1、二元函数的高阶导数分析方法3.1 二元函数的泰勒定理展开式（高阶情况） 假设二元函数 (,)fxy在点 0(,)Pxy的某领域 0()UP内存在直到 n 阶的连续偏导数，这对 0U内任一点 hk，存在相应的 (,1)，使得1 21 21 200 0 00 02/0(,)(,)(,) ,)1,!i ii ii inni innifxhykfxyCfxyCfxyhkhkok 可知其中第 m项为 00 110 01100 0 01(,)!1, (,)(,)(,), ,!i imiim mmmmm mmCfxykfCfxyhkCfxyhyhk kfxf fh 0其中 h，故(,)视0(,)miiCfx
2、y为常系数，kh为变量，则上式为 m阶多项式，简记为1)!khFA易得如下定理。3.2 二元函数极值的充分条件 假设二元函数 f在点 0(,)Pxy的某领域 0()UP内存在直到 n 阶的连续偏导数，且当其泰勒展开式的在（ 1zmn）前有任意的（z）都有0(,)ziiCfxy(,)iz ，则当其泰勒展开式的第 m项1()!mkhFA的系数不全为 0 时，有：当满足 m 为偶数时，1()!mkhFA取任意的kh，恒大于 (恒小于)0，且一元函 1数 0(,)fxy在点 0取得极小值（极大值）时，二元函数 ,)fxy在点 0(,)Pxy取得极小值（极大值） ；当 m 为奇数时，多项式1()!mkh
3、FA的系数0(,)miiCfxy不恒为 0；或 2当 m 为偶数时，多项式()!同时存在 1h大于零和 2k小于零的情况12()kh；或一元函数 0(,)fxy在点 0不取极值时，二元函数 (,)fxy在点0,Pxy不取极值；证：极值存在的情况仅证明极小值的情况，极大值可同理证明因为1()!mkhFA是一个 (0)mh的同阶无穷小量，而二元函数 (,)fxy的直至阶的泰勒展开式的余项 2/2ok是 (0)mh的高阶无穷小量，故对于任意一个 (,)hk， 0)存在有确定的 12,，使得点 0(,)Pxy的某领域01UP（不包括 0(,)|(),hkU）内有2/22()| |!mmmFohA，即有
4、/)0kk，而当一元函数 0(,)fxy在点 0取得极小值时，易知有二元函数 f在点 (,Pxy取得极小值。不为极值点的情况：当 m 为奇数时，且多项式1()!mkhFA的系数不恒为 0 时。当1()0!mkFhA，取 0h，有1()0!mkhA，取 时1()!mkhFA，易知不为极值；()!mkF同理，亦不为极值。当 m 为偶数时，和一元函数 0(,)fxy在点 0不取极值时，易知必不为极值。定理的应用问题 因为高元多项式的取值范围并没有通用的判别准则，故此定理的价值主要在理论上，而非实际判断。主要到定理的 ，可知反过来说不 2满足其不为极值的条件为必要条件，故可以作为点不取极值的依据，有如下例题：证明3fxy在 (0,)不取极值。除了固定一个变量的方法外，我们易知其在 (0,)的一二阶偏导数皆为 0，三阶泰勒展开可变型为()1mkh，易知与不为极值的情况相符，证毕。
