1、 多元函数分析性质之间的关系本文主要介绍了二元函数连续性，偏导性存在及可微性的基础知识，对它们分别进行了总结证明和进一步的讨论，总结出这三个概念之间的关系，并举出例子加以论证支撑。由浅入深，从简单开始，逐步深入，做深入探究多元函数连续性，偏导数及可微性之间的关系。一、二元函数的连续、偏导数及可微三个概念的定义（一）二元函数的连续性定义 1 设 为定义在点集 上的二元函数， (它或者是 的fDR20PD聚点，或者是 的孤立点） 。对于任给的正数 ，总存在相应的正数 ，只要DP（ ; ) ,就有U0P ,)(0Pff则称 在 上任何点都关于集合 连续，在不误解的情况下，也称 在点f Df连续。0P
2、若 在 上任何点都关于集合 连续，则称 在点 连续。fDf0P由上述定义知道：若 是 的孤立点，则 必定是 关于 的连续点；若0PD0fD是 聚点，则 关于 在 连续等价于0Pf)(lim00ffDP（二）二元函数的可微性定义 2 设函数 在点 的某领域 内有定义，),(yxfz),(0yxp)(0pU对于 中的点 ，若函数 在点 处的全)(0pU0（） f增量 表示为 ,z )(x),(),( oyBAff 其中 , 是仅与点 有关的常数， ， 是较AB0P2高阶的无穷小量，则称函数 在点 处可微，并称上式中关于 ， 的f0线性函数 为函数 在点 的全微分，记作yBxAf0PyBAyxdzp
3、),(|0由上可知 是 的线性主部，特别当 ， 充分小时，全微分d|可作为全增量 的近似值，即zz)(),(),( 000yxyxff ）有时也把写成如下形式,(0 oBAfyxfz ，这里yBA0limli),(,()0,(,( yxyx（3）二元函数的偏导数由一元函数微分学知道：若 其中,00oAff 。同样，若二元函数 在点 可微，则 在 处的)(0xf),yx（ f)0yx（全增量可由表示。现在(,(),0Bfyfz 讨论其中 、 的值与函数 的关系。为此，在式子AB中令 ，这时得到 关于xx)(xyz的偏增量 ，且有 或者zAzAz现让 ，由上式得 的一个极限表达式0xxyffxzA
4、 ),(),(limli 000容易看出，上式右边的极限正是关于 的一元函数 在 处的导数。,fx类似地，令 ，)(0yx由 又得到yxBAz，它是关于 的一yxfxfyzBx ),(),(limli 000 y元函数 在 处的导数。),(f0综上所述，可知函数 在点 处对 的偏导数，实际上),(xfz),(0x是把 固定在 ，让 有增量 ，如果极限存在，那么次极限称为函数x0y在 点处对 的偏导数，记作 。),(fz), ),(0yf因此，二元函数当固定其中一个自变量时，它对另一个自变量的导数称为偏导数，可定义如下：定义 3 设函数 .若 ,且 在Dyxfz),(yx),(0),(0yxf的
5、某一领域内有定义，则当极限0x存在时，称xffxyfxx ),(),(lim),(li 0000这个极限为函数 在点 关于 的偏导数，记作 或f, ）,yf),(0yxf注意 1 这里符号 ， 专用于偏导数算符，与一元函数的导数符号xy相仿，但没有差别。dx注意 2 在上述定义中， 在点 存在关于 的偏导数， 至f),0yx（ )(yx或 f少在 上必须有0,),xy（ ,(0（ 或定义。若函数 在区域 上每一点 都存在对 （或对 ）的偏),(fzD),yx（ xy导数，则得到函数 在区域 上对 （或对 ）的偏导函数（也简yx称偏导数） ，记作或),(yxff),(yxffy),(),(或也可
6、简单的写作 或xzf,fzf或,2、二元函数三个概念的结论及证明（一）二元函数连续性的结论总结及证明一元函数若在某点存在左导数和右导数，则这个一元函数必在这点连续，但对于二元函数 来说，即使它在某点 即存在关于 的偏导),(yxf ),(0yxPx数 ，又存在关于 的偏导数 ， 也未必在点),(0fx fyf连续，如下定理有：yP定理 1 设函数 在点 的某邻域 内有定义，),(xfz),0x（ ）0(U若 作为 的一元函数在点 连续， 在 内有界，),(0xf y,yf)P则 在点 连续。y),(0y证明：任取 ,则)(00Px),( 0yxfyxf),(),),( 0000 fyxf （1
7、）由于 在 存在，故对于取定的 ，,fx(PUy作为 的一元函数在以 和 为端点的闭区间上可导。),(0yf 0x从而据一元函数微分学中的拉格朗日中值定理，存在 ，使）（ 1,0xyxfyfxf x )(),(),( 00将它代入（1）式，得),0yfxf（2）,(,(),(00 xffyxf由于 ,故 有界，因PU)0x而当 时有)0,(,(0yx.xyf又据定理的条件知， 在 连续，故当 时，),(0f0y)0,(,(yx又有 .),(,f所以，由（2）知，有.0,(lim00 yxfyxfxy这说明 在点 连续。),(f),(0P推论 1 设函数 在点 的某邻域 内有定义，yxfz),(
8、0yx)(0pU若 作为 的一元函数在点 连续， 在点 连),(0yxf ,fx,yxP续，则 在点 连续。),(0证明 由于 在点 连续，故 必在点yxf),(0yP),(fx的某邻域内有界，因而据定理 1， 在点 连续。),(0yxPxf0y推论 2 设函数 在点 的某邻域 内有定义，),(fz),(0)(PU若 在 有界， 存在，则 在点 连),(fx(0U0yx,f,0x续。证明：由于 存在，故 作为 的一元函数在点),fy ),(fy连续，从而据定理 1 可得， 在点 连续。0yx),(0xP同理可证如下的定理 2 及其推论。定理 2 设函数 在点 的某邻域 有定义，),(yfz,0
9、y(U在 内有界， 作为 的一元函数在点 连续，则),(yxf)(0pUx0x在点 连续。,P推论 1 设函数 在点 的某邻域内 有定义，),(yfz),(0yP）0(P在点 内有界， 存在，则 在点 连),(yxf)(0x,(xf),yx续。推论 2 设函数 在点 的某邻域 有定义，),(yxfz),(0yxP)(0PU在点 连续， 存在，则 在点),(yxf),(0P0,f连续。0（2）二元函数可微性的结论总结及证明众所周知，一元函数中，可微性与可导是一回事，但在二元函数中情况就不同了。定理 3 函数 在点 科委的充分必要条件是 在点),(yxf),(0yP),(yxf的两个偏导数都存在，
10、且对 ， ，当),(0yxP0.),(),(,( 000xxffff 证明 必要性 已知 在点 可微，故 与y,y),(yxf存在，且),(0yxf)()(,)(,),(, 00000 oyxfxyfyxffz yx 其中 .（即 ),(),(),(),( 000ffff)(,(),()0)(,0(),0( , oyxfyxfyxyfxyf f 于是，当 时，有000),(),(),(),(yxffff00 ),(),(),( xffyfx )(),(),(),( 000 oyyxffyxf 00),(),(),(xyffyxf)0(, offfy从而当 （即 ）时，0),()(0yx),(,
11、 0yxfffxf即 ，当 与 且 时，,00y),(,0yx有00,),(),(),(xfffxf所以， ，当 与 且0.y时，有),(),0yx。)(),(),( 0000 yxxfyfff 充分性 已知函数 在点 两个偏导数存在， ，xP，当 与 且 时，有00x0),(),0y),(),(),( 00yxxffyff 令 ，则当 时，有00（),(),(),(),( 00yffxff于是当 时，有,0yx)(),()(, 000yfxfxfzyx ） )(),),(),(),(),(),( 00000 xxyffyxffyxff ）0(,fy从而有),()(, 000fxfxyfz y
12、yx,-,( ffff） 000(),),(), xyxfxyff)0(),( fff x所以，函数 在点 可微，证毕。),yxf),(0yP定理 4 若函数 在点 点处， 连续,(fz),(0yx),(yxf存在（或 存在， 连续） ，则函数),(0fy ),(0fxy在点 处可微。xz0y由此定理的条件扔有对一个偏导数（二元）连续性的要求。因而用来判断函数的可微性仍有较大的局限性。例如：对于函数，0,1sin),(22yxyxf有 )0(1cos)(1sin2),( 22232 yxyxyxf)()(, yxfy)01cossin2)0,(2xfx从而)0(21cos)0,(xxfy由于
13、和 都不存在，因而 和,lim0fx,li0fyx ),(yxf在点 都不连续，关于 在点 的可微性，无论是根据),(yf)()(x0,教材中所介绍的定理。还是根据上述定理都不能给出肯定的结论。本文给出另一个可微的充分条件，它完全放弃对两个偏导数（二元）连续性的要求，因而对某些函数可微性的判定有独到的作用。为了叙述方便，引入如下概念。定义 如果对于函数 存在 时，使得当 时，),(yxfz0y存在，且当 时，变量),(0yxf0)0( )0(,(,),(),( 00xxyxfyfyxf关于 一直趋向于 ，即对任意的 ，存在 ，当y时，对任意 （ ）都有 成立，我们就x0y),(y称函数 在点
14、关于 对 一致可导。),(fz),(0oxx（3）二元函数偏导数的结论总结二元函数 在点 的两个偏导数有明显的几何意义：设),(yf),(0为曲面 上的一点，过 做平面 ，,(00xM,(yxfz0M0y截此曲面得一曲线，此曲线的平面 上的方程为 ，则导致0),(xfz，即偏导数 ，就是这曲线在点 处的切线0),(xyfdx),(fx 0对 轴的斜率。同样，偏导数 的几何意义是曲面被平面XT0 ,0y所截得的曲线在点 处的切线 对 轴的斜率。0MT我们已经知道，如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续，但对于二元函数来说，即使各偏导数在某点存在，也不能保证函数在该点连续，这是因为哥偏导数
15、存在只能保证点 沿着平行于坐标轴的方向趋于 时，函数P0P值 趋于 ，但不能保证点 按任何方式趋于 时，函数值 都)(pf)(0f 0)(pf趋于 。三、二元函数三个概念之间的关系的总结 对一元函数来说，可导必连续。但对于二元函数来说，即使 ， 存在xfy但 也不一定连续。事实上，对于二元函数来说，函数在一点处的偏导数存在f和函数在该点处连续是没有必然联系的，下面加以说明这个问题。（一）二元函数连续，但偏导不一定存在的举例证明例 1 讨论函数 在点 处的连续性和偏导数是否2),(yxg)0,(存在？解： 由2)0,(,)0,(, limli yxyxyx ),(g可知函数 在点 连续。2yx）
16、（ 0,而由偏导数定义：xggfxx),(,(lim)0,(01lili020xx该极限 不存在，同理可证 也不存在。),(xg),(yg所以函数 在点 点的偏导数不存在。y），（由此说明，二元函数在一点连续，偏导数未必存在。（2）二元函数偏导存在，但不一定连续的举例证明例 2 函数 在点 处01),(2xyyxf ）（ ,存在，但不连续。)0,(,yxff证明：由偏导数定义：xfffxx)0,(),0(lim),(x0li同理可求得 ),(yf因为 1)0,()(lim,li 2)0,()0,(, fyxxyyx故函数 在点 处不连续。1,2f ），（综上所述，对于二元函数 在某点 的连续性
17、与偏导数存在，),(yxf),(0yx两者之间没有必然的联系，即 在某点 偏导数存在与否，与其在该点是否连续无关。（3）可微性与偏导数存在关系的举例证明定理 5 （可微的必要条件）若二元函数 在其定义域内一点),(yxfz处可微，则 在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且),0yxP（ f，),(,),(),( 000fAdyxfdyxd x,0fBy证明 由于 在点 可微，则),(f),(0P)(),(),( 00 oyBxAyxfyxfz 其中 为自变量 的该变量， 仅与点 有关，而, ,(0P与 无关， 。若令 即 ，于是 ，yx, 20x故 ，可见)(xoAz， ，xz)( Axoxz
18、yf xy)(lim),(0),(00即 ，类似可证Ayfx,0 .Bf可见，对于二元函数，偏导数的存在是函数 可微分的必要条件。),(yfz但是偏导数的存在不是函数可微分的充要条件。事实上，当一个二元函数在点 处的偏导数 ， 都存在时，尽管形式上可以写成),(yxfz）（ ,x式子 ，但是它与 之间可以不是 的高阶无zz2yx穷小，因而由定义，此时函数 在点 处的是不可微的。),(yxf),(注：定理 5 的逆命题不成立，即二元函数 在点 处的偏导f),0yxP（数即使存在也不一定可微。例 3 证明函数 在原点两个偏导数存00),(22yxyxf在，但不可微。证明 由偏导数的定义：xfffx
19、x),(),(lim),(0lix同理可证 ，即在原点关于 与 的偏导数存在。)0,(yf xy下面利用可微的定义来证明其不可微用反证法：若函数 在原点可微，则fdyfxffyxd )0,(),0(),()0,( 2yx应是较 的高阶无穷小量，为此考察极限200limli yxdf当动点 沿直线 趋于 时，),yx（ ）（ ,则 yxyx1lilim2)0,(,2)0,(,这一结果说明动点沿不同斜率 m 的直线趋于原点时，对应的极限值也不同，因此所讨论的极限不存在，故函数 在原点不可微。f（4）偏导连续与可微关系的举例证明定理 7 （科委的充分条件）若二元函数 的偏导在点),(yxfz的某邻域
20、内存在且 与 在点 处连续，则函数),(0yxPxfy),(0xP在点 可微。f),(0yx可微的充分条件可以改进：如果函数 满足以下条件：,fz1. 在点 处存在；),(yxf)0（2. 在点 的某个邻域内存在；,(3. 在点 处连续；),(fy)0则 在点 处可微。x,(y证明：由于 存在，即有：)0f),(),(),(lim0000 yxfxyffx 即：（其中 ）),(),(),(0ffyf xlim0x则yfyxfxf x),(),(),( 000由于 在点 的某个邻域内存在，不妨设 在y ),(yxf内存在2010), 且（设 并规定 ),(xfg1x则 在 上没一点都存在，从而
21、在)y20y )(yg上每一点都连续，规定：20 2则根据中值定理存在 ，使得： （其1y ygyyg)()(100中 ）y01当 且2x从而有 ，00x01y又因为 在点 处连续 ),(),(ffy),(0yx10fy其中 lim02yx则yyxfyxff ),(),(),( 000综上所述有：)(),( 00yxfyxf ，=),(), 00 yxffxf = yy )()( 0又因为lim202 yxyx故 在点 点可微，证毕。),(f),(例 4 求证 在点 可微。01sin,2yeyxfx ），（证明：因为xyffyxfx),(),(lim),(0yeex1sinsli 220xyx
22、)(1sinlim20)(s2eyfyxf),(li,0yeexy 1sin1sn)(lim220)0.(cosi(cos1sn2 yxxx0lim)0,(),(lim)0,( xxffxf同理 ,yf即01sin),(2yeyxfx)cosi(),(xfx于是 0,)0,(yxff又 1sinlim20eyx所以 在点 连续。),(f）（ 0,但 不存在，即 在点 不连续。)1cosin2li0yexy ),(yxf）（ 0,四、多元函数连续性，偏导数存在及可微性关系的总结：如果函数 在点 可微分，则函数在该点必连续，反之不一),(xfz),(定成立。如果函数 在点 可微分，则函数在该点的偏导数必存在，,yf,反之一定成立。如果函数 在点 连续，则偏导不一定存在。),(xfz),(如果函数 在点 偏导存在，则不一定连续。y如果函数 在点 偏导连续，则函数在该点必可微，反之不),(fz),(一定成立。
