1、1带红利的 Erlang(2) 模型下 Gerber-Shiu 折数扣罚函数分析摘要：本文通过大家熟悉的 Gerber-Shiu 折数扣罚函数对带红利的 Erlang(2)风险模型进行分析,求出了 Gerber-Shiu 折数扣罚函数满足的积分-微分方程. 关键词：Gerber-Shiu 折数扣罚函数;Erlang(2)过程;红利; 中图分类号：MR(2000)主题分类：1. 引言在风险理论中,许多文献对 Erlang(2)风险模型进行了深入的研究,得出了许多漂亮的结果.例如,Dickson 和 Hipp 在1中得到了不破产概率的明确表达式,以及破产时刻的一阶矩.Cheng 和 Tang 在2
2、中得到了破产前的余额及破产时赤字的联合分布.Li-Juan Sun 在3中得到了 Gerber-Shiu 折数扣罚函数的明确的表达式.本文中研究的带红利的 Erlang(2)风险模型,其盈余过程可以表示为(1)1();(),bbcdtSUtUt其中, 为初始盈余; 为单位时间内所收取的保费; 是一随机过程,称为索赔0u10()St过程,表示 t 时刻公司所赔付的总额.设(2)()1,NttSX其中 是 Erlang(2)更新过程,即索赔时间间隔 （ 表示第依次索赔时刻）()Nt (1)tLi服从参数为 的 Erlang(2)分布,其密度函数为 是一列独立同 21),0;ttkeX分布的非负随机
3、变量,有共同的分布 ,密度函数为 ,均值 , 表示第 i 次索()Fx(fxt赔的额度; 与 独立; 为分红率,其中 ,即当总盈余0()tN1tX210c1c超过 时,按照比率 支付红利.b本文通篇假设,此模型有正的安全负荷,即(3)0,12.ttci定义(4)inf:();,bbtUtT2如果称 为破产时刻,Gerber-Shiu 折扣罚函数定义为T(5)(;)(),()(0,bTbbBmuEeUTUu其中 称为利息力度, 是非负函数, 为示性函数.0122,0,xxA在风险理论中,Gerber-Shiu 折扣罚函数是研究的热点,也是本文研究的重点,本文主要推导出了折扣罚函数 满足的积分-微
4、分方程.(;)ubGerber-Shiu 折扣罚函数 满足的积分-微分方程;m在这里将会得到两个关于 Gerber-Shiu 折扣罚函数满足的积分-微分方程：一个是当初始准备金 小于或等于 时,另一个是当初始准备金 大于 时.容易看出,当 b 不ubub同时,Gerber-Shiu 折扣罚函数的表达式是不同的,因此为了方便,记(6)12(),0;(;)ub则 满足下面的积分-微分方程.(;)mub定理 1 折扣罚函数 满足下面的积分-微分方程(;)mub122111;2()()()ubmyfxdccc(7)1(),0;ub2(;)mub222 2()()()ubummyfdxccc(8) 21
5、()(),ubyfd其中 由下面的(11 给出).()u证明 当 时,根据首次索赔发生时间 和首次索赔量 ,运用全期望公式可得0ty1(,)(mb11 11 1100)(;)(;)(uucttc uctekmtybfdwtyuctfydt 311()20 1)();()bucttbuc buekmctyfd212 2()1 1();()(buctwtytfytc (9)1 11 20 1;)()();,but tc buc buektdektdt 其中(10)0(;)(;)(),ttbmyft(11),twtd对 做变量替换,可得(9) 12()11()(;)subcusmebdsc(12)2
6、12()1( (;sucb s然后对(12)两边分别求导数可得 1 12() ()11 11()(;) (;)su sub bc cu usmedsebdscc 12()1(;subcb12()11( (;subcbsedscc1 12 2() ()1 1(;) (;su subcu bedsc (13)1().mc再次求导,并整理后可得1 212 2() ()11 1() (;) (;su subbc cu buebdsedscc 211(;)()muc4(14)22 211101 12()()()().umumyfxducccc相类似的有,当 时,b(15)22()22(;)( (;)su
7、cusebsc(16)2()2 221()(;)();scumudsmc2 2202 2()()()()ubyfdcc(17)12()().ubmyfd注 由(9)和(15)可知, 在 处连续,即 但是有(13)和(;)122():lim().ubu(16)可知, 在 处不连续.因为由(13)可得()mub12()1 11()(;)(),sucbebdsbcc再由(16)可得, 22()22 21():lim()(;)(),sucbubebdsmbcc 而 故 即 在 处不连续.同理可得, 在 处也是12,c12(),(;)u(;)u不连续的.参考文献1 Dickson D C M, Hipp
8、 C. Ruin probabilities for Erlang(2) risk Process. Insurance: Mathematics and Economics, 1998, 22: 251-262.2 Cheng Y, Tang Q H. Monents of surplus before ruin and the deficit at ruin in the Erlang(2) risk process. North American Actuarial Journal, 2003, 7(1): 1-12.3 Li-Juan Sun. The expected discoun
9、ted penalty at ruin in theErlang(2) risk process. Statistics and Proba-bilityLetters, 2005, 72: 205-217.4 De Finetti. Su unimpostazione alternativa della teoria 5collettiva del rischio. Proceedings of the Transac-tions of the XV International Congress of Actuaries, 1957, 2: 433-443.5 Sheldon X L , W
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11、, 29: 333-344.The threshold dividend strategy for the Gerber-Shiu discounted penalty function in the Erlang(2) risk modelZhu Changxin Zhangshun(Guangzhou Vocational College of Science and Technology, Guangzhou 510550,China)Abstract: This paper investigates the Gerber-Shiu discounted penalty function in the Erlang(2) risk process with a threshold dividend strategyKey words: Gerber-Shiu discounted penalty function; Erlang(2) process; threshold dividend strategy;
