1、2017 届北京市朝阳区重点中学高三上学期 9 月月考数学试卷（文科） （解析版）一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分）1已知集合 A=1，2，3，B=x|x 29，则 AB=（ ）A2， 1，0，1，2，3 B 2，1，0，1，2C1，2，3 D1，2 2若 z=4+3i，则 =（ ）A1 B1 C + i D i3设 x0，yR，则“ xy” 是“ x|y|”的 （ ）A充要条件 B充分不必要条件C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件4若 ab0，0c 1，则（ ）Alog aclog bc Blog calog cb Ca cb c Dc ac b5函数 y=As
2、in（x+）的部分图象如图所示，则（ ）A B C D6为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）A B C D7执行如图程序框图，如果输入的 a=4，b=6，那么输出的 n=（ ）A3 B4 C5 D68在平面直角坐标中，O 为坐标原点，设向量 = ， = ，其中 =（3，1） ， =（1，3） ，若 = +，且 01，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（ ）A B C D二.填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分.）9已知向量 =（1， ） ， =（ ，
3、1） ，则 与 夹角的大小为 10若 x，y 满足约束条件 ，则 z=x2y 的最小值为 11已知函数 f（x）是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0x1 时，f（x）=4 x，则 f（ ）+f（1）= 12设锐角ABC 的三内角 A，B ，C，所对边的边长分别为 a，b，c，且 a=1，B=2A，则 b 的取值范围为 13若函数 f（x）=x 33x+a 有 3 个不同的零点，则实数 a 取值范围是 14已知函数 f（x）=kx 3+3（k 1）x 2k2+1（k0） （1）若 f（x）的单调递减区间是（ 0，4） ，实数 k 的值为 ；（2）若 f（x）在（0，4）上为减函数，则实
4、数 k 的取值范围是 三解答题（本大题共 6 个小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15设函数 （1）写出函数 f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）当 时，函数 f（x）的最大值与最小值的和为 ，求 a 的值16已知函数 是奇函数（1）求 m 的值：（2）设 g（x）=2 x+1a若函数与 g（x）的图象至少有一个公共点求实数 a 的取值范围17已知数列a n的前 n 项和 Sn=3n2+8n，b n是等差数列，且 an=bn+bn+1（）求数列b n的通项公式；（）令 cn= ，求数列 cn的前 n 项和 Tn18我国是世界上严重缺水的国家某市为了制定合理的节
5、水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨） 将数据按照0，0.5） ，0.5，1） ，4，4.5分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图（）求直方图中 a 的值；（）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，并说明理由；（）估计居民月均水量的中位数19已知函数 f（x）= x2+alnx（1）若 a=1，求函数 f（x）的极值，并指出极大值还是极小值；（2）若 a=1，求函数 f（x）在 1，e上的最值；（3）若 a=1，求证：在区间1，+）上，函数 f（x）的图象在 g（x）= x3 的图象下方20设 f
6、（x）=xlnx ax2+（2a1）x，a R（）令 g（x）=f（x） ，求 g（x）的单调区间；（）已知 f（x）在 x=1 处取得极大值，求实数 a 的取值范围（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分）1已知集合 A=1，2，3，B=x|x 29，则 AB=（ ）A2， 1，0，1，2，3 B 2，1，0，1，2C1，2，3 D1，2 【考点】交集及其运算【分析】先求出集合 A 和 B，由此利用交集的定义能求出 AB 的值【解答】解：集合 A=1，2，3，B=x|x 29=x|3x3，AB=1，2故选：D2若 z=4+3i，则 =（ ）A1 B1
7、 C + i D i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可【解答】解：z=4+3i，则 = = = i故选：D3设 x0，yR，则“ xy” 是“ x|y|”的 （ ）A充要条件 B充分不必要条件C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】直接根据必要性和充分判断即可【解答】解：设 x0，yR，当 x=0，y= 1 时，满足 xy 但不满足 x|y|，故由 x0，yR ，则“ xy”推不出“x|y|” ，而“x | y|”“xy”，故“x y ”是“x|y|”的必要不充分条件，故选：C4若 ab0，0c 1，
8、则（ ）Alog aclog bc Blog calog cb Ca cb c Dc ac b【考点】对数函数图象与性质的综合应用；对数值大小的比较【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性结合换底公式，逐一分析四个结论的真假，可得答案【解答】解：ab0，0c1，log calog cb0，故 B 正确； 0log aclog bc，故 A 错误；acb c，故 C 错误；cac b，故 D 错误；故选：B5函数 y=Asin（x+）的部分图象如图所示，则（ ）A B C D【考点】由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】首先，根据图形，得到振幅 A=2，然后，根据周期公式，
9、得到 =2，从而得到 f（x）=2sin（2x+） ，然后，将点（ ，2）代入，解得 ，最后，得到 f（x） 【解答】解：据图，A=2， ，T=，T= ，=2 ，f（x）=2sin（2x+ ） ，将点（ ，2）代入上式，得= ，f（x）=2sin（2x ） ；故选 A6为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）A B C D【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论【解答】解：从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛
10、中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，有 =6 种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有 2 种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有 4种方法，所以所求的概率为 = 故选：C7执行如图程序框图，如果输入的 a=4，b=6，那么输出的 n=（ ）A3 B4 C5 D6【考点】程序框图【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的 a，b，s，n 的值，当 s=20 时满足条件 s16，退出循环，输出 n 的值为 4【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件 s16，执行循环体，a=2，b=6，a=4，s=1
11、0， n=2不满足条件 s16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件 s16，执行循环体，a=2，b=6，a=4，s=20， n=4满足条件 s16，退出循环，输出 n 的值为 4故选：B8在平面直角坐标中，O 为坐标原点，设向量 = ， = ，其中 =（3，1） ， =（1，3） ，若 = +，且 01，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（ ）A B C D【考点】平面向量的综合题【分析】由 =（3，1） ， =（ 1，3） ， = + ，知 =（3+，+3） ，由01，0 3 +34，由此能得到正确答案【解答】解：向量 = ， = ，=（3，1） ， =（
12、1，3） ，= + ，=（3 +，+3） ，01，03+4，0+34，且 3+3故选 A二.填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分.）9已知向量 =（1， ） ， =（ ，1） ，则 与 夹角的大小为 【考点】数量积表示两个向量的夹角【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案【解答】解：向量 =（1， ） ， =（ ，1） ， 与 夹角 满足：cos= = = ，又0，= ，故答案为： 10若 x，y 满足约束条件 ，则 z=x2y 的最小值为 5 【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求
13、得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，联立 ，解得 B（3，4） 化目标函数 z=x2y 为 y= x z，由图可知，当直线 y= x z 过 B（3，4）时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最小值为：324=5故答案为：511已知函数 f（x）是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0x1 时，f（x）=4 x，则 f（ ）+f（1）= 2 【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据 f（x）是周期为 2 的奇函数即可得到 f（ ）=f（ 2 ）=f （ ）= f（ ） ，利用当 0x1时，f（x）=4 x，求出 f（ ） ，再求出 f（1）
14、 ，即可求得答案【解答】解：f（x）是定义在 R 上周期为 2 的奇函数，f（ ）=f（ 2 ）=f（ ） =f（ ）x（0，1）时，f（x）=4 x，f（ ）= 2，f（x）是定义在 R 上周期为 2 的奇函数，f（ 1）=f（1） ，f（1）= f（1） ，f（1）=0 ，f（ ）+f （1）= 2故答案为：212设锐角ABC 的三内角 A，B ，C，所对边的边长分别为 a，b，c，且 a=1，B=2A，则 b 的取值范围为 【考点】正弦定理【分析】由题意可得 02A ，且 3A ，解得 A 的范围，可得 cosA 的范围，由正弦定理求得=b=2cosA，根据 cosA 的范围确定出 b
15、范围即可【解答】解：锐角ABC 中，角 A、B 、C 所对的边分别为 a、b、c，B=2A，02A ，且 B+A=3A， 3A A ， cosA ，a=1，B=2A，由正弦定理可得： =b= =2cosA， 2cosA ，则 b 的取值范围为（ ， ） 故答案为： 13若函数 f（x）=x 33x+a 有 3 个不同的零点，则实数 a 取值范围是 （2，2） 【考点】函数的零点与方程根的关系【分析】分析：首先求导，令导数为零，求出函数的极大值和极小值，要使函数 f（x）=x 33x+a 有 3 个不同的零点，只需函数的极大值大于零，且极小值小于零，解不等式组即可求得结果【解答】解答：解：f（x）=3x 23=0解得 x=1 或 x=1，当 x（1，1）时，f（x） 0，f （x）在（1，1）上单调递减；当 x（， 1）（1，+ ）时，f （x）0，f（x）在（ ，1） 、 （1，+）上单调递增，故当 x=1 时，f（x）取极小值 2+a，当 x=1 时，f（x）取极大值 2+a，f（x）=x 33x+a 有三个不同零点， ，解得 2a2
