 时, . 1 ) ( , 0 ) 0 ( ) ( , 0 ) ( ax x x f h x h x h 即 所以 综上,a 的取值范围是 . 2 1 , 0 22 （1） 1 1 a ， 2 2 a ；（ 2） n a n ；（ 3）实数a的取值范围是 2 1 0， 23 （） 2, 3 am （） 2 2 , t
