1、 数学（理科）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 10 个小题,每小题 5 分, 共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知关于 x与 y之间的一组数据：则 y与 x的线性回归方程 ybxa必过点（ ）A (4,7) B (3.5,6) C (3.5,7) D (5,6)2.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 k的值是（ ）A6 B8 C5 D73.已知 0ab，则 ab与 的大小关系是（ ）A B ab C ab D无法确定 4.已知 zC，若 2|0z，则 z（ ）A i B i C.0 D0 或 i5.已知 ,ab为实数，则 “a且 b”是
2、“ ab且 0”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C.充分必要条件 D既不充分也不必要条件6.2(1)i（ ）A i B i C. 2 D-27.下列命题中若 0()fx，则函数 ()yfx在 0取得极值；直线 521与函数 sin2)3的图象不相切；若 zC（ 为复数集） ，且 |1z，则 |2|1zi的最小值是 3；定积分 02464xd.正确的有（ ）A B C. D8.将号码分别为 1、2、9 的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同.甲从袋中摸出一个球，其号码为 a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为 b.则使不等式 210ab成立的事件发生的概率等于
3、（ ）A 618 B 6081 C.5981 D 52819.已知函数 ()fx的导函数为 ()fx，且满足 ()()lnfxfx，则 (1)f（ ）A e B1 C.-1 D e10.设 5250(2)xaxax ，那么 02413a的值为（ ）A 1 B 61 C. 4 D-1第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 35 分，将答案填在答题纸上）11.用 18m长的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2:1，则该长方体的最大体积是_ 3.12.有 10 件产品，其中 3 件是次品，从中任取 2 件，若 X表示取到次品的件数，则 EX_.13.已知函数 ()t
4、anfx，则 ()fx在点 (,)4Pf处的线方程为_.14.已知某电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布 2(10,5)N，那么该电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为_.15. 3521()x展开式中的常数项是_.16.设函数 f的定义域为 D，如果存在正实数 k，对于任意 xD，都有 xk，且()(fxk恒成立，则称函数 ()fx为 上的“ 型增函数” ，已知函数 ()f是定义在 R上的奇函数，且当 0时， )|2fxa，若 为 R上的“2015 型增函数” ，则实数 a的取值范围是_.17.已知过点 (3,)M的直线 l被圆 22()5xy所截得的弦长为 8，那么直线 l
5、的方程为_.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 18. （本小题满分 12 分）已知函数 3()1fx.（I）求曲线 y在点 (2,6)处的切线方程；（II）直线 l为曲线 fx的切线，且经过原点，求直线 l的方程及切点坐标.19 （本小题满分 12 分）已知函数 3221()ln()(fxaaxR， 22()3lngxx（I）求证： g在区间 ,4上单调递增；（II）若 2，函数 ()fx在区间 2,上的最大值为 ()Ga，求 ()的试题分析式并判断 ()Ga是否有最大值和最小值，请说明理由（参考数据： 0.69ln2.7）20 （本
6、小题满分 12 分）已知命题 :p抛物线 214yx的焦点 F在椭圆21xyb上命题 :q直线 l经过抛物线 214yx的焦点 F，且直线 l过椭圆2b的左焦点 1， pq是真命题（I）求直线 的方程；（II）直线 l与抛物线相交于 A、 B，直线 1l、 2，分别切抛物线于 AB、 ，求 12l、 的交点 P的坐标21 （本小题满分 14 分）已知 ()lnfxmax， ()xeg，其中 ,ma均为实数（I）求 g的极值；（II）设 1m， 0a，求证：对 1212,3,4()xx， 2121|()| |()exfxfg恒成立（III）设 2，若对 给定的 0(,e，在区间 0,e上总存在
7、12,tt使得10()()ftftgx成立，求 m的取值范围22 （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，椭圆的右焦点 2F与抛物线 24yx的焦点重合，过 2F且于 x轴垂直的直线与椭圆交于 S， T，与抛物线交于 CD， 两点，且 |ST（I）求椭圆的标准方程；（II）设 P为椭圆上一点，若过点 (2,0)M的直线 l与椭圆相交于不同两点 A和 B，且满足OABt（ 为坐标原点） ，求实数 t的取值范围参考答案一、选择题1-5: ADBDC 6-10:CDACB 二、填空题11. 3 12. 35 13.210xy 14. 12 15. 10 16. 20156a 17.
8、3x或 5120y三、解答题18. 解：（I） 2()3fx.所以在点 2,6处的切线的斜率 2()31kf，所以又直线 l过点 (0,)， 2300(3116xx，整理，得 8， 2， 30(2)y， l的斜率 23()13k，直线 l的方程为 1yx，切点坐标为 (,6.19 （ I）证明： 22()3lngx， ()6lngxx，设 1h，则 ()6l5hx，当 24x时， 0x， 在区间 (2,4)上单调递增. ()3ln)，当 x时， (2)hx. ()g在区间 ,4上单调递增 .（II） 3221ln()(fxaxaxR， ()f的定义域是 (0,)，且32 )fa，即2()xaf
9、. 2a， 2a，当 x变化时， ()fx、 f变化情况如下表：当 24a时， 2， ()fx在区间 2,4上的最大值是 3321()lnfaa.当 时， ()fx在区间 ,4上的最大值为 32()ln48f.即3321ln,()28)aaG（1）当 4时， 22()lnGa.由（I）知， ()a在 ,上单调递增.又 (2)6ln50G， (4)128l3)0，存在唯一 0(,)，使得 0Ga，且当 a时， ()0Ga， ()单调递减，当04a时， ， ()单调递增.当 2时， 有最小值 0.（2）当 时， 2 28()6ln846ln()43llnGaa， ()a在 4,单调递增 .又 18
10、ln23)0，当 时， (G. ()a在 4,)上单调递增 .综合（1） （2）及 (a试题分析式可知， ()Ga有最小值，没有最大值.20解：（I）抛物线 214yx的焦点为 0,1F， pq是真命题，将 (0,)代入2yb得， .椭圆方程是21xy，它的左焦点是 1(,0)F.直线 l的方程是 .（II）不妨假定点 A在第二象限，由方程组2,41xy得 (2,3)A， (2,32)B.由 214yx得， 1yx，所以直线 12l、 的斜率分别是 、 ， 12l、 的方程分别是 (3)()2)x，(3)(12)yx.解两个方程构成的方程组得 (,1)P.21解： （I） )xeg， (1)x
11、eg， (,)， (1,)， ()gx极大值 (1)，无极小值；（II） 1m， 0a， ()fx，在 3,4上是增函数. ()eg，在 ,上是增函数.设 1234x，则原不等式转化为 2121()()exfxfg，即 21()()eeffxgg.令 ()()xhxf，即证 12， 1h，即 ()在 3,4， ()0xhe在 3,4恒成立，即 在 ,，即所证不等式成立.（III）由（I）得 ()gx在 ,1， (,)e， max()(1)g，所以 ()0,1x.又 2fm，当 时， ()0fx， ()f在 ,e，不符合题意.当 时，要 12,t使得 12t，那么由题意知 ()fx的极值点必在区
12、间 (,)e内，即 2em.得 2me，且函数 ()fx在 20,)m， (,)e，由题意得 ()g在 ,e上的值域包含于 fx在 20,m和 (,)e上的值域. 2(,)e内，2031()1fe.下面证 ,tm时， ft，取 mt，先证 2e，即证 0me.令 ()2xwe， ()20xwe，在 3,)1内恒成立. ， 31， m. 再证 ()1mfe， ()mfee， 31e. 22解：（I）设椭圆标准方程2(0)xyab，由题意，抛物线 24yx的焦点为 2(1,0)F，|4CD.因为 |2|ST，所以 |2.又 (1,)bSa，2(,)， |ba，又 221cab， 2， 1b.所以椭圆的标准方程21xy.（II）由题意，直线 l的斜率存在，设直线 l的方程为 (2)ykx.由2()xyk消去 ，得 22(1)80kx.设 1,A， 2,Bx， 0,Py，则 12， 是方程的两根，所以 2(8)4()8kk，即 k，且212x，由 OABt，得 120xty.若 0t，则 P点与原点重合，与题意不符，故 t.20121228()14()kxtt kyxt AA.因为点 0(,)Px在椭圆上，所以， 22202183()(1)kkytA，422218()kt k.再由得 10t，又 0t， (2,)(,t.
